转化思想在小学数学中的应用

乐明胜

摘 要：转化思想作为一种重要的数学思想，体现在数学学习的各个阶段。数学的教学不能简单地教授数学知识，而应该渗透数学方法和数学思想。学生学习数学也不能简单堆砌、累积数学知识，而是要将所学的知识内化，要能够灵活应用知识。在小学数学课本中，编排教材时都根据学生的理解水平渗透了这种思想。通过对一些旧知识的转化能得到新知识，通过对一些复杂问题的转化能够使问题变得简单且易于解决。本文就对小学课本中存在的一些转化思想作了系统的研究和归纳。

关键词：转化思想 等价转化 构造转化

一、转化思想的定义及分类

什么是转化思想呢？要搞清这个问题，首先我们就得弄清什么是转化。转化又称为化归，它是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳为已知的、熟悉的、简单的问题，从而使问题得以顺利地解决。而转化思想就是应用转化的一种思维方法。当然，转化思想的核心是要将未知的问题转化为已知的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的数量关系问题转化为简单的数量关系问题。这种思维方法始终贯穿在数学中，理解了这些转化思想就可以起到事半功倍的效果。我们经常用到的转化思想有：复杂简单转化、模型转化、一般特殊转化、等价转化、联想转化、类比转化、构造转化等。

二、有关转化思想的具体应用及实例

转化思想作为一种最普遍的数学思想，在小学数学中的应用是非常广泛的，下面我们就来看一看一些具体的应用及实例。

（一）复杂简单转化

复杂简单转化是指将一些复杂的数量关系转化为简单的数量关系。这种转化思想通常体现在简便计算上。如计算9999+999+99+9，如果直接计算则比较难算，可以将9999转化为10000-1，999转化为1000-1，99转化为100-1，9转化为10-1，整个算式可转化为10000+1000+100+10-4，这样就能使计算简便。

（二）模型转化

所谓模型转化是指将某一类数学问题抽象转化为某一具体的数学模型，借助这一个模型使得这一类问题能够被更好地解決。一个正确的数学模型在形式上应当是简单的。[1]从这个角度看，当把一个数学问题抽象成一个数学模型后，利用这个数学模型便可以让我们方便地解决这类问题。鸡兔同笼问题原是讨论一个笼子里有鸡和兔，已知有多少个头，多少个脚，问鸡和兔各有多少只？当数值较小时可以用列表法，然后从表中观察鸡、兔脚只数的变化，得到了在头数不变的前提下，每增加一只兔就会多两只脚，每增加一只鸡就会少两只脚。如果假设全是鸡，那么笼子里就会多了脚，因为一只兔子比一只鸡多两只脚，正因为笼子里还有兔子所以都会多出脚来，用多出的脚数除以2就得到了兔子的只数，再用头数减去兔子的只数就得到了鸡的只数。这是一个典型的解法，那么对这样一类的问题就可以抽象为这个模型，利用假设法加以解决。同样，植树问题及鸽巢原理亦是如此。

（三）一般特殊转化

一般特殊转化包含了两个方面：一方面是将要求解的问题转化为特殊形式来解决；另一方面是通过解决一般性问题而使得特殊问题得以解决。学习有关数的性质、简单数学运算知识是通过将一般问题转化为特殊的、个别的应用题或图形，通过观察、计算、分析、比较后归纳出具有一般性的结论。而对于图形的认识，则是对具体的个别图形进行分析和研究，归纳出图形的共同属性。如三角形的认识，通过观察一个三角形得出：任何一个三角形都有三个角、三条边、三个顶点。

（四）等价转化

等价转化是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解决的问题的一种思维方法。等价转化主要体现在“等价”二字上，任何转化摆脱了“等价”，一切都是徒劳。这种转化主要有三种形式：数与形的转化、数与数的转化、形与形的转化。

1.数与形的转化

数与形的转化是指应用数与形的关系将两者进行结合，以便更直观的了解数或形的变化情况及特征。通常它包括了两个方面：一方面是利用数来精确地阐明形的某些属性，即“以数解形”；另一方面是借助于形来直观描述数量之间的关系，即“以形助数”。在学习正比例关系和反比例关系时就可用数与形结合来阐明两种量的变化关系。如正比例关系中，两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，这两种量所对应的两个数的比值一定。将其转化为图形能更直观地了解数量间的变化情况。

2.数与数的转化

数与数的转化是指在将一个数等价的转化成另一种数或一个式子。在计算99×87时可将99转化成100-1，然后再用乘法分配律进行求解较为方便，这就是数与数的转化。另外，小数、分数和百分数之间的转化也属于数与数的转化。

3.形与形的转化

形与形的转化指的是在不改变我们所要求的形的某种属性（如周长、面积等）的情况下将这个图形等价转化成另外一种我们所熟知的图形，以便于求它的某些属性。形与形的转化多体现在多边形的周长和面积的推导与计算中。小学阶段学习四边形的面积是从长方形开始的，在学习了长方形面积后依次涉及平行四边形、梯形、三角形、圆等平面图形的面积。推导平行四边形面积时是将平行四边形沿高切开再拼成一个长方形，长方形的长和宽分别与平行四边形的底和高相等，由于面积不变，所以这个长方形的面积就是的平行四边形面积，故平行四边形面积是底乘高。梯形则是将两个同样的梯形拼接成一个平行四边形，这个平行四边形的高与梯形的高相等，底是梯形的上底与下底的和，故这个平行四边形的面积是上底与下底的和再乘高，而梯形面积是平行四边形面积的一半，所以再用这个平行四边形面积除以2。三角形的面积推导类似于梯形面积的推导，先将两个同样的三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底和高分别与三角形的底和高相等，一个三角形的面积就是这个平行四边形面积的一半，所以三角形的面积是底×高÷2。圆面积的推导则是将圆等价转化成一个长方形（当切割的小扇形份数越多，则拼成的图就越接近长方形，当切割的份数无限多时，拼成的图就是一个长方形，这是极限的思想），长方形的长和宽分别等于圆周长的一半πr和圆的半径r。由于长方形的面积与圆的面积相等，所以圆的面积就是πr2。另外对于求阴影部分这样的题型，多数情况下也是将其等价转化成我们所熟知的图形或易于求解的图形进行计算。

