非对称类声学超材料的低频宽带吸声特性

2018-10-19牛嘉敏吴九汇

振动与冲击 2018年19期

牛嘉敏，吴九汇

(1.西安交通大学理学院，西安 710049；2.西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室，西安 710049)

刘正猷等[1]局域共振声子结构的概念，拉开了声子晶体的研究序幕。梅军等[2-3]采用柔软膜类和小质量块的结构构建了一种薄膜型声学超材料，在100～1 000 Hz有着良好的隔声量。Naify等[4]提出的膜类声学超材料，在100～1 000 Hz打破了隔声质量定理的预测，而且可以通过调节共振质量块的大小来改变隔声量峰值。 Yang等[5]也得到了相似的声学超材料，在不同的薄膜厚度和面密度下均有较好隔声量。以上研究仅针对反射型膜类声学超材料，并以隔声量为衡量指标，但没有考虑膜类声学超材料的吸声特性。梅军等[6]提出了“暗”声学超材料，通过在薄膜上镶嵌新的金属片，可在低频区域100～1 000 Hz有效地吸收低频声波，从而展开了对吸收型膜类超材料的研究。Chen等[7]通过数值仿真和理论计算修正了吸收型膜类声学超材料模型。吴九汇等[8-9]设计了新型螺旋局域共振单元声学超材料，其在250 Hz以下的低频范围具有较宽的振动带隙，最低带隙频率能够低至42 Hz，但此声学超材料的应用受重量的限制，而且在一些需要密封的场合不太适用。大量的理论和试验研究都说明声学超材料具有非常丰富的声学特性，尤其膜类声学超材料所具有的“负等效质量密度”，使薄膜材料在吸声方面具有潜在的应用前景。而且薄膜材料具有便于清洁、防火、防锈蚀且可运用于恶劣环境等优势，也可用于创造性的建筑结构设计中，易于装配。

但在处理低频问题时，膜类声学超材料虽然有着良好的低频特性，共振频率的降低是以牺牲共振带宽为代价的[10]，梅军等提出的吸收型膜类声学超材料在中频段内有一个宽频吸声，但低频段只有一个较窄的带宽。怎样在保证低频吸声特性的同时，让结构也能具有一个宽频的特性，是一个亟待解决的问题。本文在参考相关学者的基础上，以非对称吸收型膜类声学超材料为研究对象，研究其非对称性对整体吸声性能的影响，并从膜类声学超材料的等效质量密度和弹性应变能两方面详细探讨其吸声机理，找出非对称性对吸声系数的影响规律，以此设计了一种宽频的吸声结构，并通过数值计算得到低频、宽频的吸声效果。

1 比较非对称和对称膜类声学超材料的吸声性能

参考梅军等对于膜类(暗)声学超材料结构的研究，采用有限元软件COMSOL Multiphysics进行吸声性能数值计算。本次数值仿真的结构单元为一块厚度h=0.2 mm、长Lx=31 mm、宽Ly=15 mm的硅胶薄膜：密度ρ1=980 kg/m3、泊松比μ=0.48、杨氏模量E=1.9×106+iω(7.89×102) Pa，其中实部E1为薄膜的储能模量，它与储存在薄膜中的弹性势能有关，虚部E2为损耗模量，与耗散在材料中的能量有关，该弹性模量可以表示为复模量的形式

E(iω)=E1(ω)+iE2(ω)=E1(ω)(1+iβ(ω))

(1)

其中β(ω)=4.2×10-4s。附着在薄膜表面的两块半圆铁片，四周为固定约束，上下两侧均定义为空气介质：ρ2=1.225 kg/m3，c=340 m/s。薄膜的初始预应力为σx=σy=2.2×105Pa。该结构吸声系数的数值计算结果如图1的黑色曲线所示。这和Chen等仿真的结果是一致的，校验了数值计算的准确性。从图1(a)可知，该结构第一个吸声峰值频率a处对应的振型为质量块带动薄膜的上下振动，大量的能量消耗在质量块的外边缘处，第二个吸声峰值频率b对应的振型为质量块的扭振，第三个峰值频率d对应中间薄膜的振动，能量消耗在质量块的内边缘和固定边界处。三个共振模态的存在导致了该类型吸声材料拥有着良好的低频吸声特性，但可以看出仅在峰值频率处才存在着良好吸声性能，其他频率会出现低谷，导致噪声很难完全吸收。在此基础上开展非对称膜类声学超材料的宽频吸声性能研究。

对称结构的吸声带宽较窄，针对该类型的膜类声学超材料，重新分布两个共振块的质量。如图1(c)的单元结构f所示，其中一块质量块密度为铁片密度ρⅠ=7 870 kg/m3，另一块镁合金的密度ρⅡ=1 000 kg/m3。在COMSOL吸声系数模块下其计算结果如图1所示。图1(c)中：a，b，c，d，e分别代表每一吸声峰值频率处的振动模式。

