在梳理中融通在对话中提升——“平面图形面积的整理和复习”教学实践与思考

◇林 琳

话题一：你会整理学过的有关平面图形面积的知识吗?为什么这么整理？

师：课前要求用自己喜欢的方法整理学过的有关平面图形面积知识。谁愿意和大家分享自己的整理过程？

生1：我整理出了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形这6种图形的面积计算公式。（如图1）

图1

师：看懂了吗？他为什么这么整理？

生：我觉得他用表格列举每种图形的面积计算公式，还用字母表示出来，一目了然，挺好的。

（展示生2作品，如图2）

图2

生：我觉得他整理得很特别，还把梯形的面积和高斯算法联系起来了。

师：谁听懂了？

生：我想他的意思是，梯形的上底就相当于首项，下底相当于尾项，高相当于项数，这个在我们求钢管根数的时候经常应用到。

生：我觉得他是按照我们推导的过程整理的，也写清了面积计算公式是什么。如果能加上这些面积公式是怎么得到的，会更好。

师：真好，发扬优点、弥补不足，在和同学的交流中有新收获。

生3：我是这样整理的，正方形的面积，就是一行摆放的小正方形有几个，用每行个数乘共有几行，得到是几个小正方形，面积就是多少。长方形的也一样。平行四边形是沿着一条高切开拼成长方形……（如图3）

师：其他同学有什么想说的吗？

图3

生：我觉得把面积公式的推导过程都整理出来了，还说得特别完整，可以让我们回顾学习这些知识的过程。

生：我觉得从他的整理可以看出用转化的方法推出图形的面积计算公式。

生：这样的整理使我们不仅知道这些平面图形的面积怎么计算，还知道为什么要这样计算。

师：明白其中的道理很重要。

（展示生4和生5的作品，如图4、图5）

图4

图5

师：观察这些整理方式，它们有共同之处吗？

生：我觉得大家都写出了平面图形的面积公式，而且都想到了面积公式的推导过程，图形和图形之间都有很大的关系。

师：在这些整理方式当中，你最欣赏哪种整理方式？为什么呢？

......

