提升数学教学品质的七条关键原则

储冬生

[摘 要]数学教学归根到底是为儿童的数学学习服务的。支持儿童成长既是一种理念，更是一种方法和策略。要使“数学教学”走向“数学教育”，实现教学品质的根本提升，教师必须关注把握知识结构、渗透思想方法、发展情感态度、设计关键问题、应用合作学习、暴露思维过程、审视生活经验几个方面。

[关键词]数学教学；儿童成长；成长支持；关键原则

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）26-0001-04

数学教学归根到底是为儿童的数学学习服务的。小学数学教学应该努力追寻一种“生动且深刻”的状态，“生动”是外显的形式，源自儿童内心的召唤，是由儿童的认知规律和年龄特征决定的。“深刻”则是内隐的本质，源自数学学科内在的需求，是由数学的学科特质和本质属性决定的。数学学科的课程与教学是为儿童的发展提供支持的，而且数学教学不仅仅是在“教数学”，更重要的是“育人才”。数学这门学科有其独到的育人价值，它能够培养人的坚韧品格和理性精神，这些都是为人的终身发展奠基的。

一、有结构的知识才更有力量

知识结构的重要性已经为所有的教育工作者所认同，因此，教师在教学中不能散点式地教学知识，而要教知识结构，以减轻学生的“知识负荷”并增强其理解力。在课堂教学实践中发现，有些教师教的都是“假的知识结构”，例如，展现知识结构时只是给出一些连线、框图等外在形式的图示，这样的形式只是便于学生记忆，对提升学生的理解力并没有多少意义。因此，辨别知识结构的“真假”就成了教师教学首要和关键的问题。真正的知识结构在本质上是根据概念之间的共同性关系或者非主观的实质性关系确定的概念结构，需要符合两条标准：第一，概念清晰和明确；第二，概念之间的关系清晰并具有稳定性。

以教学“三角形的三边关系”为例，“三角形任意两边的和大于第三边”的更基本概念是“两点之间线段最短”（线段公理）。从“两点之间线段最短”的再理解入手帮助学生理解三角形的三边关系，同时通过三角形三边关系的分析进一步加深学生对“两点之间线段最短”的理解，就能使学生的学习透彻又简单。所谓“透彻”，就是对三角形三边关系的理解有了最基本的依据；所谓“简单”，就是将三角形三边的性质化归为线段公理。

换句话说，只要理解了线段公理也就意味着理解和记住了三角形三边的性质。这种做法实际上就是将三角形的三边关系与基本概念联系起来，建立起概念之间的关系。两个原理归结成一个原理，减轻了学生的学习负担，这就是在对基本概念的追根溯源中整理出了知识结构的意义。在本质上，知识结构就是概念的结构。

教师通常会在复习梳理阶段揭示知识的结构，其实知识结构的建立从学习的起点开始就应关注。首先，学生不一定有新知识，但是却有与新知识相关的旧知识；其次，学生都有自己独特的认识世界以及学习新知识的方式；最后，回到知识本身，对新知识进行分析，新知识不应被理解为知识点的组合，而应该被理解为一种新的认识方式。因此，知识结构的建构应该贯穿教学的始终。

所谓“从学习的起点开始”，就是要在学新知识之前研究学生已有的知识结构与新知识之间的关系，研究新知识的思维基础与学生已有的思维基础之间的关系，在新知识教学中要以新旧知识的连接点为突破口，以新知识所需要的思维基础的形成为重点，从而帮助学生学会自己反思和梳理新旧知识的关系。考量学习的成果既要重视知识的数量，更要关注知识的结构，有结构的知识才更有力量。

二、重视数学思想方法渗透

数学基础知识与数学思想方法是数学教学的两条主线。数学基础知识是一条明线，直接用文字明明白白地写在教材里，反映着知识间的纵向联系；数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要加以分析、提炼才能使之显露出来。