(a) 对称结构的振型图

(b) 两种结构吸声系数对比图

从图1(b)可知，对于对称结构，在频率的激励下只能产生左右相互对称的振型，吸声峰值仅对应于a,b,d三个频率处；而对于非对称结构来说，其整体吸声性能相比对称机构来说整体提高了。本次仿真中，采取模型为在原来基础上，改变其左右两块质量块的对称性而得。可以看出，非对称结构的整体吸声性能相比于对称结构来说整体提高了，在保留对称结构中频率a,b和d对应的吸声性能外，还增加了频率c和e对应的吸声峰值。从相应的振型可以看出，d模式对应的吸声系数主要是由中间薄膜的振动引起的，只和膜振动的面积大小有关，因此对称和不对称结构在这个频率处非常相似，而此时非对称结构的峰值高于对称结构是因为前者在振动中还夹杂了质量块Ⅱ的Z方向振动，吸收了部分声能。频率a和b对应质量块Ⅰ的Z向振动和扭振；频率c和e对应质量块Ⅱ的Z向振动和扭振。在非对称模式下，结构整体的吸声性能得到了极大的提高，吸声带宽从原来的窄频带扩大为宽频带。

2 非对称膜类声学超材料的吸声原理

2.1 非对称超材料的等效质量密度

首先来看该膜类声学超材料的等效质量密度。对于该类型的膜类声学超材料，可以等效为简单的弹簧振子系统，其等效质量可以表示为

(2)

整个薄膜质量块系统的有效质量密度ρeff可以通过COMSOL计算出来，根据文献[2]有效质量密度定义为整个薄膜和质量块系统的平均压力除以整个域的平均加速度(两者都是Z方向的)。从图2可知，在非对称结构的第一个吸声峰值处，其有效质量密度为零，这时当结构受力时，必然会产生一个很大的加速度，此时薄膜质量块处于共振状态，边界处的弹性应变能比较大，能量的耗散必然也大，因此会出现吸声峰值。在第一个峰值右边，出现了有效质量密度由正无穷大突变为负无穷大的情况，从动力学的响应来说，一个质量为无穷大的物体在一个力的作用下，其加速度必然无限趋近于零，此时结构本身在谐振子的作用下会产生一个相反方向的作用力，最终使得结构基本保持静止，弹性能较小，所以吸声峰值必然很低。可以看出，等效质量密度曲线每次经过零点的频率(共有5个零点频率)都对应于吸声系数的峰值(共有5个峰值)。

图2 非对称结构的等效质量密度Fig.2 Equivalent mass density of the asymmetric structure

2.2 非对称超材料的弹性应变能

从应变能的角度来进一步探讨该非对称结构声学超材料的能量耗散过程。根据薄板弯曲的直线法假设，平面薄板弯曲时的应变能为

Qε=1/2 ∭(σxεx+σyεy+τxyγxy)dxdydz

(3)

考虑到薄膜是一种柔性材料，在外力下会产生有限的变形，此时薄膜的位移分量和其偏导数不能忽略，可以采用拉格朗日法来具体描述物体的变形问题[11]，相应的应变位移关系和应力应变如式(4)和式(5)所示，其中εz=γyz=γxz=0。

(4)

(5)

根据薄板弯曲的应变能表达式Qε，并将坐标z从-h/2到h/2进行积分可以得到

(6)

对于四周固定的矩形薄板，利用斯托克斯公式推导可以得到

(7)

将式(7)代入式(6)，即得

(8)

从式(8)可知，在预应力的作用下，薄膜的等效弯曲刚度调整为

(9)

梅军等指出，该膜类声学超材料的w一阶导数在铁片边界处不连续，从而导致了在这些边界处Qε的数值会很大，弹性薄膜的耗散能量与薄膜整体的弹性应变能成正比，因此在每一处弹性应变能峰值处都对应吸声系数的峰值，从图3可知，非对称结构的吸声系数峰值频率和弹性应变能的峰值频率一一对应。利用COMSOL软件可以直接提取计算结果中薄膜质量块系统的整体弹性应变能，如图3所示。相较于对称结构来说，非对称相对对称声学超材料结构的弹性应变能整体数值<340 Hz时它们基本吻合，在>340 Hz时有较大地提高。

图3 非对称结构的弹性应变能和吸声曲线Fig.3 Elastic strain energy and absorption curve of asymmetric structure

