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几何模型构造法的解题策略探讨

2018-10-17陈志惠

福建教育学院学报 2018年9期
关键词:平分线对称性变式

陈志惠

(漳浦达志中学,福建 漳州 363208)

一、初中生在几何解题中存在的常见问题

学会正确的数学思考、数学构造、数学表达是学生数学素养的重要体现。而学生在解题中存在的问题核心也是这三点。

1.面对试题百思不得其解,是对几何模型不熟悉的体现

几何的基础是基本的几何图形,而基本的几何图形可以构造出各种不同的模型,从而衍生出各式各样的试题。我们在平时的教学过程中,或在辅导学生解题时,只是就题论题,一味解题,而没有及时总结、归类,提炼模型、方法、解题策略,最终可能并不会有太多收获。特别是在遇到模型叠加及综合时,能否可以准确判断出相关模型及问题的切入点,决定了一道试题能否在规定时间内被攻破。只有掌握了各种几何模型的通法解法,才能使我们快速地找到解题思路。

2.不会添加辅助线,往往是对重要关键词不敏感

几何压轴题,往往注重多种几何模型综合、灵活运用。而几何模型的综合,有时并不会完整地展现几何模型,题目中可能只会展现模型中最基础的、关键的一部分图形,因而,这就需要我们能捕捉到这些关键字眼或关键的图形信息,找到显性或隐性的已知条件,并能在大脑中反应出可能的基本几何模型,通过添加辅助线构造出可能的基本几何模型,通过在模型通法中,挑选出正确的做法。

3.解题过程漏洞百出,是因为推理逻辑不清,对模型通法不熟

解题过程容易出现逻辑错误,是因为我们的推理能力不足,逻辑思维混乱,对模型的条件、结论及推理过程不熟,也就是说对图形的数学本质没有深入的认识和理解。在解题教学中,应注重对试题的数学本质,图形的数学本质进行钻研和挖掘,让学生清楚知识的来龙去脉,经历知识的产生、推理、运用过程,注重步骤的规范书写,注重综合法、分析法的综合运用,发展演绎推理能力和逻辑推理,渗透数形结合思想,发展几何直观,养成良好的数学学习习惯。

二、几何模型构造法的解题策略探讨

1.解题策略之“巧用图形的对称性构造对称全等”

数学教材是一切数学教学活动的出发点,深入理解教材对我们的教学有重要的作用。我们在使用数学教材时,不难发现,教材对图形性质的探索,无论是从点、线、面、体的探索,到线段、射线、直线、相交线、平行线的性质探索,或是线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质探索,或是平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆的性质探索,无不是从图形的对称性入手的,通过折纸、画图活动,让学生经历观察、猜想,测量、计算、推理、验证等一系列探索过程,从而培养学生的几何直观能力,认识几何模型,达到对图形数学本质的认识,形成能力和思维。因此,对称性是探索图形性质的重要方法,也是解决图形问题的重要思路。

(1)巧用图形对称性解题之“角平分线模型”

角平分线模型最主要的解题策略是构造对称全等,利用图形的对称性、全等的性质进行问题的转化、推理、计算,是初中数学非常重要的解题方法,而常见的对称构造法有以下几种情况:

例题1:已知:AD平分∠BAC,BD⊥AD. 求证:∠ABD= ∠DBC+∠C (如图1)

解题策略是利用角平分线的对称性,当角平分线遇上垂直时,可以顺延,得到等腰三角形。即构造对称全等解决问题。

例题1变式1:已知:OP平分∠MON,PA=PB. 求证:∠OAP+∠OBP=180°(如图2)

解题策略是利用角平分线的对称性,角平分线上的点向角的两边作垂线,构造对称全等解决问题。

例题1变式2:ΔABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B. 求证:AB=AC+CD(如图3)

解题策略是利用角平分线的对称性,当证明线段的长度关系时,截长补短法是重要的解题思路,问题的本质也是构造对称全等。

从上例可以看出,当题目中有直接给出或隐含的角平分线条件时,除了构成等角外,还应特别注意从角平分线两个方面的功能来分析和认识图形:① 以角平分线为轴,构成怎样的对称图形?② 以角平分线和平行线结合,构成怎样的等腰三角形?思考若以这样的功能作指导,大都会找到恰当的解决方法。

(2)巧用图形对称性解题之“将军饮马模型”

最值问题、最佳方案是数学思考的一个重要方面,它为生活带来便利,体现数学与生活的密切联系。将军饮马模型是数学最值问题中的一个重要模型,它蕴含着几何直观、空间观念的培养;转化、化归思想的渗透;对称性解题策略的运用;几何推理与计算在实际问题中的运用等,对称构造是将军饮马模型的主要解题策略。

如图,A、B是直线l外的两个定点,在直线l上求作点P,使PA+PB路程最短。

例题2:如图4,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使 PD+PE 的和最小,求这个最小值。

将军饮马题型的解题策略是利用轴对称的性质作对称点,原理是利用三角形的两边之和大于第三边,解题技巧是化折为直,即口诀法:分清动定点,动点成直线,定点来照镜,隔线把点连。

2.解题策略之“几何模型构造法,运用模型通法解题”

“一题多解,解法优化;一题多变,变中求同;多题一法,同模通法”是数学解题与习题教学中重要的教学方法,也是学生学习的方法。对各个数学知识模块,进行这三个维度的探究教学,有益于学生的数学思维能力的培养。

