强化分类思想，提高数学解题水平

朱海波

【摘 要】 分类思想是初中学生必须掌握的一种数学思想，初中生只有学会这种思想，才能高效地解答某些数学习题。教师要善于引导学生结合数学公式分类，引导学生结合隐含条件分类，引导学生结合复合条件分类。

【关键词】 分类思想；数学；解题；水平

分类思想，是指在宏观地看待一个数学问题以后，将解决数学问题的方法分类，依次解决数学问题的方法。分类思想是初中学生必须掌握的一种数学思想，初中生只有学会这种思想，才能高效地解答某些数学习题。

一、引导学生结合数学公式分类

在应用分类思想解决数学问题的时候，有些初中生会问，哪些数学习题需要应用分类思想来解决，哪些习题不需要应用分类思想来解决呢？数学教师要引导学生从数学概念、数学性质的角度理解眼前要解决的数学问题需要不需要分类。

以初中数学教师引导学生做习题1为例：如果|m-n|=n-m，并且|m|=4，|n|=3，那么求出（m+n）=（m+n）2的数值。这一道数学习题是解绝对值的习题，绝对值问题的性质本身就存在分类的概念。绝对值存在正值、负值、零的问题。学生在解决绝对值问题时，尤其不能忽略绝对值可能为零的问题，否则可能出现解题错误。现解答习题1：由于|m|=4，并且|n|=3，因此m=±4，n=±3，结合条件|m-n|=n-m，于是可得n-m ≥0，n≥m。将条件代入不等式中，即n=3时，m 的取值为-4，（m+n）2的数值为1；而当n=-3时，m的取值为-4，（m+n）2的数值为49。于是可得（m+n）2的数值为1或49。在数学问题中，平面几何问题也存在分类的概念，比如平面几何问题可以分为四边形问题、三角形问题、圆形问题等，每一类问题中又包含有数个问题。几何问题可以用分类问题来讨论，概念问题也存在分类讨论的问题……。数学教师要引导学生了解分类思想是一种重要的解决数学问题的思想，学生要学会给数学概念、数学公式应用分类思想解决各种数学问题。

学生在解决数学问题中，可能会遇到一些需要应用到数学概念、数学公式的问题，此时学生可应用分类思想解决这些数学问题，在这一环节里，学生需要关注的是是否漏掉了某些数学分类。如果学生深入了理解数学概念和数学公式，便能应用分类思想解决该类数学问题。

二、引导学生结合隐含条件分类

学生在解决数学问题的时候，有些问题的分类条件是隐含的，需要学生自己去寻找出来的。教师要引导学生应用数形结合的思路来看待这些数学问题，正确的对数学问题分类。

以初中数学教师引导学生学习习题2为例：⊙O是等边△ABC的外接圆，其中D是BC上异于B和C的一点。问题1：在CD的延长线上的延长线上取点E，令DE=BD，求证△BDE是等边三角形；问题2：BD的度数比为1∶3，⊙O的半径为1，取点F，使△DCF为等腰钝角三角形，求DF的取值范围。参看这一题的问题2，如果学生能够发挥空间想象力，便能了解F有三种取值方法，这三种取值方法的描述如图1、图2、图3，只要学生的空间想象力不足，就会漏掉解题的条件。习题2的取值条件与数学概念和数学公式有关，然而却并非包含在数学概念和数学公式里，学生必须依靠自己的想象力挖掘隐藏的取值范围，找到完整的解题思路。数学教师在引导学生应用分类思想解决数学问题的时候，要引导学生了解到有些数学问题的分类方法不是显而易见的，如果学生发散能力不足，可能就会忽略掉隐藏的解题条件。为了避免解题时出现这种问题，教师要引导学生在遇到较难的数学问题时，学会用数形的方法辅助思想，图形的直观性比较强，学生可借助几何图形、座标图形发挥想象力，挖掘习题中隐藏的数学条件。

学生如果仅仅应用现有的数学概念、数学公式，可能还不能解决部分数学问题的分类问题，教师要引导学生用另一种角度思考数学问题：尝试应用丰富的想象力找到数学问题的分类，再应用分类思想解决数学问题。

三、引导学生结合复合条件分类

部分数学问题不能应用一种分类思想分类，它可能存在多种分类的思路，这时数学问题的分类就显得比较繁锁。为了帮助学生找到分类的要点，数学教师要引导学生用抽象的复合条件看待数学分类的问题。找到分类的切入点。

以数学教师引导学生做习题2为例：已知抛物线y=x2+x+m与x轴相交于A、B两点，与y相交于C点，求△ABC 可能出现的分类。这一题的分类问题由三个因素决定，第一个因素为抛物线的因素，第二个因素为直线的因素，第三个因素为座标轴的因素。学生只有全面的考虑这三个问题，才能准确地抓住这个数学问题的分类要点。数学教师在引导学生解决这类数学问题时，要引导学生用集合的思路来思考数学问题的分类。即将第一个因素和第二个因素视为两个集合，从中找到分类问题的交集。然后该交集形成一个新的集合，结合该集合与第三个因素集合进行判断，再次得到集合。该集合就是数学分类问题的分类条件。应用该思路，可找到习题3的解题思路，描述如图4与图5。初中生在遇到数学问题时，有时涉及到数学问题的分类因素比较多。教师要引导学生应用集合与排除的思路找到数学问题分类的条件。

学生在遇到复合数学问题分类因素时，要应用抽象的思路来考虑数学分类的问题，此时学生首先要用抽象的思路找到影响数学问题分类的因素，然后结合多种因素绘制出几何图形及排出流程图来找到数学问题分类的关键。当学生找到数学分类的关键时，可通过画图来验证自己的分类思路是否具有可行性。

分类思想是解决数学问题的一个重要思想，初中学生如果学会应用数学分类思想，就能把一个复杂的数学问题变为几类简单的数学问题，化简解题的过程。然而学生应当如何应用分类思想呢？本次研究说明了分类思想应用的方法，数学教师要引导学生掌握本次研究所述的数学分类技巧，这些数学分类技巧会成为学生解决数学问题的有力武器。

【参考文献】

[1]和玉梅.数学分类思想及其应用[J].科技致富向导2014年21期

[2]刘芳芳.浅析中学数学分类思想方法[J].数理化学习2015年08期