一类亚循环群同态个数的计算

张 良, 海进科

(1. 伊犁师范学院 数学与统计分院, 新疆 伊宁 835000； 2. 青岛大学 数学与统计学院, 山东 青岛 266071)

1 引言与预备知识

群的同态个数是群理论中的一个基本数量关系, 可以刻画群的某些性质和结构, 目前已有许多研究结果. 例如: Frobenius[1]给出了n阶循环群Cn到有限群G的同态个数满足

Hom(Cn,G)≡0(mod(n,|G|)),

其中(n,|G|)表示n和|G|的最大公因数; Yoshida[2]推广了文献[1]的结果, 将循环群换成了有限交换群； Asai和Yoshida[3]猜想对任意有限群A和G, 均有Hom(A,G)≡0(mod(|A/A′|,|G|), 其中A′是A的换位子群, 并证明了在某些特殊情形该猜想成立. 文献[4-5]计算了一些有限群到一般线性群的同态个数; 文献[6]计算了一些有限群到一些经典群的同态个数; 文献[6-11]分别计算了二面体群、 四元数群和模群等有限群之间的同态个数. 但对于一般亚循环群之间同态个数的研究目前尚未见相关文献. 设n是正整数, 如果

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则称群Gn为4n阶的亚循环群. 由文献[12]知, 该类亚循环群存在. 本文计算该类亚循环群之间的同态个数, 并验证该类亚循环群满足Asai和Yoshida猜想. 本文考虑的群均为有限群,m,n≥2是正整数, 记Hom(Gm,Gn)是Gm到Gn的所有群同态构成的集合, |Hom(Gm,Gn)|是Gm到Gn的所有群同态个数； 记d=(m,n),m=m′d,n=n′d, 其中(m,n)是m,n的最大公因数,m′,n′是正整数. [m,n]表示m,n的最小公倍数. 其他记号参见文献[12-13].

证明: 由群同态的定义及引理3可知结论显然成立.

引理4设m,n≥2是正整数, 记d=(m,n),m=m′d,n=n′d, 其中(m,n)是m,n的最大公因数. 则(m′,n′)=1.

证明: 由最大公因数的性质可知结论成立.

2 主要结果

定理1设m,n≥2是两个奇数, 则|Hom(Gm,Gn)|=2+2n(m,n).

定理2设m>1是奇数,n是偶数, 则:

1) 当n≡2(mod 4)时, |Hom(Gm,Gn)|=8+2n(m,n);

2) 当n≡0(mod 4)时, |Hom(Gm,Gn)|=16+2n(m,n).

证明: 1) 当m是奇数且n≡2(mod 4)时, 分3步证明.

2) 当m是奇数且n≡0(mod 4)时, 分3步证明.

综上可知定理2成立.

定理3设m是偶数,n≥1是奇数, 则|Hom(Gm,Gn)|=4+4n(m,n).

定理4设m,n是两个偶数, 则:

1) 当n≡2(mod 4)时, |Hom(Gm,Gn)|=16+4n(m,n)；

2) 当n≡0(mod 4) 时, |Hom(Gm,Gn)|=32+4n(m,n).

证明: 1) 当m为偶数且n≡2(mod 4)时, 分5步证明.

2) 当m是偶数且n≡0(mod 4)时, 分7步证明.

综上可知, 定理4成立.

由定理1和定理4直接可得该类亚循环群的自同态个数满足下列结论.

推论1设m≥2是正整数, 则:

1) 当m是奇数时, |End(Gm)|=2+2m2；

2) 当m≡2(mod 4)时, |End(Gm)|=16+4m2；

3) 当m≡0(mod 4)时, |End(Gm)|=32+4m2.

最后验证该类亚循环群满足Asai和Yoshida猜想.

推论2设m,n是两个正整数,Gm,Gn分别为4m,4n阶亚循环群, 则