基于学生视角的高中数学有效学习

向小刚

[摘 要] 有效学习是有效教学的延伸与深化，沿着素质教育、课程改革起到今天的核心素养，都离不开有效学习这个重要的基础. 有效学习需要学生的认知基础作为支撑，需要形象思维作为保证，需要在数学与生活的联系中进行深化. 有效学习需要在细节关注中帮学生形成良好的学习品质.

[关键词] 高中数学；学生视角；有效学习

纵观近年來的教学改革，从教育主管层面到地域层面，进行了不少有益的探索，其中“有效教学”的研究至今仍然方兴未艾，即便在核心素养成为引领教学改革新的旗帜背景下，通过对“有效教学”的研讨，对学生核心素养的培养依然大有裨益.考虑到教学的有效性是由学生有效的学习来保证的，因此从学生学习的角度来研究学科教学，显得更有针对性也更有意义. 而既然是谈“有效学习”，那就得从学生的视角出发，教师自身的教学视角只能作为参考，这是一个将教学研究的眼光从自身教学向学生学习转变的过程，需要的是教学研究视角的转换，更需要的是对学生学习规律的把握.

分析学生已有的认知基础

有效的学习一定是建立在自身的认知基础之上的，著名教育心理学家奥苏伯尔曾经鲜明地指出，更加有效的教学，是必须建立在了解清楚学生懂得了什么，哪里依然有困惑，然后再有针对性地施教，只有建立在掌握学生心理基础上的教学才能称之为“有效学习”. 通过这句话，我们可以悟出学习所需要的基础性条件，就是学生原有的认知.在高中数学教学中，学生建构一个数学概念需要哪些基础，是教师需要关注的，同时也是需要提醒学生自己注意的.

比如说在“函数”这一内容的教学中，很多学生都会感觉这部分知识太难，究其原因则是没有成功建立起关于函数这部分的知识体系，甚至有学生对函数这一概念本身的理解都是不透彻的. 在这种情况下，机械的习题训练，效果往往是不明显的，而笔者的做法是跟学生一同重新分析函数的基本概念，努力将这个概念建立在学生的原有理解之上.

应当说高中数学中的函数描述还是非常详细的，通常描述是这样的：通常地，设A，B是两个非空数集，假如按照某种对应关系f，使得集合A中的每一个数x，在集合B中都有一个唯一的数f（x）与之对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为f（x），x∈A. 其中，x称为自变量，y称为因变量.所有自变量x组成的集合A叫作函数y=f（x）的定义域；与x值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域.

对于这样的一段纯粹的数学语言，学生理解起来其实是有着不少的困难的，其中的主要困难是对函数的三要素中对应关系的理解，而这一理解如果出现困难，那定义域与值域的理解其实也是空中楼阁——这里要防止出现的情形是：以为学生能够轻易理解定义域与值域的内涵，就下定论认为学生真正掌握了函数概念. 其实这只是表面现象，因为如果没有对对应关系的理解，定义域与值域的理解是没有太大意义的. 而要对对应关系有深刻理解，就必须让学生结合具体的实例去进行，这是高中数学教学中促进学生知识理解的不二法门. 譬如可以通过列举方程、图像、表格等方式，让学生认识到原来表示对应关系的f不是一个抽象的符号，而是一个可以用解析式、图像、表格、文字等形式描述的，“当括号中的自变量x，全部满足某个关系能够变成y时，那就说y是x的函数”（学生语），这样的表达虽然朴素，但意味着学生能够在自己认知基础上，用自己的语言（其实也是数学味道非常浓的语言）将对函数的理解表达了出来. 在笔者看来，这就是有效学习，因为学生在自身认知基础的基础上，将新学知识在自己的语言系统中形成印记，自然就是有效的.

丰富学生的数学思维表象

高中数学的一大特点是抽象，抽象意味着学生在思维的时候需要付出更多的努力，尽管我们认为是抽象是数学的本质特征，但并不等于高中数学学习的整个过程就一定得是抽象不可感的. 实际上，现在的很多学生在抽象思维能力上表现并不是很突出，因此必要的时候应当由形象思维来支撑. 这里需要破除的一个误区是：数学教师以自身对数学的感觉去判断学生的数学学习过程，需要知道这是一个“专家”与“新手”的关系，机械地对比或提要求，只能说是对学生认知基础与思维特点的漠视，是不可能发生有效学习的. 既然提出用形象思维来支撑数学学习尤其是新的、重要的数学概念的学习，那就必须高度重视表象在学生数学学习中的作用，因为形象思维的加工载体，就是表象.

