基于节点失效和需求不确定的弹性供应链网络优化模型与算法

肖建华，刘 侠，尚 帅，陈 萍

（南开大学a.现代物流研究中心；b.商学院；c.中国特色社会主义经济建设协同创新中心，天津 300071）

0 引言

随着经济全球化、信息技术和社会分工的快速发展，供应链已逐渐演变成一个由供应商、制造商、分销商、OEM厂家、物流服务提供商等构成的复杂网络系统，众多的参与者及其之间复杂的关系正不断加剧供应链的运营风险。与此同时，传统的精益化供应链管理不断追求低成本和“零库存”，使供应链不断“瘦身”，处于一种极度拉伸状态，一旦发生供应链中断则短时间内难以恢复，造成供应成本急剧增加，降低顾客服务水平，甚至造成品牌受损及较坏社会影响。因此，研究如何构建弹性供应链网络，提高网络节点失效时供应链网络恢复到正常运作的能力，对有效减少不确定扰动对供应链造成的损失和影响具有重要意义。

本文研究在供应网络中多层级节点失效条件下，如何通过事前措施增强节点弹性能力，提高供应网络对节点失效的抗干扰能力并最小化成本。并分析弹性系数、需求波动对供应网络设计、网络成本的影响，为供应网络设计者提供决策支持。

1 问题描述与模型建立

1.1 问题描述

本文考虑由I个供应节点，J个分销中心和K个需求点构成的单产品三级供应链网络。其中，各供应节点及其供应能力已知，决策者需要从有容量限制的候选分销中心中选择合适节点与供应节点、需求点共同组成供应网络。当供应节点、分销中心的节点失效时，需求点会因为供应中断产生缺货损失，同时需求点的不确定性还会对整个供应链网络的稳定性产生全局性影响。因此，供应链网络需要在节点失效的情况下，尽可能满足客户需求，同时使网络的期望总成本最低，即满足弹性系数约束下的网络期望总成本最小。

本文对供应网络中节点失效的不确定性采用情景法描述，通过合理设计供应节点的弹性供应能力及分销中心的弹性库存，保证供应链网络在任何节点失效情景下都能具有较强的弹性供应能力，并最小化相关成本。

1.2 符号说明

I：网络中供应节点的个数；

J：网络中候选分销中心的个数；

K：网络中需求点的个数；

S：情景数；

dij：供应节点i到候选分销中心j的运输距离；

d′jk：候选分销中心j到需求点k的运输距离；

cij：供应节点i到候选分销中心j的单位运输费率；

c′jk：候选分销中心j到需求点k的单位运输费率；

cri：供应节点i的单位弹性供应能力成本；

cr′j：候选分销中心j的单位弹性库存成本；

Capi：供应节点i的标称最大供应能力；

Cap′j：候选分销中心j的标称最大容量；

fj：选择分销中心j的固定成本；

Soc：节点失效等带来的单位缺货成本；

ps：情景s发生的概率；

：在情景s下需求点k的需求量；

：若供应节点i在情景s时发生失效，则为1，否则为0；

：若候选分销中心j在情景s时失效，则为1，否则为0；

R：供应链网络弹性系数，即任何情景下供应链网络至少满足的供应量与实际需求量的比值；

Xj：若候选分销中心j被选择，则为1；反之，则为0；

Ri：供应节点i的弹性供应能力；

R′j：候选分销中心j的弹性储备库存；

：情景s下供应节点i到候选分销中心j的供应量；

：情景s下候选分销中心j到需求点k的供应量；

：若情景s下分销中心j到需求点k的供应量为正，则为1，否则为0。

1.3 模型假设

（1）相同层级只考虑单个节点失效的情况，不同层级节点可能同时实效。

（2）每个需求点只能由一个分销中心负责配送。

（3）需求点的需求波动服从正态分布，不同情景下需求点k的需求量波动范围为∈( )μk-3σk，μk+3σk。其中，μk为需求点k的需求均值，σk为需求点k的标准差。

1.4 模型建立

为深入研究弹性系数与需求不确定性对弹性网络的影响，以及不同选址策略下各供应节点和分销节点的弹性设计，本文建立了如下混合整数规划模型：

其中，式（1）为目标函数，表示最小化网络的期望总成本，包括期望运输成本、固定成本、弹性成本和缺货损失成本；式（2）保证任何节点失效情景下供应链网络的供应量与实际需求量的比值不低于供应链网络弹性系数；式（3）保证在任何节点失效情景下任何供应节点的实际供应量不超过其标称最大供应能力与弹性供应能力之和；式（4）保证在任何节点失效情景下任何分销中心的实际分销量不超过其标称最大分销量与弹性储备库存之和；式（5）保证在任何节点失效情景下任何分销中心的实际分销量不超过其供应节点实际供应量与分销中心弹性储备库存之和；式（6）表示在任何情景下对需求点的实际供应量不超过其需求量；式（7）保证若情景s下分销中心j到需求点k的供应量为正，则为1；式（8）保证每个需求点只能由一个分销中心负责供货；式（9）为非负约束；式（10）为决策变量约束。

