数学核心素养——数学建模在高中数学教学中的培养研究

□海南师范大学数学与统计学院 陈建花 唐鋆

一、引言

数学建模是一种用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。它对于培养学生多方面的创造性能力具有很强的可操作性和挑战性，并能有效激发学生对实际问题的探索兴趣，值得高中阶段的数学教学进一步探究。［1］本文则是对数学建模存在的意义做进一步的分析说明，面对至今所反映出来的相关问题做一个剖析，同时对数学建模的培养提出自己的意见及展示研究成果。

二、数学建模概述

1.数学建模作为高中数学教学内容的提出及发展。

党的十八大上，胡锦涛总书记强调坚持把立德树人作为教育的根本任务。为了落实此项任务，我国教育部在2014年发布的《关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务的意见》中提出以“学生应具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”为核心，建立学生发展核心素养体系。同时，结合教育部组建的专家组对2003年的《普通高中数学课程标准（实验稿）》的调查反馈中总结的经验和教训，在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出了六大核心素养，具体为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。而数学建模为什么能成为高中数学核心素养呢？数学模型是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型，解决问题的过程，也就是说，数学模型是用数学语言讲述现实世界的故事，是沟通数学与现实世界的桥梁。因此数学模型是学生须掌握的核心素养之一。［2］

2.数学建模的内涵及意义。

数学建模就是指在实际生活中遇到的一系列难题，当这些困难可以从定量的角度考虑时，我们就用数学的言语和方式去表达它，建立适宜的数学模型，然后用我们所熟悉的数学常识以及技巧去计算、求出模型的结果，用实际来考证结果，如果有偏差，则对模型做出适当的修改，再计算，最后用所得结论去解决实际问题的过程。

数学建模中提到的所构建的数学模型是指生活问题在数学层次的一种简化。具体来说就是区别于录像、录音等手段，通过数学语言，运用数学符号来叙述这个实际问题，使之更具科学性和逻辑性。它联结着数学和现实生活，是数学应用的重要形式。

通过以上介绍，我们能够总结得出建模是一种运用数学思想，通过数学语言解决生活难题的过程。不难想象，经过对数学建模的学习，学生的创新精神及能力会得到很大的提升；还有，学习者能通过数学建模充分地运用所学及时有效地处理现实中所碰到的一些难题。在建模的同时，也提高了学生的综合分析能力与探究能力。通过自身所学解决问题后所收获的成功又很好地消除了学生对千篇一律的课本学习的疲倦，提高了他们数学学习兴趣。再者，数学模型在物理、化学等方面出现的频率日益增多。这充分体现了数学建模对学生此后的数学学习和未来成长所具有的斐然作用及帮助。

3.数学建模在教材中的分布。

建模知识遍布于现有的高中数学课本中，就拿人教A版为例。翻阅课本后，不难发现每章的开头引言部分，都是用与生活实际密切相关的问题、现象来导出本章主要内容的，就像高中数学必修一（人教A版）中的基本初等函数，就是用一些经常出现在电视上或者是大家口中的生活实例来导入的，如通过细胞的分裂等变化规律，引出指数函数。除了前言部分，教材中多处地方都蕴含着数学建模知识与技巧，如数列中的数列模型、空间向量、几何、概率问题等都有着建模知识。

