基于一维Logistic离散系统控制的最简Lorenz系统动力学分析

牟 俊， 杨 飞 飞， 罗 春 凤， 曹 颖 鸿

( 大连工业大学 信息科学与工程学院, 辽宁 大连 116034 )

0 引 言

混沌理论是过去几十年来一门蓬勃发展的关于非线性系统的科学，混沌现象无处不在而且具有重要的应用价值，尤其在信息安全[1]等领域的应用越来越广泛。近年来，混沌理论由于在信息安全领域的巨大应用前景而被广泛研究[3]。

有关时间序列混沌的判定主要从不同的角度分析了混沌系统的动力学特性。通过计算系统的李雅普诺夫指数[4-6]区分不同的动力学运动形式是最常用的定量分析方法。系统的复杂度也是分析混沌特性的方法，其时间序列复杂度越大，随机性越大，序列能够被恢复的难度就越大。从物理意义上来讲，排列熵是计算序列产生新随机序列的量度，而李雅普诺夫指数是计算序列的空间发散程度[7]。在实际应用中，混沌系统应用应具有尽可能大的复杂度，以保证扩频通信系统的抗干扰和抗截获能力。如今已提出不少定理和推论用于混沌吸引子存在的预测。

姚明海等[8]通过改变离散混沌系统的李雅普诺夫指数对离散混沌系统进行控制。陈菊芳等[9]利用电子线路实验实现了一个具有混沌和超混沌特性的二维离散系统。盛利元等[10]根据椭圆反射腔物理模型提出了一种改变系统演化轨道的切延迟操作方法，导出了一类离散混沌映射系统。文献[11]分析了一个离散混沌系统的动力学性质。罗少轩等[12]在基于参数切换算法的基础上提出了一种新的混沌系统参数切换算法。韩建群等[13]发现了Duffing离散混沌系统。朱淑芹等[14]在修正版Marotto定理基础上构造了一个四维离散混沌映射。Rihab等[15]提出了一种矢量标准方法对离散时间混沌系统同步的研究。连续混沌系统主要研究同结构系统同步、异结构系统同步、记忆元件、混沌电路和图像加密等[16-20]。文献[21-23]对离散系统与连续混沌系统分析方法进行了比较及总结。现有的研究只是对单一的离散系统或者连续系统进行分析，并没有将两者联系起来，因此，本研究用离散混沌序列控制连续混沌系统参数的方法，对一维Logistic迭代映射[24]产生的离散序列控制最简Lorenz系统[25]进行动力学分析。

1 离散混沌序列控制连续混沌系统参数的算法

假设一个n维离散系统f1(Xn，Yn，Zn，…)，假设它的某二维平面吸引子范围包含于[A，B]，它的序列取值如下：

(1)

式中：n=1，2，3，…，p，p为自然数，∀Xn，Yn，Zn，…⊆[A，B]，取其中一个序列，假设是Wn，满足

Wn={W1，W2，W3，…}⊆[A,B]

(2)

假设Wn的阶数为m，且有m⊆[1，N]，在式(2)中，W1，W2，W3，…的值组成一个随机序列。并假设一个n维的连续混沌系统f2(x，y，z，…)，系统参数为a，当a∈[A，B]，系统f2(x，y，z，…)处于混沌状态，让参数a=Wn，就得到了一个离散混沌序列控制的连续混沌系统。

2 一维Logistic映射动力学分析

2.1 系统模型及系统参数对动力学特性的影响

Logistic映射的数学模型为

xn+1=αxn(1-xn)

(3)

令α=4，设置迭代初始值x1=0.1，可得到一维Logistic映射吸引子相图见图1，其李雅普诺夫指数谱以及与之对应的分岔图见图2，由于存在一个大于0的李雅普诺夫指数值，此一维映射存在混沌态。计算得到LE=0.694 9，一维迭代映射的李雅普诺夫维数dL=0.694 9。当α=3时，进行第一次迭代分岔；当α=3.5，进行第二次迭代，接着整个系统进入分岔阶段，α∈[3.827，3.869]存在一个较大的周期窗口，此时系统处于周期态，随之系统进入混沌状态。

图1 吸引子相图

2.2 排列熵复杂度分析

排列熵复杂度算法主要思想是对时间序列复杂性的一种度量计算方法，作为判断混沌系统的依据，排列熵的概念简单清晰，计算简单，使用方便[7]。混沌伪随机序列的排列熵复杂度的计算与混沌序列的复杂度计算相似，而排列熵复杂度的计算采用多进制量化的方法进行量化，然后对混沌伪随机序列进行重构。在Logistic映射中，令

(a) 李雅谱指数谱

(b) 分岔图

图2 一维Logistic映射李雅普诺夫指数谱与分岔图

Fig.2 Lyapunov exponents spectrum and bifurcation diagram of the one-dimensional Logistic map

维数p=5，序列长度为5 000，可得到如图3所示的结果。图3能够清晰地显示系统排列熵复杂度的系统动力学特性变化趋势。

图3 一维Logistic迭代映射排列熵复杂度

2.3 概率密度分析

针对已有的混沌优化算法几乎都是利用Logistic 映射作为混沌序列发生器，而该混沌序列的概率密度函数呈现两头多中间少的切比雪夫型的分布性质，不利于搜索的效率和能力[26]，在解密和搜索时需要注意。一维Logistic迭代映射的离散序列Xn的概率密度如图4所示。