2 模型求解

考虑节点应急能力的弹性供应链网络设计问题比经典有容量约束固定费用网络设计问题复杂度更高，属于NP-Hard问题，精确解将面临维数灾问题，国内外学者多用智能启发式算法进行求解。本文将采用改进的遗传算法来求解该问题。

首先利用虚拟节点思想对原问题进行转化。以图1为例，虚拟起点到供应节点i线路上的最大容量为供应节点i的最大供应能力及其弹性供应能力之和；供应节点i到候选分销中心j之间的线路容量等于Capi+Ri与两者之间的较小值；候选分销中心j与需求点k之间线路容量等价于两者之间的较小值；需求点到虚拟终点的线路流量为需求点的需求量。

图1重构供应网络结构示意图

其中，虚拟起点到各供应节点以及各需求点到虚拟终点的单位运输费用为0；虚拟节点到实体节点、虚拟节点到虚拟节点之间的单位运输成本远远大于实际路线的单位运输成本，因此在选择路线时，流量总会避开高成本的线路，只有当大面积节点中断或需求很大导致无法满足实际需求才会经过虚拟路线。对重构后的网络，给定各节点的弹性能力值和选定分销中心后，问题等价为从虚拟起点到虚拟终点的最小费用最大流问题，可用最短增广链法求解。

考虑模型情景较多，传统约束处理方法难以处理，本文将约束条件作为一个目标，计算每一个体违反约束的次数。在处理约束时，将约束放在首位，适应度放在第二位，即若两个体1和个体2，个体2违反约束的次数少于个体1，则个体2优于个体1；当个体1和个体2违反约束的次数相同时，个体1的适应度值比个体2的适应度值高，则个体1优于个体2。该方法能更快筛选出符合条件的个体，进而提高算法运行效率。

已知算法最大迭代次数为ITERMAX，初始种群数量为NIND，情景数为N。本文模型求解算法步骤如下：

步骤0：给定一组弹性系数值与需求波动偏差；

步骤1：根据失效概率依次选定节点失效情景；

步骤2：产生初始种群，将选址方案、各节点弹性储备值、各节点流量分配同时编码到同一条染色体，并产生种群数量为NIND的初始种群；

步骤3：利用最短增广链法，计算每条染色体在不同情景时的个体适应度值与违反约束次数，并根据约束优先原则，得到当前最优解X及最优值f(X)；更新当前最优解X*和最优值f(X*)，令X*←X，f(X*)←f(X)；

步骤4：使用轮盘赌注操作，产生与初始种群数目相同的新种群；

步骤5：对新种群进行交叉操作和变异操作；

步骤6：计算当前种群的最优解X和最优值f(X)。若f(X*)＞f(X) ，更新当前最优解X*和最优值f(X*)，即令X*←X，f(X*)←f(X) ；否则，最优解X*和最优值f(X*)不变；

步骤7：重复步骤4至步骤6ITERMAX次；

步骤8：输出当前最优解X*和最优值f(X*)，解析分销中心选择方案、弹性储备量。

3 算例分析

某连锁公司有两个商品供应基地M1和M2，其商品需求分布在L1，L2，L3，L4，L5和L66个区域，且需求均呈正态分布，均值和标准差已知。现该公司拟从候选分销中心N1，N2，N3，N4，N5中选出3个分销中心构成三级分销网络。考虑产品的特殊性，一旦发生供应中断将会造成较大损失，单位缺货成本为80000元/吨，所以公司要求其分销网络具有较好的弹性。因此，公司决定在两供应基地和各分销中心采取弹性储备措施，使网络在满足弹性系数约束下分销网络总成本最小。企业要求供应网路的弹性系数为0.6。已知各供应基地的最大供应量、失效概率、单位弹性供应能力成本如表1所示；各候选分销中心的最大容量、固定费用、失效概率、单位弹性库存费用如表2所示。