(1)巧用几何模型一题多解,多解归一

一题多解可以帮助学生开阔思路,把学过的知识和方法融会贯通,可大大提升分析问题和解决问题的能力;可以培养学生灵活、敏捷的思维能力,让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析,达到对问题的全面理解,进而迅速准确地解决问题;可以培养学生的发散性思维及联想能力,学会用不同的知识解决同一个问题,达到对多种知识的融会贯通。

例题3:正方形ABCD中,CD=2,点P在以AC为直径的半圆上,AP=1,∠DPC=45°,求点D到PC的距离。(如图5)

解法1:利用几何计算三大法宝之一“勾股定理”列方程求解。解题策略:遇垂线,求长度,勾股定理少不了!解法2:利用几何计算三大法宝之二“相似列比例式”求解。解题策略:求长度,构相似,隐藏信息是关键!解法3:利用几何计算三大法宝之三“锐角三角函数”求解。解题策略:求长度,找角度,三角函数来帮忙!解法4:手拉手,现全等。解题策略:拨开迷雾,图形看本质,手拉手,现全等!解法5:对角互补,四点共圆或旋转解题。解题策略:遇等边,共顶点,全等旋转是关键!解法6:相似变换,一转成双。解题策略:一对共顶点的相似三角形绕公共顶点旋转可得另一对相似三角形,简称:“一转成双”,用旋转变换构造相似形三角形,是把分散的边角条件集中到特殊图形中,以使其产生联系。

例题4:正方形ABCD的边长为4,P是AC上的一个动点(不与A、C重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90o到BM,连接MP,并延长交BC点E,交AD(或AD延长线)于点F.(如图6)

(1)连接CM,证明:AP=CM;

(2)设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数关系式;

(3)猜想PF与EM的数量关系,并证明你的结论.

拨开迷雾,图形看本质。第(1)题是手拉手模型,手拉手,现全等。第(2)题是一线三等角模型,问题的本质是相似。第(3)题解法多样化,可以利用不同的几何模型通法,从而达到一题多解。解法1:截长法构造全等。解法2:补短法构造全等。解法3:角平分线构造对称全等。解法4:手拉手和角平分线结合构造全等。解法5:利用手拉手和对角互补模型。解法6:利用三垂直模型全等。解法7:三垂直模型和平行线分线段成比例相结合。解法8:手拉手和角平分线构造对称全等。通过一题多解,把学过的知识和方法融会贯通,从而提升对试题本质的认识,提高解题能力。

(2)一题多变,变中求同;多题一法,同模通法

课本例题、习题为学生开拓思维提供了丰富的资料,是教师开展变式教学的重要资源,其思维方式的典型性、解题过程中的示范性是课外习题不能比拟的。课本例题、习题是许多中考题的原始来源,例题、习题的拓展常常成为中考的考点。我们可以通过很多途径对课本的例题、习题进行变式。如:改变条件、改变结论、改变数据、改变图形;条件引申、结论拓展;条件开放或结论开放,或条件、结论同时开放等。

例题5:如图,四边形ABCD中,∠ABC=∠A DC=90o,BD平分∠ABC,∠DCB=60o,AB+BC=8,求AC的长。(如图7)

变式一:改变图形背景。如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D。(1)求BC的长;(2)求AD,BD的长。

变式二:保留结论,更换条件。如图,⊙O的 弦AB长10cm,∠ADB=90°, 弦AC长6cm,AD=BD(1)求BC的长;(2)求AD,BD的长。

变式三:保留条件,结论拓展。如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D。求CD的长。

变式四:把等腰直角三角形换成等边三角形。

变式五:把等边三角形换成正方形。

变式六:把正方形换成正多边形。

认识和体会数学是一个整体,变式例题(习题)教学应该突出变式中的共性,切忌就题论题,应引导归纳总结,通过特殊去发现一般规律,能“解一题,懂一法,会一类,通一片”。

3.解题策略之“联想构造法:运用中点模型解题”

中点是几何解题中常常遇到的,特别是三角形的中点、中线、中位线及直角三角形斜边上的中线等是高频考点,是中考的必考内容。遇到中点,我们应从哪些方面进行思考呢?

以直角三角形斜边上的中点为例,请看例6、例7,寻求中点模型的构造法。

例题6:□ABCD中,AB=3,BC=4,E为□AB CD外一点,∠AEC=∠BED=90o。(如图8)

(1)求□ABCD的面积。

(2)求四边形ABCE的面积的最大值。

例题6变式:在Rt△ABC和Rt△ADC中,∠ABC=∠ADC=90o,E、F分别为AC和BD的中点。(如图9)

(1)求证:EF⊥BD。

(2)若∠BAD=45o,求AC:EF的值。

例题7:已知:AD、AE分别是△ABC的高和中线. (如图10)

(1)若AC=2DE,求证: ∠C=2∠B。

(2)若∠C=2∠B ,求证:AC=2DE。

例题6由两个直角联想到直角三角形,想到连接对角线,而矩形使得两条斜边有了联系,因此,共中线等斜边是本题最大的特点,也是需要学生发现的地方;例6变式和例6区别在于共斜边而得到等中线,和例6是条件结论互换,解题策略为:(1)共中线、则等斜边;(2)共斜边,则等中线。例7由已知中点,需要联想构造,使高和中线产生联系,从而使问题得到解决;(3)知中点,作中点,中线和中位线完美结合。一个中点不够,再构造一个中点,使分散的已知条件集中。

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