4.数学建模教学中存在的问题。

（1）现有教材中建模知识过于分散，缺乏整体性。正如上文中对数学建模在教材中的分布情况的描述，现行高中数学教材将数学建模知识穿插在各数学教学单元内容之中，太过于分散，此种教学设计固然便于学生及时运用所学数学知识解决实际问题，但却存在诸多弊端。［3］将数学建模内容分开放在各个数学教学单元内容中，不可否认这样做便于学生对当前所学单元知识的理解和掌握，但也不难看出，这种做法没有很好的把数学建模放在一个正确的、专业的、有计划的、让学生系统学习的位置，只是简单的把数学建模当成了一种次要的，只是为了学习别的数学知识而接触的一种数学学习手段，而且这种编排导致建模知识几乎哪都能碰到，太过普遍，表现出一种不太重要的感觉，因此学生就不会主动地去学习它。同时，拆分后的数学建模知识其内部存在的一些联系也随之被分开，使得教师不能很好的把握教学目标、要求，不能很好地实施整体化教学。而学生由于不是整体性的学习数学建模，学习的这些部分的建模知识也伴随着另外的数学教学章节内容，所以在处理相关建模问题时可能会受到“到底用哪种数学知识去解决”等想法的心理暗示，这势必会影响到学生运用数学知识建立模型去解决现实问题的思维的创新性和灵活度。这不利于学习者对数学建模知识的理解与应用。举个简单的例子：函数是普高数学学习的一个重点，它的思想贯穿整个中学，假如我们把它所包含的知识拆分开来，单单把需要的部分，如函数思想、知识放在各个数学章节内，比方说：在进一步学习方程知识的时候掺杂部分一次函数、二次函数的内容，在学习空间几何推算时再排进部分函数内容时，学生学习的重点是放在直线方程的进阶学习上还是放在对函数思想、知识的学习上呢？这种情况可能会造成学生两种知识混淆记忆，反而都没学懂。所以在现有的高中教材编排上，把函数的基本的概念、形式、应用等放在了一起，组合出现在《高中数学必修一（人教A版）》。这不仅能有效地避免由于多种数学知识一起教产生的记忆混淆，也能很好地在之后的数学学习中，通过自己一次次的回忆相关函数知识、运用函数思想计算出结果来复习巩固学生对所学函数知识的理解与运用，当然这也方便了教师能对其进行整体的备课，安排教学内容，完成教学计划。反过来说，数学建模也应如此，不应该被分置于各数学教学单元中，而是要完整、系统地对其进行教学内容安排、教学方法设计。

（2）传授者对建模知识掌握不够，影响了对该知识的传习。教师在求学时代学到过数学建模知识，但是由于教学任务的侧重点以及平时缺乏交流，这也导致教师数学建模知识不够。［4］在教育教学中，学校对教师是有着一定要求的。一名达标的授课者，首要的就是拥有一定的知识储备，因为老师作为知识的传播者，如果没有扎实的专业基础和文化功底，是无法让学生打心底里认可你，从而接受你对他的教导。所以在数学建模这一方面，要想教好教会学生，首先，教师就必须对建模知识有深度、有广度地理解和掌握，如果教师只是粗浅的或者是刚好理解掌握数学建模的知识与技巧，那他必定不能根据学习者的实际情况，从多个方向、角度去设置情境，提出由浅及深适合自己学生的问题，设计出行而有效、学而高效的教学方法去帮助学生充分且快速地掌握数学建模的相关知识与技能，从而熟练地运用建模知识去解决所遇到的问题。

（3）学生对建模学习兴趣不高。随着电脑、手机的普及，一边是各种炫酷的3D游戏和剧情跌宕起伏的影视剧，一边是父母老师的深切期望和望不到尽头的繁重学业，很多学生由于年龄尚小，心智还未发育成熟，对自己的掌控能力还不够强，总是在学习和玩乐间选择了玩乐，或者是学5分钟玩15分钟。这其中有外界事物对学生的诱惑的原因，但是最主要的还是学生对学习缺乏一种兴趣，如果他对学习有了热情，把攻读数学当成是一种让自己思维放松，能愉悦自己的事，那么科技、游戏等对他们的诱惑就会降到最低，甚至几乎不存在。莎士比亚曾说过：“学问必须合乎自己的兴趣，方可得益”。当学生对学习数学有了兴趣，不但愿意且自觉的花大量时间去学习，同时他们的学习效率也会变得很高。这要求我们要尽可能地去激起学生对学习的激情，提高他们吸收数学知识的热情。

