数学核心素养视角下公式教学的思考与实践

张 东

（北京教育学院朝阳分院）

当前我国课程改革开始从以能力立意的课程体系逐步向以素养立意的课程体系发展，数学核心素养已成为统领我国各阶段数学课程育人的共同目标与核心任务，那么在初中课堂教学中要如何落实数学核心素养呢？《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出要结合特定教学任务，思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点；要注意数学学科核心素养与具体教学内容的关联；要关注数学学科核心素养目标在教学中的可实现性，研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体.这一思路对初中教师研究、落实数学核心素养的路径具有借鉴意义.初中教师在教学实践中首先应该清楚不同的教学内容在发展学生数学学科核心素养中所起的特殊作用是什么，然后在此基础上设计相应的教学过程，将核心素养的培养自然融入其中.根据这一想法，笔者就初中公式教学中重点承载了哪些数学学科核心素养，以及如何将核心素养的培养融入初中公式教学谈一谈自己的思考与实践.

一、初中公式教学中重点承载的数学核心素养要素

依据数学核心素养的内涵与表现，结合初中公式教学的主要内容及价值，初中公式教学重点承载着以下四个方面的数学核心素养.

1.数学抽象

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征.数学公式是重要的数学研究对象，它来源于对数量关系与空间形式在数量方面的规律与结构的高度抽象与概括，表现形式为由数学符号组成的等式或不等式.数学公式建立了数学对象间的一般规律与结构，为解决一类问题提供了方便、直接的方式和方法.公式教学中的问题提出、归纳概括、应用反思等数学活动，都有助于学生从本质上认识数学公式的起源、本质和价值，积累从特殊到一般、从具体到抽象的活动经验，有助于学生以简驭繁，养成一般化思考问题的习惯，发展数学抽象素养.

2.逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实出发，依据规则推出其他命题的素养，主要包括归纳、类比，以及演绎等推理形式.数学公式实质上属于数学命题的一种表现形式，它反映的是一种确定的数量关系，因此，在公式教学中通常需要经历公式的猜想与证明（部分初中生尚不能证明的公式除外），二者有机联系、相辅相成，确保了数学公式的严谨性.此外，公式的运用本质上是从一般到特殊的推理过程，需要学生审视公式的应用条件是否成立，防止不顾条件盲目的套用公式.因此，对公式的学习，有助于培养学生的创新意识，使其形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，发展其逻辑推理能力.

3.直观想象

直观想象是指利用图形感知事物的变化，理解并解决问题的素养.主要包括借助图形认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述和分析数学问题，建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.我们知道，一些代数公式具有可以借助几何图形验证公式的合理性或直观解释公式的结构特征（例如，乘法公式、一元二次方程的求根公式）.对于几何中的运算公式，更需要学生借助图形直观地发现其中的数量关系，并从几何意义上理解公式中所含字母的本质意义.因此，在公式教学中，借助图形来学习公式有助于增强学生的数形结合能力，形成对数学公式特征的直观把握，发展直观想象素养.

4.数学运算

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等.数学公式为某一类问题的解决提供了一般化、可操作、简单、直接的得到运算结果的方式和方法.学生通过公式的探究过程，可以把握运算对象的特征，理解运算的原理及适用条件和范围.在运用公式的过程中，需要学生分析运算对象的特征，将公式正用、逆用、变形用、创造条件用，增强学生思维的灵活性.因此，公式教学有助于进一步发展学生的运算能力，增强学生思维问题的品质，使其养成严谨求实、一丝不苟的科学精神，发展其数学运算素养.

二、在公式教学中落实数学核心素养的三个加强

基于以上分析，在核心素养的统领下，公式教学需要在以下三个方面有所加强.

1.加强对公式教学的整体性设计

章建跃先生在《核心素养统领下的数学教育变革》一文中指出，注重数学的整体性、思想的一致性、逻辑的连贯性和思维的系统性，是从“四基”“四能”通向数学核心素养的主渠道，是使课堂教学超越知识技能，进而使数学核心素养落地的康庄大道.然而，从当前的教学现状来看，许多教师在公式教学的整体性方面还有所欠缺，“只见树木，不见森林”的现象还很突出.所谓公式教学的整体性，一方面是指引导学生从数学内部发展的需求或生产、生活的需求出发，自己提出公式教学中的研究对象与研究问题，使学生感受到每个公式都不是凭空出现的，而是用数学的眼光去看待生活世界与数学世界的必然选择.例如，在学生认识了二次根式后，引导学生从类比数、整式，以及分式的知识发展体系中思考：对于二次根式应该继续研究哪些问题？使学生自己提出要继续研究二次根式的运算（加、减、乘、除，甚至乘方）法则及其运算律等数学问题，为学生最终从整体上认识二次根式的运算与整式运算、分式运算的关系奠定基础.

