PP检验对异方差时间序列的伪检验

田行宇，李传金

（1.宁德师范学院 语言与文化学院，福建 宁德 352100；2.福建工程学院 土木工程学院，福州 350118）

0 引言

时间序列分析在经济学、社会科学、工程应用等领域广泛应用。进行多变量的回归分析或自回归分析，都要求数据满足平稳性。当时间序列的概率分布不随时间变化，如变量的均值、方差和协方差不随时间变化，就可以认为时间序列是（宽）平稳的。

判别时间序列的平稳性包含图检验法和假设检验法两种类型。图检验法细分为时序图检验和自相关函数图检验。最常用的构造统计量进行假设检验的方法是单位根检验。单位根检验包含DF检验、ADF检验、PP检验等一系列方法[1,2]。

单位根检验会出现伪检验现象。Perron[3]将结构突变引入单位根检验，发现采用传统的ADF检验容易将带有结构突变的趋势平稳过程误判为单位根过程，这种现象称为“Perron”现象。Perron还给出了3类结构突变模型，分别为均值突变、斜率突变、均值与斜率双突变。栾惠德[4]、胡俊娟[5]、左秀霞[6]、何云强[7]深入研究了单位根检验在结构突变的时间序列中的应用。徐炳胜等[8]和吴翔[9]分析了单位根“伪检验”的不同类型。郭洪伟[10]指出一些文献中单位根检验存在伪检验。张建华[11]指出当时间序列结构突变时,不考虑这种结构突变而进行常规的单位根检验将导致错误结论，并且随着结构变化程度的增大,“伪检验”的可能性也会增大。刘田[12，13]指出ADF和PP检验对无趋势或线性趋势平稳过程可给出正确的结果，但非线性过程基本失效。

许多时间序列的方差随时间变化，属于异方差时间序列。已有的研究表明，ADF检验要求时间序列满足方差齐性，对异方差时间序列判别效果不佳[1,10]。对于PP检验是否能正确判别异方差时间序列的平稳性，王艳[1]认为PP检验适用于异方差时间序列的平稳性检验，吕光明[14]认为PP检验可以校正异方差对检验结论的影响。本文通过构造异方差时间序列验证PP检验能否正确判别异方差时间序列的平稳性。

1 PP检验

PP检验通过构造统计量Z()τ进行统计检验，具体方法如下[1,2]：

对时间序列Xt，考虑如下形式的自回归序列方程：

其中εt为随机干扰项。

零假设和备择假设分别为：H0:δ=0，（Xt非平稳）；H1:δ＜0（Xt平稳）。接受零假设，认为序列Xt非平稳；反之，拒绝零假设，认为序列Xt显著平稳。

Phillips和Perron对DF统计量τ进行了非参数修正，修正后的统计量：

其中：

修正后的统计量Z(τ)和DF统计量τ具有相同的极限分布，Z(τ)可以使用DF统计量τ的临界值表来进行判断。对比Z(τ)与临界值表中给定显著性水平α对应的临界值：当Z(τ)≤临界值，则拒绝零假设，Xt是非平稳的；当Z(τ)＞临界值，接受原假设，Xt是平稳的。上文只讨论了不含趋势项和常数项的情况。PP检验也可以检验包含常数项或同时包含常数项和趋势项的情况。

2 时间序列及平稳性检验

2.1 时间序列

按照均值方差都不变、均值突变、方差突变、方差递增、方差递减五种情况设计生成X1、X2、X3、X4、X5五个时间序列，每个序列的样本长n都为1000，X3、X4、X5属于异方差时间序列。序列X1、X2和X3分成n1(1～500)和n2(501～1000)前后两部分数据，每一部分都是高斯白噪声序列（符合平稳过程）。序列X1前后两部分数据的均值和方差相同，序列X2和X3前后两部分的均值μ和方差σ有变化，具体值见表1所示。方差递增序列X4和方差递减序列X5由序列X1构造而成，其中X4=X1*t/200，随t的增大方差增大，X5=X1*(1000-t)/200，随t的增大方差减小。

表1 X1、X2和X3的均值和方差

2.2 平稳性检验

（1）时序图法

图1中绘制了五个序列的时序图。从图1可知，从n1(1～500)到n2(501～1000)，X1的均值和方差无明显变化，X2的均值发生突变，X3的方差发生突变，X4的方差递增，X5的方差递减。根据平稳性条件中均值、方差为常数的性质，当数据是平稳时图形始终在一个常数值附近随机波动，且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征。若数据是不平稳时，往往表现出在不同的时间段具有不同的均值。由此可判断：X1是平稳的，X2、X3、X4、X5是非平稳的。

图1时序图

（2）自相关图

图2给出了五个序列的自相关图，其中横坐标为延迟期数k，纵坐标为自相关系数rk。由图2可知，X1、X3、X4和X5的rk较快衰减向零，X2的rk值从1缓慢衰减到0.7左右。根据自相关图平稳性判别方法，随着k逐渐增大，对于平稳数据，rk较快衰减向零，对于非平稳数据，rk衰减向零的速度较缓慢。由此判别：得出 X1、X3、X4、X5是平稳的，X2是非平稳的。

图2自相关图

（3）PP检验

使用MATLAB编写PP检验程序测试序列的平稳性。显著水平α=0.05。根据刘田[12，13]给出的公式4( )

2.3 结果

表2给出了时序图法、自关图法和PP检验平稳性判别结果。

表2 时序图法、自关图法和PP检验结果

从表2可知，对于X1，均值和方差都没有变化的数据，三种方法都能判别为平稳信号。

对于X2，均值有明显变化，方差没有变化，时序图和自相关图都判别为非平稳信号，而PP检验判别为平稳信号。显然PP检验出现了误判，说明PP检验不能有效判别数据均值改变的情况。

对于X3、X4和X5，均值没有变化，方差有明显改变，时序图判断为非平稳信号，而自相关图和PP检验都判别为平稳信号。显然自相关图和PP检验出现了误判，说明自相图法和PP检验都不能有效判别异方差序列的平稳性。

综合以上分析，时序图法可以准确判别五个序列的平稳性，自相关图法不能准确判断X3、X4和X5序列的平稳性，PP 检验不能准确判别 X2、X3、X4和 X5序列的平稳性。n10014确定滞后项为7。为了不失一般性，1～20范围内滞后项和三个模型都检验。检验结果所有的P值均小于0.001，判别结果拒绝存在单位根的零假设，判别序列X1、X2、X3、X4和X5都是平稳的。

3 结论

（1）平稳性判别需要结合时序图和自相关图法进行。单纯使用PP检验等假设统计检验方法，不结合时序图和自相关图法，容易出现误判。但时序图和自相关图法都要人工判别图形的特征，判别结果带有较强的主观性，准确性有时难以保证[1]。

（2）对于异方差时间序列，PP检验失效。一般认为，ADF检验是在方差齐性情况下应用，PP检验能够应用于异方差情况[14]。但通过本文的研究，PP检验对于异方差时间序列误判为平稳序列，检验失效，需慎用。

（3）相关研究已指出，对于时间序列出现均值改变，斜率改变，或两者都改变等结构突变情况，单位根检验准确性降低[4,11-13]。当时间序列的方差发生突变时有何影响，鲜有文献报道。建议今后研究时间序列平稳性时，可将方差突变列入结构突变的范畴。