三、数学建模核心素养的培养

1.整合编辑，开发校本课程。

面对数学建模知识被分置的问题，我们应该把高中学生所需要学习的数学建模知识收集起来，重新归类，单独编辑成册，就像《数学建模算法与应用》一书。当然，这里不需要归纳总结那么多知识，只要编写一些高中生需要的，在他们的年龄能接受理解的相关建模知识。对于书中内容的编排，考虑到数学建模是新的知识，所以我们必须编有它的基本介绍（包括背景、概念）、运用步骤以及分层次的、由浅及深的相关案例和问题，方便教师能把握整体，有顺序的教给学生，这也能帮助学生克服对数学建模的不适应和陌生感，快速地掌握并运用建模知识。当然，对于教材的安排不能只考虑以上这些，这只是总的内容框架，对于其中的案例，我们也得有一定的取舍。数学课本可不是给专家教授们的参考书，而是要用来传授给学生的，这需要满足教材的心理性，就是要在保证教材的科学性的情况下，还要做到能让学生感兴趣，保证能被学生所接受。因此，在案例的编辑中，我们要尽可能地采取生活实例，这能大幅度提升数学课堂教学的趣味性，能使数学建模思想、知识更好地融入课堂，被学生轻而易举地接受。就像必修一§3.2.1中这个案例：

例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？

这里举的是投资的案例，不能说远离了生活，毕竟金钱还是每个人都有接触同时小有兴趣的，但是如果把这个更加社会化的投资换成父母给自己零花钱，那我想这节课的开始就能先让学生们会心一笑，让他们觉得不是在想别人或未来的自己投资的问题，而是回家自己父母和自己商量零花钱的数量的问题，能让同学们更有代入感，对于这堂课的学习更有兴趣。

2.教师职后培训，提高教师队伍素质。

随着科技的进步，社会发展的步伐也越来越快，在科技高速发展的背景下，学生从小接触的事物也随之增多，对知识、科技的接受能力也跟着加强，社会对教师的要求也渐渐地开始提升，面对已经教过不下一百次的知识，教师们仍然不定时的接受学校、教育局的专业培训，更别说是顺应数学发展的较为新颖的数学建模了，这就更加需要学校、教育局对教师的数学建模知识及教学手段、方法进行专业的培训。教师作为教学的主导者，他们对数学建模知识的理解，所具备的建模意识和操作水平会直接影响学生对该方面知识的理解及运用。对于培训内容，我们可以通过让受培训教师多次参与“现实情境分析→从中提取问题→用数学语言建立模型→求解模型→用现实检验结果→针对检验进行适当修改”这些数学建模基本步骤，分析所提供的现实案例，让教师在实践中体验建模过程，产生自己对数学建模的一种正确的、独特的理解，从而开发出一套属于自己的、针对数学建模的教学方法。同时，还要培训加强老师们对数学建模教材的理解与掌握，以及提高对相关知识与技巧的教学水平。在教学过程中，遇到班级学生如果不能理解或者对此类案例不感兴趣的时候，就需要教师通过自己的教学技巧或者在备课中，用另一种表述方法去表达案例。上文我们说的是在编写时改变案例的主题，但当真的碰到了，教师最好能自己有意识地用学生生活实际去代替案例的主题，就好像之前投资的案例，教师可以结合现实，把它表述成是零用钱或者是零食的问题。这能有效地提高教师对数学建模知识的传授水平和技巧，能提高学生的接受能力，从而能更好地完成教导学生学习数学建模知识与方法的教学任务。

3.激发学生对数学建模的学习兴趣。

兴趣对学生能否有效、高效地学习至关重要，如果没有兴趣，数学学习对学生来说就会是行走时肩上的担子，是一种承重不堪的负担，学生自然而然就会对其产生抵触。而有了兴趣就截然不同了，兴趣会让学习在学生的眼中变成他自己所钟爱的事物。因此，培养学生在建模学习这一方面的兴趣就显得很重要了。首先，这要求教师要对建模知识有深层次的理解，能使学生折服，当学生对教师信服之后，对其讲解的建模知识就会更用心地接受。其次，教师在教学方法上面也要多加注意，多用现实案例，这能让学生更容易有一种身临其境的感觉，这种代入感能帮助学生融入课堂，参与课堂，对所学内容更容易接受。就比方说在第29届海南省科技创新赛上，琼海市嘉积中学高二的林芳倩同学凭借自己的等亮度护眼台灯获得了一等奖，她的作品就是从自己夜晚学习时用的台灯中得到的启发，因为自己天天接触，所以对其产生好奇，有了研究的兴趣，然后在兴趣的促进下，通过自己的努力，最后取得了成功。除了林芳倩的成功外，像海南省定安县城南中学高一的邱庆俊等，在兴趣的帮助下，通过自己的努力成功的案例不胜枚举。当然，不是说案例只要生活化、实际化高了就好，在现实案例的安排上也要有层次，从基础开始慢慢地加深建模知识，适当地给予学生鼓励，让学生觉得这很简单，他有这个才智去学会数学建模方法。除了以上这些提高学生学习兴趣的技巧外，教师在教授的时候最好能掺杂自己对数学建模的理解，通过风趣的教学氛围引导学生学习。这样就能大幅度提高学生对数学建模的学习兴趣，从而在教师的帮助下更快更好地掌握这一知识、方法。