圆柱的侧面是一个曲面，当沿高将侧面剪开，展平后就得到了一个长方形，这个长方形的长和宽分别与圆柱的底面圆的周长和高相等，因此长方形的面积就是圆柱的侧面积。即圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘高。

小学数学中的等价转化还体现在空间立体图形上。六年级下册教材上求一个瓶子的容积就用到了这个转化思想。由于瓶子的上部是我们不熟悉的形状，故可以借助已知体积的液体充满这个不熟悉的空间。当瓶子倒置时，剩余的空间是一个圆柱，所以将这两部分体积相加，即可得到瓶子的容积。这个过程充分体现了等价转化的优越性。同理，当要求一个不规则的石块的体积时，可以将这个石块的体积转化为我们所熟悉的规则的物体的体积。将石块放入一个装了水的长方体（或圆柱体）容器中，在石块没入水中且水没有溢出的情况下，前后两次的体积差就是石块的体积。

（五）联想转化

联想转化是指面对一个问题要展开积极大胆地联想，将这些问题转化为我们所熟知的或比较简单的问题。爱因斯坦说：“想像力比知识更重要，知识是有限的，想像力可以囊括世界。”在数学学习中我们会遇到一些陌生的问题，恰当运用联想转化可以使问题简化。如求圆锥的体积时，可以用一个与它等底等高的圆柱进行比较而得到解决的办法。两者的关系是将圆锥转化后的圆柱的高是圆锥高的1/3，故它的体积就是与它等底等高圆柱体积的1/3。通常在进行简算时，我们也会用到这种转化思维。计算（76+82）×4+79×2时，因为76+82=158正好是79的2倍，所以此式可以转化为79×2×4+79×2，进一步转化为79×10，其解题效率可以大大提高。再如，因为，，，，再将它们相加后就可以将中间的項消去，只乘头尾两项，故易得出。像这样的例子还有很多，这里就不一一列举了。

（六）类比转化

类比转化是指根两个或两类对象有部分属性相同，从其中一类对象属性类似推理出另一类对象的属性，从而使问题得以解决。简而言之就是在已有知识的基础上去“分析比较，举一反三”。例如：要推导圆柱的体积可以类比圆的面积的推导进行转化。圆面积的推导过程是将圆平均分割成偶数份小扇形，拼成一个长方形，那么圆柱在某个角度可以理解为带有厚度的圆片。则圆柱也可以沿其高切成底面是扇形的几何体，最终拼合成一个长方体。类比圆的面积推导，长方体底面长为圆周长的一半，宽为圆的半径，高与圆柱高相等，因此可以得到长方体的体积为πr2h，而长方体体积与圆柱体体积相等，再者πr2又是圆柱的底面积，故圆柱的体积就是圆柱的底面积乘高。在《数法题解》中出现了这样的题：求下面这个立体图形的体积（单位：厘米）[2]解题的转化过程如图1所示

此类题型可以与梯形的面积的推导产生联系，用类比转化的方法这个物体的体积就能求出了。将两个相同的这样的几何体组成一个圆柱体，这个圆柱的高是15+20=35（厘米）。求出这个圆柱的体积再除以2就可以得到这个几何体的体积了。即3.14×（4÷2）2×35÷2=219.8（立方厘米）。

（七）构造转化

表面看似无关的两类问题，通过分析比较可以将一类问题构造成另一类我们所熟悉的问题加以解决，这种方法就是构造转化。例如：一次篮球比赛我们班全场得了42分，下半场得分只有上半场得分的一半，求上半场和下半场各得多少分？[3]这类题用方程解虽然很方便，但是对于很多小学生来说一涉及到方程就头疼，通过分析比较我们可以将其构造转化成另一类更简单的问题，即按比例分配的问题。全场得分42分，下半场得分是上半场得分的一半，说明上半场得分：下半场得分=2：1，知道两个量的和及两个量的比就可以用按比例分配解，可得上半场得分为42×=28（分），下半场得分：42×=14（分）。尤其是对一些复杂的问题，有时用方程解虽然方便但是对很多小学生而言列方程不易解方程更难，故对一些特殊的题型可以采用这种构造转化的方法加以解决。例如：光明小学五年级原来的男生人数是女生人数的4/5，后来又转来3名男生，现在男生人数是女生人数的5/6。现在有男生多少名？[4]用方程和构造转化两种方法解题如下：

通过比较两种解法，显然构造转化的解法简单，其计算量及计算难度也更小。

三、小结：

转化思想是多种多样的，而且各种转化思想间也存在一定的联系，甚至是包含关系。这种思想以数学知识为载体广泛存在于小学数学中，虽然在解决问题时没有一个固定的模式，但我们要善于发现各种数学知识间的联系，灵活运用转化思想，使我们的思维更开阔，解题更高效。

参考文献：

[1] 吴军，2012年6月，《数学之美》，175页，人民邮电出版社；

[2] 《数法题解与达标训练》编写组，2017年1月，《数法题解与达标训练 人教版六年级下册》，47页，湖南少年儿童出版社；

[3] 湖南省教育科学研究院，2015年7月，《同步实践评价——课程基础训练数学六年级上册》，34页，湖南少年儿童出版社出版。