论证视角下的“三角形内角和”教材理解与教学设计（三）——“侧重推理论证”的教学目标定位合理吗

◇宋煜阳

（上接第3期第58页）

教学目标是教学活动的起点与归宿，是教学设计的核心与灵魂。当前，对“三角形内角和”一课的教学目标定位存在争议，焦点问题为：本课教学究竟是侧重操作验证还是侧重推理论证？我们可以从价值性与可行性两个维度进行论证，具体反映为：是否有必要让学生经历推理论证的过程？如果有必要，是否有理论依据支持这个观点？学生的现有认知水平能否承受推理分析过程的相关要求？

一、培养和发展推理能力、论证能力已成为国内外数学课程标准的重要目标

史宁中教授指出，数学教学的最终目标，是要让学习者学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。张天孝先生认为，运算和推理共同构成了数学的重要基础，是数学学习中应该培养的基本素养。可见，培养和发展推理能力具有重要意义。

国内外数学课程标准都非常重视推理能力、论证能力的培养，都明确将其纳入数学教学的重要目标。美国数学教师协会(NCTM）2000年颁布的《中小学数学原则与标准》中指出：从幼儿园到高中，推理和证明都应该成为学生数学经历的一个重要组成部分。通俗地说，在幼儿园、小学、初中、高中各个阶段都要开展适度的证明教学。我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程总目标中指出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。”这句话我们可以理解为三个方面：一是能通过观察、实验等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；二是能清晰地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；三是在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑。

小学生是无法基于公理和定理进行严格证明的，基本思想主要是帮助学生养成数学质疑、数学推理的思维习惯。而养成这种思维习惯的基础是，要积极创设条件，让学生充分经历论证的过程，鼓励学生寻找论据支持或反对数学命题的有效性。“三角形内角和”一课，则为学生寻求论据支持进行说理的训练提供了很好的机会。

为此，本课教学的价值并不仅仅是得到三角形内角和的结论，培养和发展学生的论证意识、推理能力才是更为上位的教学目标价值取向。

二、学生对三角形内角和结论认知差异为 “侧重推理论证”目标落实提供了空间

围绕“三角形内角和”一课能否有效落实“侧重推理论证”教学目标，笔者组织团队在杭州市富阳区、台州市路桥区、宁波市江北区和奉化区多个区域的城区学校进行了多次课堂教学实践，在教学效果上存在一定的区域差异。为此，笔者选择了处于多个区域中间水平的宁波市奉化区城乡8所学校400名四年级学生进行前测访谈，前测内容为：“你知道三角形内角和是多少度吗？”“你是怎么知道三角形内角和是 180°的？”统计数据显示，65.57%的学生知道三角形内角和结论，具体到城乡的每个班级都存在一定差异，即使是乡镇学校也有高达80%的学生知道结论的班级。而在学生获取结论路径上主要有老师（父母）告诉或书上看来、自己动手测量得到结论、借助三角尺度数推算、将长方形分割为两个全等直角三角形并根据“360°÷2”得出结论等情形。

学生获取知识结论的路径，恰好反映了学生对三角形内角和是 180°的现有认知水平，大致可以分为两个层次：第一层次，学生只得到了结论但并不清楚这一数学事实的来由；第二层次，学生除知道结论外，还能够尝试用自己的方式解释说明这一数学事实，如测量求和、三角尺度数推算、借助长方形进行推算等。从中我们可以看到，学生不仅在三角形内角和结论得知情况上存在差异，而且在得知这一结论的路径、认知水平上都存在差异，部分学生初步具备了论证的意识与能力。

那么，我们该如何判断某个班级是否适用于“侧重推理论证”的教学目标呢？该从哪几个维度分析判断呢？推理、论证作为一种数学能力，可以借鉴第一次国际教育成就评价协会研究提出的“数学能力”五个认知水平来分析。这五个认知水平分别是知识和信息、技术和技能、符号或者图式转译、理解、创造性，相应具体到三角形内角和推理论证分析维度为：内角和结论已知程度、组合图形中内角指认准确性、操作验证方式已知程度、三角形之间或三角形与其他平面图形拼组转化能力水平、例证的意识与能力水平。简单地说，从这五个维度来度量学生的基础，如果学生具有了这样的基础，就应该大力倡导“侧重推理论证”的教学目标。