由图3可知，图示两种结构的第一个峰值和第二个峰值，不管是应变能的幅值还是峰值频率，它们的差异都非常小，即对称结构和非对称结构在这两个频率处的总弹性应变能是基本相同的，从上一节也可以看出虽然两者前两阶振型不一样，但也依旧具有相同的吸声系数，也说明了前两个吸声峰值主要受质量块Ⅰ的调控，另一方面，从对称结构的一阶振型可以看出虽然两质量块都在振动，但由于振动的对称性也带动了中间薄膜跟随运动，应变能大部分分布在半圆铁片的外边缘，内边缘基本没有应变，而非对称结构虽然只有质量块Ⅰ在振动，质量块Ⅱ却基本静止，此时大部分的应变能就分布在质量块Ⅰ的外边缘与内边缘处，因此对称结构和非对称结构在此频率处具有相似的应变能和吸声系数；随着频率的升高，质量块Ⅱ在声波的激励下达到其共振频率，在第3个峰值频率处产生了较大的应变能，因此吸声系数也在这个频率处达到了峰值，同样第5个应变能峰值也对应着质量块Ⅱ的扭振；第4个峰值处，对称结构和非对称结构在峰值频率上相差不大，只是幅值产生了变化，非对称结构的应变能峰值大于对称结构的，这从振型图中也可以解释，振型d在对称结构下只是中间膜的振动，相应的应变能集中在质量块的内边缘，在非对称结构下振型即包括中间薄膜的振动，也包括质量块Ⅱ的伴随振动，应变能除了分布在两质量块的内边缘之外，也分布在质量块Ⅱ的外边缘，因此在此频率处，非对称结构的整体应变能是高于对称结构的。整体来说在非对称模式的影响下，结构的总弹性应变能在全频段内高于对称模式的应变能，这也吸声系数差异比较明显的原因之一。

3 非对称性声学超结构的宽频吸声影响规律

3.1 膜类声学超材料非对称性的影响规律

研究膜类声学超材料左右不对称的程度对其吸声系数的影响规律，先定义一个变量密度比例因子μ=ρ2/ρ1，其中ρ1为第一块即左边质量块，ρ2为第二块即右边质量块密度。在COMSOL软件中可以计算出，随着密度比μ的改变吸声系数的变化趋势，如图4所示。选取了具有代表性的μ=0.1，0.3，0.5和1.5作为参考。可以看出，随着密度比的改变，其中有三个峰值频率处是不改变的，分别是对称结构下的三个峰值频率处a，b和d，这说明前两个峰值主要受第一块质量块调节；其余两个峰值频率随着密度比改变而改变，并表现为一定的规律，如图5所示。质量块Ⅱ的一阶和二阶峰值频率拟合后基本呈现式(10)的规律。

(10)

式中：M为第二块质量块的质量；这也说明了这两个峰值主要受第二块质量块的调节。我们可以通过适当地调节不对称比例来达到相应的低频、宽频要求。

图4 密度比μ改变对吸声系数的影响Fig.4 The influence of density ratio μ change on the sound absorption coefficient

图5 一、二阶峰值频率随密度比μ的变化规律Fig.5 First and second order peak frequency changing with the density ratio μ

非对称性对于膜类声学超材料的吸声系数有着比较大的提高，但在实践中密度比μ的改变很难实现。质量m=ρV，我们可以通过质量块的厚度改变质量块体积，从而达到改变质量的目的，图6所示为质量块Ⅱ的一、二阶吸声峰值随厚度比γ的变化规律，和图5的密度比改变具有相似的变化趋势，通过调节质量块厚度可以实现整体吸声系数的调节。

图6 质量块Ⅱ的一阶和二阶峰值频率随厚度比μ的变化规律Fig.6 First and second order peak frequency of mass block Ⅱ changing with the thickness ratio μ

3.2 非对称型超材料的低频宽带吸声

根据上一节质量块Ⅱ的一阶和二阶峰值频率随密度比μ的变化规律，我们设计了以下的结构，如图7所示。该结构由四个相同大小的单元组成，每个单元有两个不同的质量块，其中ρⅠ=7 870 kg/m3；ρⅡ=7 000 kg/m3；ρⅢ=6 000 kg/m3；ρⅣ=5 000 kg/m3；ρⅤ=4 000 kg/m3；ρⅥ=3 000 kg/m3；ρⅦ=2 000 kg/m3；ρⅧ=1 000 kg/m3。

图7 宽频吸声结构示意图Fig.7 The diagram of broadband acoustic structure

本次仿真中改变密度来实现宽频吸声，实验中可以通过改变质量块厚度来实现。模型中每个单元四周都采用固定约束的方式，营造一个完全封闭的系统，实际中采用绝对硬边界，边框及中间位置采用玻璃钢等较硬材料实现，以保证质量块共振时互不影响。

该类型宽频结构的吸声性能如图8所示，并对比图1的对称结构吸声性能。可以看出仅仅采用0.2 mm厚的薄膜和8块质量互不相等不同材料的质量块，就能实现用小尺寸结构达到低频段的吸声特性，根据物理结构，每个质量块的不同频率性质，实际中每个质量块是并联的。并且更重要的是在整个低频段内(195～700 Hz)都具有一个很高的吸声系数。即实现了低频的需求，也解决了宽频的难点问题，一举两得。该类型非对称结构的声学超材料利用其不对称性造成的多个共振模式，从而拓宽了低频段内的吸声效果。