供应基地到各候选分销中心的单位运输费用，候选分销中心到各个需求地的单位运输费用，以及各需求点需求均值和标准差如表3和表4所示。

本文用改进遗传算法对其进行求解，其算法主要参数设置为：种群数量为50，最大迭代次数为300，交叉率为0.8，变异率为0.2，求解结果如表5所示。

表1 各供应基地的最大供应量、失效概率、单位弹性供应能力成本

表2各候选分销中心的固定费用、最大分销量、失效概率及单位弹性储备成本

表3 供应基地到各候选分销中心的单位运输费用 （元/吨.公里）

表4候选分销中心到各个需求地的单位运输费用及需求点的需求均值及标准差

表5 算例求解结果

3.1 弹性系数与需求波动对选址结果的影响

为了说明弹性系数和需求波动对选址决策的影响，对弹性系数取值分别取R=0.5，0.6，0.7 ；需求波动σ=1， 3， 5，结果如表6所示。

表6 不同弹性系数与需求波动标准差组合下的求解结果

从表6可以看出，随着供应链网络弹性系数要求的增高，选址决策会发生相应的改变。如当σ=5，R=0.5时，选址结果为{N1，N2，N5}三个易发生中断的分销中心；而当σ=5，R=0.7 时，选址结果变成{N1，N4，N5}三个较之不易发生失效中断的分销中心。同时，也可以发现当市场的需求波动变大时，供应链网络更倾向于选择不易发生失效中断的分销中心。

通过候选分销中心的特点，不难发现分销中心的选址成本越低，其失效概率也越大，这与实际相符。当网络对弹性要求较低时，会优先选择固定成本低，所处地理位置比较适合运输的候选分销中心作为网络的分销中心；但当网络对弹性系数要求变高后，网络节点更倾向于选择失效风险更低的节点作为分销中心，从而在面临失效风险时能更有力地降低供应链网络的失效成本；需求波动改变选址结果的本质原因为需求波动的增大会间接提高网络弹性的要求。以案例中总期望需求值为160吨为例，当弹性系数为0.5时，网络至少要满足80吨的需求量。当需求波动偏差为5时，需求量最大值为190吨，此时网络至少要满足95吨的需求量，这无疑对网络弹性提出了更高的要求。

3.2 弹性系数和需求波动对网络总成本的影响

弹性系数和需求波动不仅会影响网络结构，还直接影响网络总成本。从表6第一行结果可以看出，当R=0.5时，随着σ的取值从1增大到5，网络总成本也随之从2892900元递增到3490200元。类似地，当R=0.6， 0.7时，网络总成本同样遵从递增规律。从列的角度看，当σ分别取值为1,3,5时，随着R取值增大，网络总成本也会逐渐增大，如图2所示。很显然，网络弹性系数和需求波动的增高，实质上都是网络对弹性的要求越来越高。为满足需求端需求，供应节点层级会被迫增加弹性供应能力，提高弹性投入成本；分销中心层级则会放弃一些地理位置优越和固定成本较低的候选分销中心，被迫选择失效概率更低的候选分销中心，从而被迫提高网络的固定选址成本与运输成本。

图2不同弹性系数和需求波动下的成本走势图

从以上分析可知，弹性系数的增加会使企业在面临失效风险时更加游刃有余，不会因为过多的缺货损失导致公司客源的大量缺失以及避免造成严重的社会影响，但是网络的总成本也会相应增加。各个企业可以根据企业商品的性质，以及企业的发展战略来选择合适的弹性系数。与此同时，需求波动也会对网络决策产生重大影响，管理者在进行网络规划决策时，需关注需求点的需求波动。

3.3 弹性网络与传统网络的比较

为研究弹性供应链网络和传统供应链网络在面临风险时的表现，将两类网络置于3种需求波动情景中，结果如表7所示。

表7 两种网络在不同需求波动情景下的求解结果

从表7可以看出，在不同需求波动情景下，弹性网络的总成本优于传统网络。以σ=1为例，传统供应链网络在进行供应链网络设计时不会增加网络的弹性成本来规避风险，其选址方案对应的候选分销中心失效概率也大于弹性网络，尽管其网络设计的选址成本和运输配送成本均低于弹性网络，但一旦发生中断失效，网络的运营惩罚成本会大幅升高，从而使网络的总成本增加。相比之下，弹性网络在选址过程中不仅将分销中心的固定成本和配送成本考虑在内，而且加入候选分销中心节点失效概率的指标进行综合考量，同时投入一定的弹性成本在供应端的各个节点布置弹性库存和弹性供应能力，实现网络惩罚成本和选址成本以及运输配送成本的平衡，使网络总成本最低。

4 结束语

针对供应网络中多层级节点同时失效和需求不确定的风险，本文构建了考虑节点应急能力的弹性三级供应网络优化模型，确定给定弹性系数下的网络结构决策和各供应节点和分销节点的弹性供应能力。针对问题复杂度高的特点，基于改进遗传算法对模型进行求解。通过算例及灵敏度分析，验证了本文给出的弹性网络的有效性，分析了需求波动对网络结构和成本的影响，为企业弹性供应网络的规划决策提供了方法和依据。