在学习数学的过程中逐渐形成的数学意识、数学文化、数学精神等都是数学思想方法在人脑里的内化，是学习者在参与数学活动中的心理体验、感悟及反思基础上的升华。在应用數学知识解决各种现实问题时，数学思想方法比数学知识更具“亲和力”，也就是说，人的“数学智能”在很大程度上是依赖于“数学思想方法”的。

数学思想方法的形成过程大致会经历三个阶段：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段。由于数学思想方法的形成存在潜意识阶段，因此在教学中首先需要有一个多次孕育的过程，越是复杂的、难度大的思想方法，孕育的次数也越多，也只有这样才能让学生形成和积累足够多的感性认识和经验，使学生的认识逐渐从模糊走向清晰。第二阶段则是在学生对某种思想方法的感性认识或经验已经比较丰富时实施“正面突破”，直面地介绍某种思想方法，要求学生初步掌握利用该方法解决问题的要领。最后一个阶段则是顺应学生思维发展的进程，安排简单的数学思想方法的应用，促进学生在解决问题的过程中加深对数学思想方法的理解。

数学思想方法的渗透比教给具体的数学知识更加重要。就以三角形的面积公式为例，有多少人在工作以后还会用到这个公式？倒是推导三角形面积计算公式中的转化方法常常在不经意间发挥作用。在英国的大学里，律师专业的学生至今仍要学习许多数学知识。尽管律师学习的专业课程与数学之间并没有直接的关联，但是，严格的数学训练能够使人养成一种坚定不移而又客观公正的品格，形成一种严谨的思维习惯，这些都是成为一个好律师必须具备的素养。实际上，当他们成为著名律师的时候，学生时代所学的那些数学知识几乎都忘掉了，但是他们当年所受到的数学训练和形成的数学思想方法，却一直在他们的事业中发挥着重要的作用。

数学教材的每一单元乃至每一道例题，都体现着数学基础知识与数学思想方法的有机结合，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不含数学思想方法的数学知识。在数学知识的发生、发展与应用的过程中，应以数学思想的形成作为数学教学的高层次追求，因为数学思想方法是数学知识的骨架与肌肉，是数学知识结构的活力与灵魂。

三、关注儿童情感态度的发展

小学数学教学应当重视学生情感态度的发展，着力通过学习内容、学习方式与手段、学习环境等激发学生的学习兴趣、求知欲和好奇心，增强学生克服困难的意志和自信心，帮助学生养成认真勤奋、独立思考、合作交流、 反思质疑的学习习惯，以及坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。

具体来说，一是数学课程内容的现实性特点，有利于学生感受数学与现实生活的联系，感受数学在现实生活中的广泛应用，体会数学的价值。二是数学课程内容中大量生动有趣、具有教育性的题材，可以激发学生的认知需要，引发学生对数学学习的兴趣，激励学生积极参与数学学习，从而获得积极的情感体验。三是数学学科的内容与形式、抽象与具体、有限与无限、大与小、确定与不确定等方面的内容，既对立又统一，是对学生辩证唯物主义的启蒙教育。四是数学学科高度的抽象性和严密的逻辑性特点决定了数学学习具有一定的挑战性，要求学生在数学学习中必须具有认真负责、严谨求实的科学态度和刻苦钻研、独立思考、勇于挑战的科学精神以及良好的学习习惯。同时，数学学习可以培养学生克服困难的意志力，使学生的个性品质得到张扬和提升。

教学活动永远具有教育性，这是教学的基本规律，因为教书与育人是不可分割的。赫尔巴特第一次提出“教育性教学”，把教学作为道德教育的基本途径，认为没有道德教育的教学是一种无目的的手段。学生获取知识技能的过程必然伴随着情感态度的产生。例如，学生感兴趣的学习内容与学习活动，必然会激发他们浓厚的学习兴趣；愉悦和成功的数学学习必定会增强学生的自信心；经历和克服数学学习活动中困难与挫折的过程，会使学生的意志得到磨炼。这些都说明数学学习中发展学生的情感态度是教育规律的必然反映和客观要求。

