Bogoliubov谱的微扰法*

张 颖，胡 洁

（首都师范大学物理系，北京 100048）

0 引言

自从爱因斯坦预言的玻色⁃爱因斯坦凝聚态（Bose⁃Einstein condensation，BEC）于1995年首次在实验室产生以来［1］，超冷玻色和费米气体已成为当代物理学中热门研究领域之一.超冷原子是保持在接近绝对零度下的原子，通常低于几十μK.冷原子物理实验系统为研究凝聚态物理问题，如BEC［2-4］和超流［5］等，提供了较为理想的平台.超流性与BEC现象密切相关.超流体可以流过狭窄的毛细管或狭缝而不耗散能量，其剪切粘度为0.1938年，Kapitza［6］与Allen 和Misener［7］分别发 现液体4He的超流 性.Landau 很快解释了这一现象，如果基本激发谱满足适当的标准，流体的运动就不会引起耗散，其显著特征是线性色散，这会发生超流［2］.在研究超流态时，为求解出准粒子的能谱，需要利用Bogoliubov 对体系的哈密顿量进行对角化［8］.由文献［9］可知，对于玻色子系统，Bogoliubov 变换为双曲变换，不再是幺正变换，这意味着对角化Bogoliubov 哈密顿量的问题，可以等价转化成求解泡利矩阵σz乘以Bogoli⁃ubov 哈密顿量所对应的本征值和本征态问题.对于简单的能带系统，如只有2 条能带，能带之间不存在耦合，Bogoliubov 哈密顿量的对角化等价于求解一个2×2 的非厄米矩阵的对角化问题，很容易求解.然而，当体系涉及多条能带时，能带之间相互耦合，Bogoliubov 哈密顿量矩阵的维度变得很高，计算变得非常困难.一般而言，无法利用解析的方法精确地对角化高维度的非厄米矩阵.因此，本文研究如何对多能带玻色系统做Bogoliubov 变换.

1 玻色子哈密顿量

1.1 两能带玻色子哈密顿量

考虑一个简单的两能带的玻色子体系，二次量子化后的哈密顿量为［8］

需要做Bogoliubov 变换以将体系的哈密顿量转换至自身表象下表示.对于玻色子系统，准粒子需要满足对易关系，对角化Bogoliubov 哈密顿量矩阵等价于求解σz Hk的本征值问题［9］.

对于2×2 的非厄米矩阵，可以通过求解其所对应的久期方程，得到体系的能量本征值，得到超流能谱

设Ek，i对应的本征态为ψi(k)=(ψk，ia，ψk，ib)T，其中i=1，2 分别表示体系的2 个本征态.由文献［9］可知，2 个本征态的形式分别为：

完成了Bogoliubov 哈密顿量矩阵的对角化，此时哈密顿量在自身表象中是对角矩阵，对角项为Bogoli⁃ubov 能量本征值，即准粒子能谱.

1.2 多能带玻色子哈密顿量

当体系涉及更多能带时，Bogoliubov 哈密顿量矩阵的维度也变得更高，此时对角化矩阵有一定难度.一般而言，无法解析求解出Bogoliubov 谱，在此，引入一种微扰的方法来求解Bogoliubov 谱.将非厄米的分为2 部分其中部分可以严格求解出相应的本征态和本征值，对于而言，是小量，记作微扰［13］.因此，可以在的本征解的基础上，将微扰的影响逐级考虑进去，从而可求得尽可能精确的近似能谱解.

式中En为体系的能量本征值分别为左右本征波函数，被称为双正交基，其正交性和完备性分别为

结合投影算符的性质可进一步推出

该式被称为谱分解定理［14］.

按照微扰论逐级展开的基本原理，令

并约定波函数的各高级近似解与零级近似解均正交，即

将等式（18）和（20）代入等式（9），可得

比较等式两边同量级项，可得出各级近似下的本征方程为：

将等式（17）分别代入等式（24）和（25）中，可得：

在此，求出了能量的各级修正.由此可知，Bogoli⁃ubov变换矩阵U由本征态组成，继续求解哈密顿量对应的本征态

利用投影算符的完备性，可将一级微扰近似波函数改写为

将等式（30）代入式（31），可将一级近似微扰波函数表示为

将所求的一级近似微扰波函数，代入能量的二级修正表达式（29）中，并结合投影算符的性质，可得出二级能量修正的简化表示形式

综上，准确到二级近似下，能量的本征值为

同理，可求出一级微扰近似下左本征波函数为

因此，在一级近似下，能量的左右本征波函数分别为：

得到能量En的本征态后，便可获得Bogoliubov 变换矩阵U，进而确定玻色子场算符与准粒子算符之间的关系，将Bogoliubov 哈密顿量从玻色子场表象转换至准粒子表象，完成Bogoliubov 变换，最终得到Bogoliubov 谱，即准粒子能谱.

在求解Bogoliubov 能谱时，对于式（1）体系的哈密顿量只保留了玻色子算符的二次项，因此，准粒子激发是具有良好定义的本征模式.在下一阶计算中，只将4 个动量k1、k2、k3和k4中的任意1 个替换为零动量，得到

此时，Bogoliubov 准粒子存在相互作用，不再是具有良好定义的本征模式，将导致准粒子具有有限的寿命，即发生衰变.而通过对体系哈密顿量做Bogoliubov 变换得到的准粒子能谱，变换矩阵为计算准粒子的Beliaev 衰变和Landau 衰 变［15］等行为，提供了重要的物理参数.

2 结论

本文研究了玻色子超流问题，当体系涉及多个能带时，提出一种非厄米矩阵微扰的方法求解Bogoliubov 能谱，同时，由近似本征波函数构成Bogoliubov 变换矩阵，完成玻色子场表象到准粒子表象的转换，以实现对体系哈密顿量的Bogoliubov变换.当考虑到玻色子场算符高阶项时，准粒子数不守恒，发生衰变.准粒子的寿命决定了量子多体系统的许多基本性质，如输运和热化等，为进一步研究准粒子的其他物理性质如衰变等，提供了尽可能精确的物理参数.