图4 一维Logistic迭代映射概率密度测试

3 基于离散序列控制的最简Lorenz系统的动力学分析

3.1 最简Lorenz系统分析

最简Lorenz混沌系统方程[27]

x.=10(y-x)y.=(24-4c)x-xz+cyz.=xy-8z/3

(4)

取系统初值为(1，2，3)，仿真步长为t=0.01 s。最简Lorenz系统在c=2时的李雅普诺夫指数稳态值为LE1=0.848 6，LE2=0，LE3=-11.516 1，由此可以计算出相应的李雅普诺夫维数为dL=2.073 7。最简Lorenz系统混沌吸引子相图见图5。李雅普诺夫指数谱及其对应的分岔图见图6。动力学行为汇总见表1，其特殊的相应的相图见图7。当参数c变化时，系统处于混沌态、周期态、稳定不动点等动力学状态，最简Lorenz系统的最小李雅普诺夫指数恒小于-10，可见Lorenz系统在c∈(-2，6)时系统的李雅普诺夫指数为正数，表明系统处于混沌态。由图5可见原最简Lorenz连续系统随参数变化的复杂度，系统处于混沌态时的复杂度是所有状态最大的。李雅普诺夫指数越大，分离程度越大，系统也越复杂，系统复杂度见图8。在c=6.014 3存在一个周期窗口，此时系统处于周期态。当c∈(-2.342，6.014 3)，系统存在正的李雅普诺夫指数，系统处于混沌态。

图5 x-y平面相图

(a) 李雅谱指数谱

(b) 分岔图

图6 李雅普诺夫指数谱与分叉图

Fig.6 Lyapunov exponents spectrum andbifurcation diagram

表1 系统随参数变化的动力学行为

3.2 一维Logistic离散混沌序列控制最简Lorenz混沌系统

将原最简Lorenz系统参数c引入一维Logistic 迭代映射的各个离散值，并设为e(t)，得到新的系统，如式(5)所示。

x.=10(y-x)y.=(24-4e(t))x-xz+e(t)yz.=xy-8z/3

(5)

取仿真参数中初值为如最简Lorenz系统的初始值，仿真步长为t=0.01 s。其相图轨迹如图9所示。其李雅普诺夫指数谱以及与之对应的SE和C0复杂度如图10和图11所示，在迭代函数的控制下，总是存在正李雅普诺夫指数，系统没有周期态，恒处于混沌状态。李雅普诺夫指数稳态值为LE1=0.888 8，LE2=0，LE3=-13.376 4，由此可以计算出相应的李雅普诺夫维数为dL=2.066 2，系统有最大的李雅普诺夫指数为0.922。当参数e(t)变化时，系统的最小李雅普诺夫指数恒小于-12，故保留最大的一个李雅普诺夫指数如图10(b)所示，可见系统随离散变量e(t) 变化具有更加随机的动力学特性。从改进后的Lorenz系统的SE复杂度和C0复杂度也可以看出在系统复杂度变化趋势更加随机，处于混沌态时复杂度增大，这与对应的李雅普诺夫指数谱的结果都是一致的。相应动力学行为汇总见表2。

(a) c=2

(b)c=6.013 4

(c)c=7

(d)c=8

图7 不同参数c下的x-z平面相图

Fig.7 Phase portraits ofx-zwith different parameterc

(a) SE

图9 Lorenz系统x-y平面相图

3.3 吸引子共存现象

隐藏吸引子是近年来新定义的一类吸引子，基本原理的描述与分析如文献[28-33]。最简Lorenz系统以及其一维Logistic离散混沌序列控制最简Lorenz混沌系统的混沌吸引子共存现象如图12所示。在原系统中，当参数c=-2，t=0.01 s时，红色轨迹初始值为(30，30，30)，蓝色轨迹初始值为(1，2，3)。可以比较出两个系统在运动轨迹上的变化。

(a) 李雅普诺夫指数谱

表2 系统动力学行为

3.4 连续混沌系统的动力学特性对比分析

对最简Lorenz系统及其在一维离散系统控制连续系统的复杂度进行对比，其复杂度特性情况如表3所示。由表3可知一维离散系统控制连续系统的复杂度更大一些，由“3.1”的分析可知，最简Lorenz混沌系统的混沌特性显示较少的多样性，大多数时候系统处于混沌态，且混沌吸引子的相图轨迹的形状没有较大的不同，所以几乎没有特殊的吸引子共存现象；同理对“3.2”中一维离散系统控制连续系统的李雅普诺夫分析可知，系统恒有一个正的李雅普诺夫指数和一个负得多的李雅普诺夫指数，系统恒处于混沌状态，并且李雅普诺夫指数和复杂度都有所提高。

(a) SE

(a) x-y平面

表3 系统复杂度特性对比

4 结 论

对一维Logistic迭代映射系统、最简Lorenz混沌系统及一维Logistic离散混沌序列控制最简Lorenz混沌系统进行动力学特性分析，其分析结果表明：(1)离散序列控制下的Lorenz系统有更加复杂的动力学行为；(2)在Lorenz混沌系统中，系统的相图形状随参数改变没有很大的改变，但其运动范围发生了变化；(3)一维Logistic迭代映射具有混沌系统从周期态进入混沌态的典型特征；(4)系统复杂度在一定范围内波动，即连续混沌系统的复杂度具有有界性，这也是混沌系统所固有的特性之一。最后还找到了存在系统的吸引子共存等特殊的混沌现象，一维Logistic离散混沌序列控制最简Lorenz混沌系统具有更加丰富的动力学特征，为混沌系统应用于密码学、保密通信、信息安全等领域提供了相关理论依据和实验指导。