4.结合生活实际，培养建模意识。

数学建模意识的培养与形成离不开建模知识的学习过程，同样，数学建模学习的过程有时更需要数学建模意识的帮助和支持。

要学习数学建模知识，首先我们应该培养自己的数学建模意识。仔细剖析数学建模步骤，我们不难从“现实情境分析→从中提取问题”看出要建立模型，第一步我们要去发现问题，这就需要我们拥有勇于探索、勤于探索、乐于探索的意识，需要我们能时刻留心身边的事物，需要我们有长于发现、勇于提问的精神，这就是数学建模意识。而教师应该着重培养学生的数学建模思维，这除了能够帮助学生更好的学习建模知识，学会相关运用技巧外，还能增长学生学习数学建模的热情，因为他们发现建模原来就在身边，时时刻刻都能轻松地建模，数学知识原来可以用数学建模的方法与生活关联起来。就像上文中所提到的海南省青少年科技创新大赛，获奖的同学所参赛的创新科技，无不与自己的生活有关。

5.研究性学习，在解决问题的过程中培养建模的能力。

数学建模实际上就是一个从现实中发现问题，然后通过数学语言创设相关模型，计算出结果，以此搞定现实难题的过程。而学生想要掌握、运用这一建模技巧，就要从实践出发，从生活实际中发现问题，提出问题，通过自己亲自构建模型，通过自主探究或与同学合作交流计算出模型结果，解决生活难题，从中深刻体会并充分习得相关知识与技巧。所以，对于课堂教学，教师应营造出一种民主、自由的氛围，在课堂上适当的给学生提供自主实践机会，鼓励学生参与课堂建模，大胆地建模。以人教A版高中数学必修一§3.2.2例6来说，教师可以用班级里学生的身高和体重数据展开探讨，然后引出例6，和学生在积极讨论，轻松思考的氛围中引导学生用建模方法解题。

例6.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下：

表1 某地区未成年男性平均身高体重统计表

根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。

分析：碰到要分析数据之间存在的关系的时候，我们可以先以此作出相应的坐标图（如图1）。通过对图中点位的观测，预测其走势，以此为依据选择所需函数关系。

图1 某地区未成年男性平均身高体重散点图

解：观察上表数据，作出分别以身高x、体重y为横、纵坐标的坐标图。把相应的点标识出，通过分析，选择以y=a×bx作为函数模型。

不妨取其中的两组数据（60,6.13），（170,55.05），代入y=a×bx得：

计算可得：

把a、b数据代入可得函数关系：

将题中所给身高依次代入求出的函数关系式中，可作出以下坐标图（如图2）

图2 所求函数关系式得出身高体重坐标图

通过函数关系所得到的身高相对应的体重值，两两比较，我们不难发现，两组数据以及图像的相似度较高，误差较小，这表示所求函数解析式能较准确地把该地区未成年男性身高x与体重y之间关系描绘出来。

在教师的引导下，通过学生一步步的分析、作图，建模，解题来解决问题，慢慢地培养学生建模的能力，最后还能把这个所求出来的模型用于班里学生身高或体重的推测，让学生更自觉、更多的参与建模，认真地学会、巩固自己所学的建模知识。

四、总结

数学建模的讲习必须通过行而有效的教授过程去落实，因此对于其教学过程的核心必须牢牢把控住。要注意教学时对数学建模的提出以及必要性，对数学建模的定义，建模方法、步骤的推导，对其运用过程的引导、思路的分析等的详细教学。综上所述，理想的数学教学过程，应当注意几个环节：把握数学知识本质，把握学生认知过程；创设合适教学情境，提出合适数学问题；启发学生独立思考，鼓励学生相互交流；掌握知识技能，理解数学本质；感悟数学基本思想，发展数学核心素养。［5］