高中数学空间想象误区案例分析及应对

林玉辉

（诏安第一中学，福建 漳州 363500）

高中是走进大学或是社会的一道门槛，高中时期的学习对学生们由初中到大学或是社会有着过渡的重要作用。［1］新的高中数学课程标准提出六个核心素养，其中直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题。主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。［2］

可是，有的学生由于很少关注周围的空间环境，缺乏观察分析能力，空间想象能力、动手操作的能力较弱，空间概念模糊，对空间想象产生误区，无法解决空间立体几何问题。这里，笔者就学生常见的空间想象误区加以分析，以便教师在教学中有所启示。

一、学生空间想象误区的背景

普遍高中学生怕立体几何，表现在怕画图、怕想象、怕计算（特别是二面角的问题）。其中空间想象是核心问题，不少学生经常出现空间想象误区，导致思维障碍，解题困惑。

立体几何要求学生能够判断空间点、线、面之间的位置关系，特别是线与线，线与面，面与面的平行与垂直的位置关系以及它们之间的相互转化，能够借助简单几何体（如空间四边形、平行六面体、正方体、长方体、棱柱、棱锥等）作为载体，把空间的点、线、面等基本元素有机地结合起来，解决空间的角、距离、面积、体积等问题，形成一个比较完整的立体几何的知识体系，提高学生的空间想象能力。可是，由于学生接触立体几何的时间较短，而三维的空间图形无法在平面内直观地表现出来，很多学生对于空间几何图形往往无法想象，知识积淀较少，动手实践经验不足。因此，重视学生空间想象误区的分析，引导学生科学合理地判断空间点、线、面之间的位置关系，提高学生空间想象能力是高中数学教师教学的重难点。

二、常见学生空间想象误区案例分析

（一）借助二维的平面图形，对线与线、线与面位置判断的失误

由于我们借助于平面的图形表示三维的空间，导致学生对异面直线错误的判∪断。如图1，平∪面 a∩平面=直线AC，直线ABa，直线CD，那么直线AB与CD是异面直线，但由于画在二维的平面图上两条直线确实是“平行”的，无法体现两条直线的真实位置关系，导致想象误区——错误的判断AB∥CD.

（二）把非直角误认为直角，而把直角视为非直角

应用斜二测画图把空间图形转化为二维图形，由此导致角度的变化，学生判断失误。如图2，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且PA=1，AB=5，AC=3，BC=4，求点A到平面PBC的距离。很多学生找不到距离，采用建立空间直角坐标系，把∠BAC误认为是直角。

（三）平面几何结论随意应用到立体几何里

在初学立体几何时，很多学生受到平面几何的影响，想当然地把平面几何的结论随意套用到立体几何里，缺乏对空间图象的分析。例如：

1.在平面几何里，四条边相等的四边形是菱形，可是在空间里可能是空间四边形。

2.有三个角是直角的四边形是矩形，但在空间里不一定就是矩形了，如图3，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1上，显然∠BAD=∠ABE=∠ADE=90，而四边形ABED是空间四边形，不是矩形。

3.在平面几何中，和线段两个端点的距离相对的点集合是该线段的垂直平分线，而在空间里却是垂直平分面。

4.在平面几何中，过一点与已知直线垂直的直线有且只有一条，但在空间就存在无数条了，等等。

（四）画图的不合理，导致空间想象的错误

有的学生画立体几何图形往往忽视了画图的基本要求，如水平放置的横坐标长度不变，纵坐标变为原来的一半，被挡住的部分需要画成虚线，辅助线的画法与初中不同（初中平面几何的辅助线一律画成虚线，立体几何是看不到的线画成虚线），所以往往导致计算或推理失误，造成解题困难。

（五）概念理解不透彻，出现空间想象误区

例如：1.各个面都是正三角形的多面体误断为正多面体。

2.如图4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC的中点，AB1⊥BC1，求二面角E-BC1-C的大小，该题是1994年全国高考第理科第23题，很多考生就把∠EOC误认为二面角E-BC1-C的平面角。

（六）定理误用，出现计算错误

对于异面直线所成的角与三垂线定理混淆，误认为是异面直线在同一平面内射影的夹角，如图5，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1C与BD的夹角误断为它们在平面