比如说在教授“函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性”等知识时，教师要对函数的单调性进行精析. 通常情况下，关于函数单调性可以这样描述：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，区间D？哿I. 如果对于区间D内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

同样，这样的表述显然是不宜直接作为教学的载体提供给学生的，而应当在学生经过充分的形象思考之后，再用数学语言描述形象思维无法表达清楚和透彻的内容. 其实要做到这一点很简单，那就是举一个简单的函数的例子，然后借助于该函数的图像来帮学生理解函数的单调性. 在相关的讨论中，曾经有同行提出不同意见，认为在对函数的理解中，图像已经做过了分析，学生应该能够看得出单调性. 而笔者的观点是，虽然在此之前，函数图像已经学习过，但彼时的分析重点在于图像本身的生成，而非图像特征. 在学习函数单调性的时候，基于图像进行单调增与单调减的对比，进而进一步明确不同函数在同一定义域内所表现出的单调性是不同的，认识到同一函数在不同的定义域之内所表现出的单调性也是不同的，这种形成于大脑之内某个定义域内图像的变化，就是表象，是可以长时间存在于学生的思维当中，并为函数单调性的理解提供支撑的. 在此基础上，再让学生结合这一表象去理解上述一段文字，才可以真正实现数学认识向数学语言的转化，这样的学习过程对于学生来说才是有效的.

拓宽数学知识与生活联系

数学与生活的联系其实也是一个老生常谈的问题，但在实际教学当中却有这样的一个困惑，当我们向学生强调要将数学与生活聯系起来时，要用数学的眼光去看生活中的事物（核心素养正有这一方面的要求）时，学生常常会表现出一些疑惑甚至是不屑的表情.后来经过进一步了解，笔者发现学生原来是这样认识的：在他们看来，数学就是数学，生活就是生活，即便在数学学习的时候引用一些生活的例子，也不意味着就需要用数学的眼光看生活. 因为“数学学习就是用来考试的”……显然，这样的认识背后，说明当前的高中数学教学对于学生来说，已经形成根深蒂固的服务于考试的认识，这显然不是数学教学的最终目的.

于是在教学中，笔者进行了这样的努力：以“集合”概念的构建来说，看似平常的集合概念，只有在满足了集合中元素的三大特征时，才算是真正数学意义上的集合. 考虑到这一点，笔者向学生提供了一道例题：

下列对象中可以构成集合的是（ ）

A. 小苹果 B. 红橘子

C. 中学生 D. 约等于0的实数

这个例子中的前三个选项取材于学生熟悉的生活，第四个选项是学生熟悉的实数中的一部分. 而学生在分析的时候，其实还是容易出错的，因为尽管题材是熟悉的，而学生对集合概念的三要素此时却是陌生的，当在问题的解决过程中否决了多数学生认为的D选项，并确定了C选项才是正确选项之后，学生才知道了集合的“确定性”否决了“约等于0的实数”（即其元素不可确定），因而无法构成集合.

这种数学和生活的勾连，不是简单地将数学和生活捏合在一起，而是让生活元素成为数学分析的对象，让生活世界里的题材服务于学生数学知识的构建，当然也可以是让生活题材成为数学知识构建的“反面素材”. 总之，只要生活题材可以服务于学生的数学概念的理解与数学知识体系的构建，那这个题材就是可用的！需要注意的是，数学与生活的联系，一定要强调“联系”，而且是基于数学的联系，很多时候我们看到新课引入时用了不少生活素材，这些生活素材看似丰富，其实与数学关系不够密切，其很容易让学生误认为数学与生活就只是这种肤浅的关系，因而也就容易形成本部分开头所说的情形.

最后需要指出的是，注意学生的有效学习，还要关注学生的学习品质，而且要让学生自己认识到自身的学习品质对学习结果的影响. 其实，上述三点本身也能培养学生的学习品质，当学生能够从中显性认识到自身的认知基础、思维的形象性以及注重与生活的联系时，学习品质也就提升了. 而有此认识基础，那有效学习就指日可待了.