基于能力立意与素养导向的高考数学备考策略——以平面解析几何备考复习为例

林晴岚 陈柳娟 张 洁 黄 勇

（福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025）

高考作为落实立德树人根本任务的有效途径和重要载体，着力凸显其价值引领的作用。高考的核心功能是：立德树人、服务选才、引导教学。高考的主要任务是： 立德树人“一堂课” 、服务选才“一把尺” 、引导教学“一面旗”。通过高考这“一把尺”来把握人才培养和人才选拔规律，同时又作为“一面旗”引导一线教师开展教学活动。高考命题要求科学设计考试内容，优化高考选拔功能，强化能力立意与素养导向，助力推动中学素质教育。通过做精高考这“一把尺”，促进全面提升高考的育人功能和导向作用，最终达到“立德树人、服务选才、引导教学”的目的。

一、领会高中新课标与考纲精神

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“高中新课标”）明确指出，通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）；提高从数学角度发现、提出、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。通过数学课程的学习，培养学生会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界的数学教育目标。《考试大纲》作为高考命题的标准和规范性文件，也是指导考生复习备考的主要依据。针对《考试大纲》的要求和“高中新课标”课程内容的主题导向，高中数学备考教学应以促进学生数学学科核心素养发展为目标，正确把握备考的原则和方向。

通过平面解析几何单元学习，旨在帮助学生在平面直角坐标系中，更清晰认识直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；掌握运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系，运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想；掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题；能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程；能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题。重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。

二、分析近五年高考考情，洞察命题新动向

1.近五年全国高考数学I卷解析几何部分考情分析

从题型看：题目都以两小题（选择题或填空题各5分）和一大题（解答题第20题12分）方式呈现；从考查内容看：题（选择题和填空题）侧重对双曲线的多角度考察（如：2013年第4题，2014年第4 题，2015年第4题，2016年第5题，2017年第10题），以及对抛物线的多角度考察（如：2014年第10题，2016年第10 题，2017年第10 题）；大题（解答题）侧重以椭圆和抛物线的相关综合知识背景为主，考查直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、范围及探索性问题，对考生的数学运算素养以及用数学的语言准确、清晰表达解决问题的思维过程要求较高，解决此类问题的重要手段，即通法是综合应用一元二次方程根的判别式与韦达定理。以上各类试题总体突出考查考生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等核心素养。

2.关注考查热点，洞察命题新动向

对于直线与圆的考查：从考查题型来看，涉及本专题的题目一般在选择题、填空题中出现，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等。从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合。从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化的推理判断，是对直线与圆的位置关系的最好判断，重点考查了直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等核心素养。

对于圆锥曲线的考查：从考查题型来看，涉及本专题的选择题、填空题，结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解。解答题中综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等。从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查。从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点考查直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算等素养。

全国高考数学Ⅰ卷中对解析几何的考察有“不动如山 — 灵动如水”的意境。不动体现在：命题始终围绕数学核心素养，抓住数学思维本质，体现数学基本思想运用；考查运算求解能力、函数与方程思想、数形结合思想、运用化归与转化思想把方程组转化为一元二次方程，利用方程的判别式和韦达定理最终解决问题。灵动体现在：考查载体灵活多变，运算的方法和目的多变，数形结合的方式多变，平面几何基本知识的渗透润物细无声。

三、考向分析与备考建议

认真研读《考试大纲》《考试说明》，领悟高考对基础知识、基本技能、基本思想、数学素养等方面的要求；重视教材的基础性和示范性作用，贯彻“源于教材，高于教材”的原则；重视考生对知识的内化、系统化、网络化；重视培养考生审题的科学性、运算的准确性、解题的规范性、表述的精确性以及解题时间的分配等，坚决克服懂而不会、会而不对、对而不全、全而不快的现象。重视对近年高考试题的分析，领会核心素养怎么考。

1.平面解析几何初步考向

近几年高考对这一部分都以客观题来考查，如直线、圆的方程的求解及直线与圆的位置关系的确定，以及与导数、圆锥曲线等知识的综合应用。备考时注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的扎实应用性，学会用代数方法处理几何问题，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等思想方法的综合应用能力，提升考生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等核心素养。

考向1 直线方程及两直线的位置关系

分析：通常会结合导数知识进行考查，如求直线的斜率、倾斜角、切线方程，或与圆、圆锥曲线结合起来，考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等。需要考生选择适当的直线方程，应用待定系数法对问题进行求解。