公式教学整体性的另一方面，是指可以尝试将研究框架一致（包括起源一致、研究内容一致、研究方法一致、研究用途一致）的相近公式整合在一起进行学习，这样的学习方式有利于学生从本质上把握一类数学公式的共同属性.例如，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三个运算性质公式是整式乘法运算的基础，它们都是整式乘法运算中最基础的运算类型，研究内容都是这种类型公式的运算法则，即运算结果与原式在底数和指数之间关系的规律性；研究方法都是举例、观察、归纳、证明；研究用途都是既可以正用，又可以逆用.因此，不妨在教学中通过创设情境引导学生整体提出幂的三种运算问题，在师生共同完成am∙an的法则探究后，由学生借助同底数幂的探究经验，自主设计的个性化探究方案，放手让学生进行个性化、开放性的自主探究.再如，平方差公式和完全平方公式，从来源上看都是整式乘法的特殊情形；从研究内容上看都在研究这种特殊整式乘法的运算结果是什么、有何规律、有何用途、公式结构有何特征等；从用途上看都能起到简化一些特定类型的整式乘法的作用；从研究方法上看都可以通过举例、观察、归纳、证明等方法进行探究，此外，公式都可以从几何角度解释其意义.因此，在教学中可以将平方差公式与完全平方公式进行整合，在第1课时中，让学生在特殊化思想的统领下，同时发现的问题；第2课时让学生在整体上从几何图形角度解释两个公式的几何意义，并通过公式的变形用、逆用、混合用，提高学生的运算能力.

在基于内容整体性的公式教学中，学生在用数学的眼光发现问题，用数学的思维主动研究问题，用数学的语言表达问题，在此过程中，学生的数学核心素养得到了充分的发展.

2.加强对公式几何意义的教学

著名的数学家黎曼有一句名言：每个数学公式背后，都有一个反映其本质的几何模型.我国著名数学教育家徐利治先生在《谈谈我的一些数学治学经验》一文中这样写道，无论从事数学教学或研究，我是喜欢直观的，学习一条数学定理及其证明，只有当我把定理的直观含义和证法的直观思路弄明白了，我才认为真正懂了.并且提到把借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知，即可称之为“几何直观”.因此，在公式教学中适时加强对公式几何意义的教学，将有助于学生直观想象素养的发展.例如，一元二次方程求根公式反映了一元二次方程根与系数之间的数量关系，当学生用教材中的配方法推导出了形如ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式后，不妨再从几何的角度介绍用其他形式的一元二次方程求根公式的推导方法.三国时代数学家赵爽在注释《周髀算经》时，推导形如x2+px=q(p＞0,q＞0)的一元二次方程求根公式的方法如下.将x2+px构造为长为x+p，宽为x的矩形，设其面积为q,将四个这样的矩形拼成一个大正方形，如下图所示.于是大正方形的面积为p2+4q,边长为则得方程x2+px=q的正根为用今天的代数符号语言表达此过程，即为时，

显然，赵爽的几何推导方法本质上也属于配方变形，如果将其引入教学，不仅能帮助学生更加直观的理解求根公式推导方法的本质，理解一元二次方程有实数根的条件，而且对学生进一步感悟数与形之间的内在联系具有积极意义.

3.加强对公式应用条件及逆用意识的教学

在公式教学中，我们经常会看到“用平方差公式计算”这样的题目，当学生读到这样的题目时，通常就不会再去思考所给算式是否符合公式的应用条件而去直接套用公式.长此以往，学生容易养成不顾条件，盲目使用公式的错误逻辑，这不利于学生数学运算与逻辑推理素养的发展.因此，在教学中，教师应将“用平方差公式计算”改为“计算”，并且要设置一些不满足公式条件的问题，使学生养成面对问题时，主动分析运算对象特征，思考是否满足公式应用条件，以及主动进行等价转化使公式条件得以满足的习惯.此外，对于公式的用途，很多学生受思维定式的影响只知道正向运用，但对公式的逆用却少之又少.我们知道，许多公式之间本身就具有互逆关系.例如，(a+b)(a-b)=a2-b2正用是整式乘法，逆用是因式分解；b正用是二次根式的乘法，逆用可以用于二次根式的化简.事实上，公式的逆用在高中、大学，乃至数学的整个体系中都具有重要地位.因此，在公式教学中，教师要布置一些逆用公式解决问题的任务，同时还要引导学生反思对于公式用途的思维经验，养成遇到公式主动进行逆用的意识，增强运算的灵活性与多向性，发展数学运算素养.

总之，对于数学核心素养视角下的公式教学，教师要以数学公式的本质为统领，在如何使学生对“什么是数学公式”“为什么这一等式要被称为公式”“数学公式从哪里来”“如何研究数学公式”“数学公式有何用途”等关键问题有所感悟上下一番功夫.

三、结束语

在数学核心素养的课改新时代，广大教师肩负起了培养学生数学核心素养的新使命，这就需要一线教师不断挖掘教学内容中所承载的数学核心素养要素，积极探索与实践在课堂教学中培养学生数学核心素养的有效策略与方法.希望本文的一些思考与实践，能给各位同仁带来启示与帮助.