基于新的区间二型模糊相似测度的多属性群决策方法

李洪岩，陈华友，周礼刚

（1.安徽交通职业技术学院 土木工程系，合肥 230051；2.安徽大学 数学科学学院，合肥 230601）

0 引言

在实际的决策问题中，由于人类思维的模糊性和客观事物的复杂性，例如人们在对评价汽车性能的时候，更倾向于使用“优”、“中等”、“差”等模糊的语言，因此，对基于模糊语言的群决策方法的研究具有重要的理论意义和实用价值。为了用模糊语言来表示决策信息，基于模糊语言标度的二型模糊集显示出其优势[1]。Zadeh在1975年提出二型模糊集的概念[1]，并将二型模糊集视为传统一型模糊集的拓展。和一型模糊集相比，二型模糊集能够更好地处理带有不精确信息的决策问题，因此被用于信息融合[2]、图像识别[3]、词计算[4]等诸多领域。作为二型模糊集最有效的简化形式，区间二型模糊数具有相对的简便性[5]，同时因为比一般模糊数包含了更多自由度，所以能够有效地表达模糊的语言评价信息，因此区间二型模糊数被广泛应用于群决策问题[6-11]。

另一方面，针对基于区间二型梯形模糊多属性群决策问题中专家权重和属性权重的确定方法研究则不多，文献[12]提出了一种基于加权几何集结算子的区间二型梯形模糊的多属性决策方法，文献[13]提出了一种基于区间二型模糊dependent有序加权平均算子和区间二型模糊power平均算子的多属性决策方法，同时提出一种区间二型模糊相似测度，用以构建专家权重和属性权重。但是上述方法均未考虑专家权重和属性权重均为区间二型梯形模糊数的情形，因此，本文在文献[10]区间二型模糊数的上、下隶属度函数可能度的基础上，并基于文献[11]构建了一种区间二型模糊离散度概念，提出一种新的区间二型模糊相似测度。同时基于区间二型模糊相似测度分别构建了专家权重和属性权重部分已知情况下区间二型梯形模糊数专家权重和属性权重确定模型，给出了基于新的区间二型梯形模糊相似测度模糊多属性群决策方法。

1 区间二型模糊数的概念及运算

定义 1[5]：模糊集：

称为二型模糊集，U为͂的论域，μA͂是͂的二型隶属度函数。二型模糊集͂还可表示为u)/(x，u),其中Jx⊂[0，1]。

定义2[5]：设͂为论域U上的二型模糊集，μA͂为其二型隶属度函数，若μA͂(x，u)=1，则称为区间二型模糊集。

定义3[13]：区间二型模糊数可表示为：

为了对区间二型模糊数进行大小的比较，Wu和Mendel提出了一种形心法。令分别表示区间二型模糊数͂的形心，若

图1 区间二型模糊数

（1）加法运算：

（2）乘法运算：

（3）数乘运算 (λ＞0)：

（6）方幂运算(λ＞0)：

在语言模糊决策中，为了对决策信息进行有效集结，文献[14]基于EKM算法[15]提出了一种区间分析方法，将语言决策信息转化为区间二型模糊数，得到不同语言标度集的语言评价转化值。例如，表1给出了一种含9个语言评价术语的标度集及对应的区间二型模糊数[13]。

表1 9个语言术语与区间二型模糊数的对应关系

2 新的区间二型模糊数的相似度的概念及其性质

文献[10]针对区间二型模糊数的上、下隶属度函数，提出了上、下隶属度比较的可能度的概念。

文献[10]将上、下隶属度函数的可能度进行综合来对区间二型模糊数比较大小，则称：

q值越大，对应的区间二型模糊数就越大。

显然，利用定义6和性质2可得区间二型模糊数͂与的相似度满足下列性质：

显然，利用定义7和性质3可得区间二型模糊决策矩阵的相似度S(̂，̂)满足下列性质：

性质4：设Ŝ，̂)为̂与̂的相似度，则：

3 基于区间二型模糊相似度的群决策专家和属性权重确定的最优化模型

考虑多属性群决策问题，设有m个方案x1，x2，…，xm，n个属性c1，c2，…，cn，K个决策者d1，d2，…，dK；决策者的权重向量为为 区 间二型模糊数，设̂满足部分权重信息的集合为H；决策者dk针对n个属性对m个方案进行评价，得到语言决策矩阵经过表1转化为区间二型模糊矩阵设专家矩阵经过下式集成为综合区间二型模糊矩阵

则基于区间二型模糊相似度的群决策专家权重确定模型可表示为：

模型(M-1)中，目标函数可看成区间二型模糊相似度的平均值，约束条件的第一行为区间二型模糊数的上、下隶属度函数需要满足的坐标条件，约束条件的第二行来自于文献[17]，约束条件的第三行是为了保证下隶属度函数始终位于上隶属度函数的下方用直线的斜率表示的不等式组，约束条件的第四行为部分权重信息集合H，以及上下隶属度函数的最大值的关系。

类似的，可以讨论基于区间二型模糊相似度的属性权重确定模型。

根据式（15）得到的综合区间二型模糊矩阵，设属性权重向量为为区间二型模糊数，同样满足部分权重信息。设综合区间二型模糊决策矩阵经过下式得到综合方案属性值：

则基于区间二型模糊相似度的属性权重确定模型可表示为：

模型(M-2)和模型(M-1)相似，可直接求解得到属性权重向量̂。

4 基于新的区间二型模糊相似度的模糊多属性群决策方法

基于新的区间二型模糊相似度的模糊多属性群决策方法步骤如下：

第1步：决策者dk针对n个属性对m个方案进行评价，得到语言决策矩阵

第7步：利用式（10）和式（11）对̂进行排序，并选出最优方案；

第8步：结束。

5 案例分析

考虑一个投资决策问题，某投资公司需要做一个企业项目投资，备选企业为：x1为汽车企业；x2为食品企业；x3为计算机企业；x4为军工企业。该投资公司主要从下述三个方面来对备选企业进行评估：c1为企业风险分析；c2为企业发展分析；c3为企业的社会政治影响分析。现有三个决策者，针对上述三个方面对四个备选企业利用下面的语言标度集来进行评估：

得到决策矩阵R(k)（k=1，2，3），如表2至表4所示。

表2 决策矩阵R(1)

表3 决策矩阵R(2)

表4 决策矩阵R(3)

基于新的区间二型模糊相似度的模糊多属性群决策方法步骤计算后，结果显示：

故有p2＞p4＞p1＞p3，即有x2≻x4≻x1≻x3，因此食品企业为最佳投资企业。

与文献[13]相比较而言，本文定义的区间二型模糊相似测度是基于上下隶属度函数比较大小的可能度，而文献[13]提出的相似测度则是基于普通的距离测度，另外，本文基于新的区间二型模糊相似测度构建模型确定群决策专家权重和属性权重，且权重均为区间二型模糊数，这样更能体现出决策的合理性。

6 结束语

本文基于区间二型模糊数的可能度定义了一种新的区间二型模糊型相似测度，讨论了其性质，并基于该区间二型模糊相似测度构建了群决策专家权重确定模型和属性权重确定模型，且得到的专家权重和属性权重均为区间二型模糊数，同时提出了一种基于新的区间二型模糊相似测度的模糊多属性群决策方法，并通过投资选择群决策验证该方法的合理性和有效性。