BCC1B1内的射影B1C与BC的夹角45（正确答案应为90）。

（七）空间想象欠全面、不仔细，导致判断失误

例如：1.棱长都相等的四棱锥的底面误断为菱形，孰不知由于侧棱也相等，那么顶点在底面内的射影恰好是它的外接圆圆心，由此判定它的底面是一个正方形，故这样的四棱锥是一个正四棱锥。

2.底面是正三角形，侧面是等腰三角形的三棱锥误断为正三棱锥（欠全等的条件）；底面是正方形，侧面是全等三角形的四棱锥误断为正四棱锥（欠共同的顶点）；底面是正三角形，侧面面积都相等的三棱锥误断为正三棱锥（欠顶点在底面的射影在底面三角形内）。

3.底面是正三角形，侧棱两两的夹角相等的三棱锥误断为正三棱锥。其实，如图6，在正三棱锥P-ABC中，只要在侧棱PA上取一点A'，使BA=BA'，那么，三棱锥P-A'BC就满足题设要求，但显然它不是正三棱锥。

（八）线面垂直、面面垂直判定条件不充分

很多学生在判断线面垂直时经常和判断线面平行的方法混淆，只找到直线与平面内的一条直线垂直就推出线与面垂直，条件不充分；判断面面垂直时，只在两个平面各找出一条直线互相垂直就草率地判断面面垂直。

（九）面对几何体的展开图无法还原

如图7，是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有多少对？（2002上海春季高考）， 很多学生无法还原成原来的正方体，无法判断AB、CD、EF和GH在原来的位置关系，特别是AB与CD，误断为平行共面。

三、引导学生走出“误区”, 提高学生的空间想象能力

以上是学生经常出现的空间想象误区案例，由此要求教师在教学中，应该及时发现学生作业和测试中出现的问题，寻找误区的缘由，对症下药，引导学生走出“误区”，逐步提高学生的空间想象能力。这里提几点建议供参考：

解决策略一，针对上面的误区（一）（二）（四）（九），教学板书时注意画空间图形的合理化、科学化，尽量使平面的图形立体化，把立体几何问题平面化，归结为平几问题解决；

解决策略二，针对上面的误区（一）（二）（四）（七）（九），课堂教学时尽量借助实物或教具模型教学，或使用多媒体教学的手段，例如经常举例日常生活中的几何体，可以增强学生的空间想象能力，对空间几何体的想象更直观；

解决策略三，针对于误区（三）（八），课堂教学时注重知识的联系，经常设置一些容易误解的题目；例如，判断下列各题的正确性

（1）经过直线外一点，与该直线平行的直线有且只有一条…………………………………………（√）

（2）经过一点，与已知直线垂直的直线有且只有一条………………………………………………（×）

（3）经过平面外一点，与该平面平行的直线有且只有一条…………………………………………（ ×）

（4）经过平面外一点，与该平面平行的平面有且只有一个…………………………………………（√）

（5）直线与某个平面内的无数条直线垂直，则这条直线与该平面垂直……………………………（×）

解决策略四，针对于误区（六），空间的角（特别是二面角）和距离的计算，引导学生建立适当的空间直角坐标系，把难以想象的空间问题转化为代数问题来解决。

解决策略五，引导学生多采用类比，联想转化，把知识有机结合起来，指导学生会创新地学，从而更系统地掌握所学知识，建立完善的认知结构；要求学生善于分析和转化，把空间的问题转化为平面的问题来解决。

解决策略六，在引导学生走出各种误区的最有效办法就是信息技术与教学有机结合，建议教师利用GeoGebra软件（简称GGB软件）中的3D功能，从不同角度感受几何体的情景，因为在立体几何与圆锥曲线演示的操作中更加简便，［3］下面是笔者根据某地的一道三视图利用GGB制作的直观图，从不同角度观看的截图。（图8、图9、图10）

总之，在高中立体几何教学过程中，教师应该了解掌握学生的空间想象误区，引导学生动脑，动手，动笔，课堂上多方位指导学生认识几何体，课外强调学生从实际出发，认真实践总结，不断加深对几何体的认识，走出误区，提升学生的直观想象素养。