考向2 圆的方程及点、直线、圆的位置关系

分析：常以选择题与填空题的形式出现，难度较低。两条不同的直线的位置有平行、相交两种情况，要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用两条直线平行、垂直求其中一条直线方程或参数的取值范围。圆的方程在高考中有①利用直接法或待定系数法或动点的轨迹确定圆；②利用圆的方程中的圆心坐标和半径；③圆与其他知识的综合应用。目的是掌握圆的实质内涵：“心定弦，经定大”。

考向3 直线与圆、圆与圆的位置关系与应用综合问题

分析：考查直线与圆的几何性质主要通过应用圆的切线长、弦长、圆心、半径、勾股定理、点到直线的距离、一元二次方程根与系数的关系等为基本应用点，有时也会与函数、不等式交汇命题，运算量较大。题型多数为选择、填空题，重点考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查难度属于中等。

参考案例：若a，t是正数，直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得弦长为则当t取得最大值时，a的值为（ ）

通过将直线与圆的位置关系和基本不等式融合在一起，考查转化与化归的思想及数学运算等核心素养，突出考查点到直线的距离公式、运用基本不等式求最值等《考试大纲》中要求掌握的内容，难度适中。

2.圆锥曲线考向

圆锥曲线与方程在近几年的全国高考卷考查中几乎都是两小题一大题，考查方向和重点较稳定，小题主要考查圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质，考查形式主要是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单几何性质；给出曲线满足的条件（离心率、渐近线等几何性质）求其方程等。大题常考查圆锥曲线与直线或圆的联立问题；讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系；考查圆锥曲线与其他知识（如函数、数列、不等式、向量、导数等）相结合的问题等；突出考查考生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等核心素养。

考向1 圆锥曲线的概念及标准方程的考查

分析：数学概念是一切数学思维之本，而方程是研究解析几何最根本的工具，通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现形与数的统一，代数与几何统一。所以，对概念的考查、对方程的理解的考查都是高考的重点。

考向2 圆锥曲线的几何性质

分析：圆锥曲线的几何性质是对圆锥曲线最直观的感受，圆锥曲线的通性如曲线中参数的取值范围、对称性、离心率以及双曲线特有的渐近线等都是近几年高考命题的热点。

参考案例：设F1，F2是椭圆E：＞0）的左、右焦点，P为直线上一点，△F1PF2是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为（ ）

考向3 求圆锥曲线的轨迹方程

分析：主要考查学生对圆锥曲线的标准方程及其相关性质的理解，各题型均有可能出现，较容易。

参考案例：设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且不与X轴重合，直线交⊙A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.

2）设点E的轨迹方程为曲线C1，直线交曲线C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线m与⊙A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。

考向4 直线与圆锥曲线的关系问题

分析：此类题目难度较大，通常与向量、数列、三角函数等知识相结合，考查学生对圆锥曲线相关知识的掌握综合处理问题的能力，要求学生有较强的运算求解能力。常见的求解方法与策略是结合题意联立方程，利用一元二次方程根与系数的关系，再结合直线与圆锥曲线的交点、点到直线的距离、弦长等逐步破解。

考向5 圆与圆锥曲线的综合问题

分析：圆锥曲线与圆的性质相结合的试题是高考命题的热点。如圆上各点到圆心的距离都等于定长，圆与直线相切时圆心到直线的距离等于半径，圆与圆相切时圆心距等于半径之和或是之差，常与椭圆或双曲线甚至抛物线的定义相联系。

（1）求点A，B的坐标；（2）求△PAB的面积。

考向6 圆锥曲线与向量知识的综合问题

分析：平面向量的出现不仅可以明确地反映几何特征，而且为有效地简化数学运算提供了很好的工具。解析几何与平面向量综合问题有效地考查考生运用数形结合、转化与化归、方程思想解决问题的能力。解析几何与平面向量综合问题是高考热点。

参考案例：已知M（x0，y0）是双曲线C：上的一点，F，F是双曲线C上的两个焦点，12若则y0的取值范围是（ ）

在几何问题代数化的过程中，必然会带来繁杂的运算，中学阶段对数学运算素养的要求集中体现在：（1）在运算的合理性方面，如坐标的选择、直线方程的选择等都将直接影响计算的繁简；（2）运算的准确性，在计算中如果某一环节出现问题，就会导致整个运算的错误。 因此，教学过程中要克服重思路、轻运算的观念，要优化思维、优化运算，选择合理的运算途径。