生：我也喜欢最后这两种，通过箭头把这些图对应连接，好像形成了一个大大的网。

生：我觉得数学是个神奇的科目，学完了某一个知识点后，就会有另一个新知识要用旧知识点来解答它，知识和知识之间联系紧密。

师：你说得特别好。通过这样的梳理，可以发现数学知识之间是有联系的，遇到未知时可以想办法转化为已知，更好地解决问题。

话题二：可能是什么图形？为什么？

师：今天林老师带来一个信封，里边装着一个平面图形，它的面积可以用9.42×3来计算，猜一猜，会是什么图形呢？为什么？先独立思考，有想法了可以同桌交流。

（同桌交流后反馈）

生：我觉得是长方形，因为长方形的面积用长×宽来求，9.42是长，3就是宽。

生：我认为有可能是圆形，因为 9.42就是 3π，这个算式就可以看成 π×32，3就是这个圆的半径。其实就是一个半径是3的圆形。

师：表达得很严密。

生：我认为有可能是梯形，3当成是梯形的高，9.42就是上底、下底的和。

师：其他同学认为呢？

生：我认为不可以，梯形的面积是上下底的和×高÷2，而这里并没有除以2。

师：（再问原来那个男生）现在你认为呢？

生：我忘了梯形面积要除以2。

师：谢谢他，也祝贺你，认识更清晰了。

生：我认为有可能是平行四边形，底是9.42厘米，高是3厘米。

师：像这样的平行四边形（如图6），在这两条平行线之间还能画出用这个算式计算出面积的形状不同的平行四边形吗？

图7

生：可以，可以画无数个。

生：我认为，如果没有要求在这两条平行线之间画的话，还可以画底是3厘米、高是9.42厘米的平行四边形，也可以画无数个。

师：真好，会从不同的角度思考。同学们，为什么都没人提到可能是三角形呢？

生：三角形的面积公式是底×高÷2，这里没有除以2的过程。

生：我认为不可能是三角形和梯形，这两种图形的面积都需要除以2后得到。

师：如果要画出面积与它们相等的三角形或梯形，会是什么样的呢？闭上眼想想，可以用手比画一下。

生：可能是一个底为 18.84厘米、高为 3厘米的三角形，或者底为9.42厘米、高为6厘米的三角形。

生：我还想说，如果三角形和平行四边形底一样的话，高就是它的2倍；如果是高和它一样的话，底就是这个平行四边形的2倍。

师：梯形呢？

生：如果是梯形的话，高是6厘米的话，上下底的和就是9.42厘米，如果是3厘米的话，上下底的和就是18.84厘米。

师：这一个算式可以联系这么多图形，这里面到底藏着什么图形呢？

（展示一小部分，如图7）

图7

生：（激动地）圆！

师：一定是圆吗？

生：也有可能是半圆。

生：不会是半圆，半圆的话，半径是9才对，比这个看上去要大。

师：再接着看——

生：我觉得有可能是一个圆加上一个长方形的组合图形。

生：我认为还有可能是一个半圆加上一个长方形。

师：都有可能。

生：我觉得有可能就是一个长方形，只是一边的宽少了一个半圆，另一边的宽又多了一个半圆，然后补齐也是一个长方形。

师：孩子们，想象一下他刚才说这个图形是什么样。

（生想象）

师：（揭示谜底如图8）这确实是一个组合图形。

图8

师：你们怎么没有想到是这样的图形呢？有什么值得反思的？

生：因为我单纯地认为应该只是一个普通的图形，而没有想到是一个组合图形。

生：要多思考，不能被表面所迷惑。

生：思考问题要深入，要想得更全面。

话题三：谁的作用最大？为什么？

师：在学习这些图形面积的过程中，你觉得谁起到的作用比较大？为什么呢？

生：我觉得长方形的作用最大，因为正方形、平行四边形、三角形、梯形甚至于圆形都是长方形面积推导出来的。

生：我觉得正方形的作用最大，因为当时学习长方形面积的时候也是用1平方厘米的正方形拼成的。

师：孩子们，图形的世界很奇妙。一本古书上记载，有个部落只用一种图形的面积公式就能计算出其他图形的面积，你们能猜出它用的是哪个图形吗？

生：我认为是长方形，面积公式是a×b。

生：我认为是正方形……

师：到底是什么图形呢？一起去见证吧！

（播放微课——图形秘事：为什么这个部落里只有梯形的面积计算公式呢）

当梯形的上底缩短再缩短为0时，变成一个三角形；当上底延长或下底缩短，使上下底一样长，也就是a＝b时，梯形变成了平行四边形；当上底延长或者下底缩短，使上下底一样长，并且腰垂直于底时，就变成长方形；把圆平均分成16份，拼成近似的梯形，平均分的份数越多，越接近梯形。

师：神奇吧！所以有人发出这样的感叹：梯形面积计算公式是万能的！

话题四：推荐什么易错题？为什么？

师：经过整理和复习，大家对平面图形的面积有了更深入的了解，在应用的过程中，也会发现特别容易错的问题。如果让你推荐一道易错题，你觉得会是什么呢？小组内可以先交流，再推荐出你们组选择的易错题。

（小组交流）

生：我们小组推荐的是求半圆的周长。

师：知道他们组为什么推荐这道题吗？

生：因为求半圆的周长，很多人会忘记加上下面的那条直径，同学们求出的其实是圆周长的一半，不是半圆的周长。求半圆的面积只要把一个圆的面积除以2就可以了。这样对比更明显了。

生：我们组推荐的是关于平行四边形面积的计算。（图略）这道题连续两次考试中都有人错了，最主要的是底和高要对应。

生：这是我们小组推荐的题目。（如图9）

师：如果满分是5分，你会给这道题几分？

生：我会给这道题满分，因为不仅题目写的好，还配上了图，图画得还很标准。

生：我想补充。这道题主要是一个推理的过程，要推出阴影部分的面积是用大圆半径的平方减去小圆半径的平方，再推出阴影部分的面积乘3.14就是环形的面积。

生：我不赞同他们的点评，我觉得这道题不是易错题，只要你第一次做的时候知道是怎么推理的，下次你做的时候就不容易错了。

图9

师：那你认为什么样的易错题才合格？

生：我认为同学们在做的过程中知道该怎么做，但是又很容易错，而且可能是重复犯错的题。

生：我觉得我们组推荐的符合她的要求，有两题，同一种错误。大家一定认为这两题很简单，但是在做的过程还是有很多人会忘记除以2，我们认为越是简单的题目越不能轻视。（如图10）

图10

师：真是从简单的题目中得到了不简单的领悟呀！是的，把简单的事做好也特别不简单。同学们，错误是难免的，但是遇到错误时要学会反思，争取不再犯同样的错，正所谓最好的学习就是在错误中学习。

师：关于图形的面积有什么样的拓展题呢？相信大家一定也有很多想法，建议大家课后继续推荐交流。