回归问题本质 防止高中数学解题“一错再错”

王莉红

（建阳第一中学，福建 建阳 354200）

在高中数学教学中，学生的“一错再错”现象总是随处可见。作为教师的我们总是认为学生学习不用心，不努力，导致屡考屡错。事实上，问题真的都出在学生身上吗？其实不然，很多时候，教师只告诉学生“这题这样做”，却未必深究“为什么这样做”，使得很多学生对问题本质模糊不清，题型稍加变换或时间一长，就又一错再错了。下面，笔者就从教师教的层面入手，就教师如何回归问题本质，防止“再错”现象，谈谈几点拙见。

一、重视学生的错题

学生的错题，恰好是教师教学的宝贵资源，因为它反映出学生在对这类知识的掌握过程中存在着不足之处，给学生提供了查缺补漏的机会。这些错题，不仅学生要去回顾反思，找到出错原因，教师也要追根溯源。在教师找到源头之后，对症下药，就可避免学生一错再错的现象发生。

值得一提的是：教师不能认为错题曾经强调过了，在再次讲评时而简单带过。因为学生错误已是先入为主、根深蒂固，只有经过反复的认知，方可加深学生对知识本质的理解，打破原有惯性思维，迫使学生产生内在“观念冲突”，才能建立新的“认知平衡”。［1］所以，教师应深入剖析问题本质，并进行有针对性的变式巩固，对一个错误变换不同的背景，不断呈现，使得学生的错误经过反复校正得到强化、固化，从而改善学生一错再错的现状。

二、备好教材，更要备好学生

在备课时，限于学生的认知水平，教师对学生解题时可能会混淆和卡壳的知识点要做到心中有数，这样在课堂上才能有的放矢，揭示问题本质，避免学生学得“云里雾里”。

例1 将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个小球，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法有_______ 种。

学生对此类题型“有的时候要除以阶乘，有的时候又不要除以阶乘”感到很乱，教师若对此研究透，让学生清晰也就不是什么难题。此题因研究的主体不同，可以有两种不同的解题思路：方法1.研究的主体是“小球”，则要先分组再排，而这里的分组就是个易错的难点——平均分配问题。为讲清楚这个问题，笔者设计了下面两个问题让学生比较：

问题1：将甲、乙、丙、丁四个人平均分成A,B两组，每组2人，有多少种不同的分法？

问题2：将甲、乙、丙、丁四个人平均分成两组，每组2人，有多少种不同的分法？

这两个问题，都是平均分配问题，区别是问题1是有组名，问题2是没有组名，而“甲乙——丙丁”与“丙丁——甲乙”，对问题1来说是不同的分法，对问题2来说却是同一种分法，原因就在于问题1与顺序有关，而问题2与顺序无关，这样笔者就给学生总结出“平均分配问题，没有组名的，就要除以组数阶乘”。弄清这个问题本质后再回头做例题1就水到渠成了：1，2号的小球已经成一组，另外4个小球分成两组，这样分成3组有，再排有种，所以由分步乘法原理有方法；

另一种方法：研究的主体是“盒子”，则先选一个盒子放1，2号两个小球，有种方法；再给第二个盒子选两个小球有种方法，第三个盒子就放入剩下的最后两个小球，所以由分步乘法原理有=18种方法。

此题因研究的主体不同而分出运用不同的途径，而方法2就避开了平均分配这个难点。为了加深学生的理解，笔者又设计了三个变式题：

变式1：将7个学生分成3组，一组1人，一组2人，一组4人，有____ 不同的分法；

变式2：将7个学生分成3组，两组2人，一组3人，有____ 不同的分法；

变式3：将7个学生分成3组，两组2人，一组3人，分别去参加数学、物理、化学的研究性学习，每个学科都要有小组选，有______ 种不同的选法。

通过对比，学生对此类问题的本质就有了更深刻的认识。

知道学生解题可能会犯错的地方，教师事先就从源头上提前加以防范，使学生在脑子里烙下正确的数学概念与思想方法。为避免学生认知停留在知识的表层，教师就得再通过反复的变式、迁移与拓展，不断强化，让学生在知识的产生、发展和应用中不断地反思与总结，最终摸清这类问题的本质，运用起来便能得心应手，犯错的概率就降低了。