2001 年课程改革后，新课程标准不仅将情感纳入了数学课程目标，而且还将其置于与知识技能、数学思考、问题解决同等重要的地位。可见，数学课程本身具有情感态度方面的育人功能，它能促进学生在情感、态度、能力等方面的整体提升。概括起来，可以从以下几个方面来关注儿童情感态度的发展：激发数学学习的兴趣和求知欲，培养学好数学的自信心，获得积极的情感体验，形成良好的学习态度，养成良好的学习习惯，感受数学的价值，受到辩证唯物主义的启蒙教育，等等。

四、以学习性问题驱动探究活动

从孔子的“启发式教学”到苏格拉底的“产婆术”，提问都是最重要的教学策略之一，因此“问题”也被称为“最具影响力的单一教学行为”。如何理解“问题”？我以为数学教学中的问题应当是这样的：好的问题情境就好比一个想要过河的人所处的境况，当人站在河的这一边，其目标是河对岸，一时没能过去时，这种情境就成了“问题”。这里的“河”，使得主体和目标之间有了距离和空缺，这种距离感或者是空缺感，就是一种“问题”。

从某种意义上看，几个好问题就能成就一节好的数学课。学习数学首先就是要学会数学的思维方式，積累数学思维活动的经验，而“思维从疑问与惊奇开始”（亚里士多德语）。这里的问题应该能够帮助学生进行数学理解、数学思考和数学创新，要引导学生在自主学习中发现和提出问题。我们把这些能够激发学生数学思考的问题统称为“学习性问题”。学习性问题可以分为两类：一类是显性问题，指那些用语言明确表达的引导学生思考和探究的问题；另一类是隐性问题，指那些学生在学习过程中可能生成和发现的问题。隐性问题往往是以显性问题为载体的，特别是探究性问题、反思性问题、评价性问题，其本身就是隐性问题产生的载体。

要设计好的学习性问题，让数学教学活动能够在关键点上展开，就要确立“三位一体”的问题观。

第一，以学科的问题为基础。设计好的数学问题要基于对数学知识和内容的本质的把握，倘若学科本质没有把握住，教学就可能偏离主题。

第二，以学生的问题为起点。教学要想实现真正意义上的驱动，还必须了解学生的真实起点在哪里，只有把握了学生的学习起点在哪里和学生的困惑在哪里，教学设计才可能真正驱动学生自主学习，学习才可能真正发生。

第三，以教学的问题为引导。学科的问题和学生的问题都是教师分析教学的重要要件，进行教学设计必须将两者结合起来。倘若教学中直接用数学的问题作为引导，也许数学教学就缺失了艺术性；如果仅仅停留在学生的问题层面上，那数学教学就可能没有了引领性。

在进行教学活动时，教师应以关键问题的设计作为“突破口”，从学生真实的学习问题和困惑切入，让“学”与“教”在“问题”的交叉点上“互动交往”，从而实现“教”与“学”的完美统一。好的问题至少应具备以下几项特质：能统摄学科知识，贯穿学习过程；能促进能力形成，培养学习方法；能顺应学生思维发展，激发学习兴趣；能培养意志品质，形成质疑精神。在实际教学中，很多教师提出的所谓问题仅仅就是在学生面前挖了一条“河”，忽视了要激发学生想要“过河”的欲望。假如学生没有要“过河”的欲望，即使面对的是“长江天堑”，对他们而言也不能形成一个真切的“问题”。

五、用合作的方式促进学生学好数学

参与、互动、互助是合作学习的基本特征，人人参与到学习中来是前提，交流互动是过程，达到“1+1>2”是目的。所谓小组合作学习，是指在若干人组成的小组中，为了完成共同的任务，经历动手实践、自主探索和合作交流的过程，实现有责任分工的互助性学习。

