求解非齐次线性方程组中克拉默法则的运用

吕晓蝶

摘 要：非齐次线性方程组是线性代数中一个最基本的概念，它是高等代数的基础。而非齐次线性方程组的求解又是线性代数的基本内容和理论基础，是数学研究的中心问题之一。本文介绍了非齐次线性方程组中克拉默法则的运用，并通过例题解析如何利用克拉默法则求解非齐次线性方程组。

关键词：非齐次线性方程组；矩阵；克拉默法则

对于方程个数与未知量个数相等的线性方程组，我们称它的系数矩阵的行列式是该线性方程组的系数行列式。方程个数与未知量个数相等且系数行列式不为零的线性方程组一定有解，且只有一个解，此解可用该方程组的常数项和系数组成的行列式表示出来，这就是下面定理的克拉默法则[1]

定理1 可设矩阵A=（aij）n×n，且|A|≠0，则线性方程组

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2……………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

有唯一解：x1=■，x2=■，…，xn=■，

其中dj（j=1，2，…n）是把|A|中第j列换成方程组的常数项其余列不变的n阶行列式，即

a11 … a1，j-1 b1 a1，j+1 … a1na21 … a2，j-2 b2 a2，j+2 … a2n┇ ┇ ┇ ┇ ┇an1 … an，j-1 bn an，j+1 … ann

例1[2]解方程组

x1+x2+x3+x4=1x1+2x2+3x3+4x4=5x1+4x2+9x3+16x4=25x1+8x2+27x3+64x4=125

解：因为这个线性方程组的系数行列式是

1 1 1 12 2 3 41 4 9 61 8 27 64

是一个4阶范德蒙行列式，所以

|A|=（2-1）（3-1）（4-1）（3-2）（4-2）（4-3）=12≠0，

从而可以应用克拉默法则求解该非齐次线性方程组，又由

d1=1 1 1 15 2 3 425 4 9 16125 8 27 64=-12

同理可得，d2=48，d3=-72，d4=48。即方程组的唯一解为

x1=-1，x2=4，x3=-6，x4=4

例2 讨论当？姿为何值时，下面的非齐次线性方程组有唯一解，并求出该唯一解。

？姿x1+x2+x3=1x1+？姿x2+x3=？姿1x1+x2+？姿x3=？姿2

解：因为D=？姿 1 11 ？姿 11 1 ？姿=（？姿-2）2（？姿+2）

所以当D≠0，即？姿≠1且？姿≠-2时，方程组有唯一解。

又D1=1 1 1？姿 ？姿 1？姿2 1 ？姿=-（？姿-1）2（？姿+1）

D2=？姿 1 11 ？姿 11 ？姿2 ？姿=（？姿-1）2，

D1=？姿 1 11 ？姿 ？姿1 1 ？姿2=（？姿-1）2（？姿+1）2，

因此该方程的解为

x1=■=-■，x1=■=■，x1=■=■

注意：應用克拉默法则求解非齐次线性方程组必须具有方程的个数和变量的个数一样多与系数行列式不为这两个条件。

参考文献：

[1]涂道新，张光裕.线性代数.高等教育出版社，2008.

[2]何亚丽.线性代数。科学出版社，2011.