三、将问题化繁为简，化难为易

教师要不断反思解题过程，不断总结经验，随时做好心得记录，改进解题策略，将抽象化为具体，将复杂化为简单，层层抽丝拨茧，挖掘问题本质，最终将最易理解又便于记忆的方法传授给学生。

这类题型看上去抽象复杂，学生惧怕，也屡做屡错，其实实质就是不知道语言之间的转换。讲解时，笔者将此题分解为下面两个题型：

这样解释学生自然就好理解，然后笔者再迁移到例2，将上面翻译成“当时g（x）的图象上存在这整段图象下方的点”即学生便好接受了。接下来，笔者再将例2进行三次变式，以加深学生对此类问题的理解和巩固：

变式（2）将题中的“＞”改为“〈”；

变式（3）将题中的“＞”改为“=”。

所以，同样一题，教师怎么讲，效果却完全不同。这就要求教师在平时教学中，不仅要注重学生思维的形成和发展，还要做个有心人。题目不是讲完就可以了，还要看学生接受和掌握情况，反思教学效果，将最优方案传授给学生。教师力争让学生抓住问题的本质，自然就可以降低学生再出错的概率。

四、重结果，更要重过程

很多时候教师由于赶进度或急功近利，往往重视知识的应用，却忽视知识的生成过程，造成学生对知识“知其然而不知其所以然”，这样为学生解题的一错再错埋下隐患。

例3 （2014·四川）为了得到函数y=sin（2x＋1）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )

C.向左平行移动1个单位长度

D.向右平行移动1个单位长度

解此类平移问题，相当部分学生是按教师教的记忆口诀“左加右减，上加下减”来选择了C，错误的很大原因就在于教师并未揭示问题的本质。事实上，我们在变换前的函数y=f（x）图象上任意取一点P（x，y），不妨设图象向左平移h（h＞0）个单位长度，向上平移k（k＞0）个单位长度后得到对应的点P'（x'，y'），则有即，将代入y=f（x），得y'-k=f（x'+h）即y'=f（x'+h）+K，然后将自变量和因变量改写成习惯性写法，就有y=f（x+h）+K口诀中的“左加右减，上加下减”了。学生明白了这类问题的本质，解这类题也就不会一错再错了。

五、注重通性通法，淡化特殊技巧

通性通法就是概念的基本性质及其所蕴含的数学思想方法。［2］有些教师一味追求解题技巧，忽略了解题的根本，一旦此类题型稍加改变，学生便又一错再错了。

方法一（通性通法）：求函数y=f（f（x））+1的零点的个数，即求方程y=f（f（x））-1的解。由已知可得解得f（x）=-2 或 f（x）=，进而得或最后解得x=-3或x=或x=-或x=，从而零点个数为4个。

方法二（数形结合法）：令f（x）=t，则由f（f（x））=-1有f（t）=-1，观察图1可知方程f（t）=-1有t1，t2两根，其中t1＜-1，0＜t2＜1；再观察图2可知f（x）=t1（t1＜-1）有两解，f（x）=t2（t2＜-1）有两解，所以方程f（f（x））=-1有4个不同的解，即函数y=f（f（x））+1的零点的个数有4个。

方法一，依据分段函数定义区间的划分标准，对f（x）这个整体进行讨论，通过两次转化，顺利解出答案。此法常规，容易理解，且计算量不大，便于学生掌握。它抓住了此类题型的问题本质：整体代换、分段讨论、解方程或不等式，是通性通法；方法二是运用数形结合，逆向思维，对图象进行两次观察，快速得出答案，只是这种思维抽象，学生难于理解，也不易想到，属于技巧性方法，而技巧性方法有时无法通解一类题型。［3］所以，教师若强化通性通法，使学生能够触类旁通、举一反三，能解一题通一类，那么学生的学习效率就可得到提高，一错再错的现象也可减少。

只要教师在教材上用心钻研，对数学的概念、解题等方面“入木三分”；在教法上能够透过现象，挖掘问题本质，并积极寻求纠错策略，［3］必能促使学生回归到问题本质，从而避免“一错再错”的现象发生。