以小组讨论的形式研讨某些问题的解决方案，学生在讨论中要倾听（认真听取别人的意见）、交流（发表自己的看法并对别人的意见进行纠正和补充）、协作（用不同的形式展示问题解决的过程）、分享（让每个学生都收获成功的体验，并从中发展自己的学习行为）。“合作学习”的最大优点就在于保障每一个学生都有机会“冲刺与挑战”。对于合作学习，人们大都认可它的价值，但是缺乏有效的实施技术支撑。

小组人数多少为宜？男女混合的四人小组为宜，四人小组的单位，对于所有成员彼此平等倾听的学习关系是最合适的。倘若是五人或五人以上，往往会有人成为“客人”；倘若是三人或三人以下，则难以出现多样化的交流。

何时实施小组合作学习？当教师提问后只有几个学生举手，多数学生出现困惑表情的时候，就可以组织“小组合作学习”。抓住时机实施小组合作学习，使所有的学生都能致力于“冲刺与挑战”， 是教学成功的关键。

何时结束小组合作学习？小组合作学习应当是随着“学习”的发生而发生，随“学习”的结束而结束的。如何判断“学习”是否形成呢？看学生的状态：倘若学生醉心于“合作学习”，那么，“学习”是形成了；倘若学生懒懒散散、闲谈聊天，那就表明“学习”正在消退。

在小组合作学习期间，教师应当做些什么？首当其冲的是关照不能参与小组合作学习的学生。因此，在小组合作学习开始后不久，教师必须让学生一个不漏地参与小组合作学习。教师必须让那些不能参与小组合作学习的学生融进去。接着，教师应对小组进行关照，给予难以展开讨论的小组针对性的帮助，推进小组的合作学习，但切忌事事躬亲、包办代替。

最后要指出的是，自主学习与合作学习是一个有机的统一体。个体的独立思考始终是学习的前提和基础，合作学习前应该让学生独立思考，使每一个学生能够经历解决问题的过程，形成解决问题的情感，拓展思考的角度、丰富思考的方法。

六、充分暴露数学思维过程

研究数学主要是思维活动的过程。从某种意义上看，数学教学就是数学思维活动的教学。思维活动应当是数学教学研究的主要对象，暴露学生的数学思维过程应成为数学教学的指导原则。

当前数学教学中，掩盖或忽视数学活动中的思维过程的现象比比皆是：不重视概念形成的过程，不重视结论推导的过程，不重视方法思考的过程，不重视问题发现的过程，不重视规律被揭示的过程……因此，教师应当充分重视思维活动的展开，发掘思维活动的意义与价值。

数学知识结构的形成是数学思维活动的显著成果，数学思维的宏观过程与知识结构间的关系不容多说，数学思维的微观过程与知识结构的发展与形成也存在紧密联系。一些学生难以从知识结构的整体上把握数学的概念、公式、方法和技巧，其根本原因是在学习中不自觉地掩盖了数学思维过程的某些环节，而这些环节对其知识结构的完善是具有强力支持的，这样就出现了思维脱节的现象。

在数学教学中存在着三种思维活动，这就是数学家的思维活动（学科思维）、教师的思维活动（教学思维）和学生的思维活动（学习思维）。教师是通过自己的思维活动在学科思维与学习思维之间架设桥梁。因此，教师要致力于暴露数学思维的过程，不仅要暴露数学家的思维过程，还要充分暴露师生的思维过程，这是数学活动成功进行的体现，是体现教师主导作用与学生主体地位的保证，是形成良好教學结构的基础。暴露思维过程对于教师的教学和学生的学习意义重大，充分暴露思维过程能够让学生的数学学习更有效，使教师的教学更具针对性。很多时候，教师的教学低效甚至无效的原因就是对于学生认知上的误区和盲点认识不足。

从思维结构形成和发展来看，充分暴露数学思维的过程，能有效促使学生思维结构的形成与发展。不同的思维形式作用于思维过程的不同阶段（环节），若长期片面强调某些思维环节，将致使思维结构发展不均衡，易造成思维结构的缺陷。充分暴露数学思维过程，不掩盖数学思维的每个阶段（环节），是促使学生形成良好思维结构的保证。因此，长期坚持暴露数学思维过程，突出数学思维中的基本单元，必然能帮助学生冲破具体思维程式的束缚，形成分析问题和解决问题的能力。

七、基于学生已有的生活经验展开教学

学生的数学学习有两个基础：知识和经验。长期以来，教师在分析学生的数学学习基础时往往只关注学生已经学过哪些相关的知识，而忽视了知识之外学生还具有哪些相关的生活经验。生活经验是学生数学学习的重要资源，尊重和承认“生活经验是儿童数学学习的重要资源”，可以有效地帮助教师改变自己的教学方式，从而促进学生学习方式的转变。如果教师对学生已有的生活经验不能正确地加以分析，就很难准确地把握学生的学习起点，教学也很可能会回到“灌输”的老路上去。

学生的生活经验是指学生在生活中通过亲身经历、体验而获得的对事物的认识和反映 ，具有自然性、生成性、发展性等特点。生活经验，如果按照对学生数学学习的作用来分类，大致可以分为以下三类。

第一类：可以直接促进学生数学学习的生活经验。这样的生活经验有很多，例如在学习“长方体和正方体”“钱币的认识”等知识的时候，学生便有不少生活经验可以直接促进他们的数学学习。教师应当充分挖掘和利用，很好地把握住学生认知的起点。

第二类：可以通过类比来促进学生数学学习的生活经验。这样的生活经验，从表面上看似乎不能与数学知识的学习构成什么直接联系，但却可以通过类比来促进学生的数学学习，因为它可以使抽象的知识变得更形象，更易于理解。比如：教学 “循环小数”时，可以通过激活学生在日常生活中积累的日升日落、白天黑夜周而复始的经验来帮助他们理解“循环小数”中“循环”的含义。

第三类：可能对学生的数学学习产生负面影响的生活经验。生活经验的丰富性也必然导致有些生活经验会对学生的数学学习产生负面影响，甚至有些经验本身便是错误的。比如在学习“质量单位”的时候，日常生活中关于“质量”的生活经验（指产品或工作的优劣程度）会对学生的学习产生一些“干扰”。因为无论是正确的还是错误的经验，它往往都是根深蒂固的，想强制性地加以取代必然会影响学生主体性和创造性的发挥，教师应当引导学生在不断的矛盾冲突中逐步确立正确的认识。

学生的数学学习与生活经验是紧密相连的，他们的学习过程就是一个经验的激活、利用、调整、提升的过程，是“自己对生活现象的解读”，是“建立在经验基础上的一个主动建构的过程”。学生的数学学习活动与其说是“学习数学”，倒不如说是生活经验的“数学化”。学生从现实出发，经过反思，达到“数学化”。在这一过程中，“数学现实”是十分重要的。对于学生来说，“数学现实”也许就是他们的“生活经验”。一方面，丰富的生活经验是学生学习数学的前提、基础和重要资源，是保证数学学习质量的重要条件；另一方面，有效的数学学习也能促进经验的应用、提炼和积累，数学学习的过程其实就是经验积累的过程，就是一种“经历”和“体验”，“经验”就是“置身情境中去感受、去体验”！

支持儿童成长不仅仅是一种理念，更是一种方法和策略，需要落实在数学教学的点滴细节当中，“关注每一个、关注每一天、关注第一步、关注第一次”。数学教学如何才能更有效地支持儿童成长？教师是关键。教师如何做好儿童数学学习的支持者？首先，要关注儿童特质，要把研究儿童作为数学教学研究的第一课题，准确把握儿童的认知规律才能使得高品质的教学、学习成为可能。其次，要研究学科本质，“教什么永远都比怎么教更重要”，教师对教学内容的精准把握，能引领学生走向更深刻、更丰富的境界。第三，要讲究支持的策略，例如支持前的观察、介入的尺度、等待的平衡、适宜的支持力度、直接支持、间接支持等。

（责编 金 铃）