SPOC环境下的高中数学翻转课堂教学设计

郑长喜

[摘 要] 随着“互联网+”时代的到来，社会日益信息化，学校的教育理念、教学模式、教学体系都发生了巨大变化，互联网与教育正在实现深度融合. MOOC狂潮从2012年开始席卷全球并快速发展，到今天已经进入了“后MOOC”时代，给教育带来了更多深远而有意义的影响，突出表现在SPOC的创建. SPOC是对MOOC的继承、不断完善和超越，SPOC将优质的MOOC资源与传统教学优势融合，实现了教学流程的重构和创新. 翻转课堂实行“课前信息传递”与“课中信息内化”的逆序创新，促进学生个性化学习，为师生间的互动交流提供机会，已经成为新型教学模式的热点. SPOC与翻转课堂结合的教学形式重构了学习环境，形成新的混合式教学模式，是适应信息化时代需要的教育发展的必然结构与趋势.

[关键词] SPOC；高中數学；翻转课堂；教学设计

课前准备环节

这个单元属于新课标人教A版选修2-2第三章“数系的扩充与复数的引入”. 本文以第一小节“数系的扩充和复数的概念”为例进行教学设计. 复数在数学、电学、力学等学科中有着广泛的应用.复数与向量、三角函数、平面解析几何等都有着密切联系，也是进一步学习数学的基础.本章内容分为两大节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算. 教材通过设置问题情境：“方程x2+1=0在实数集中无解，对于这个无法解决的问题，怎样设想方法，使其变得可以解决？”引出数系扩充的必要性，进而引入虚数、复数的概念.教材在本节内容设置了“思考”探究，让学生通过具体实例、借助类比思想来经历数系扩充的数学探究活动的过程，有助于培养学生的科学精神和思想素质，有助于激发学生数学学习的热情和欲望，体现了《课标》以学生为主体的教育理念.

本节课设计了复数史小故事、类比旧知识的新知识生长具体实例，让学生在经历知识再发现的过程中开展研究性学习. 通过问题情境，引导学生逐步感受由特殊到一般的认识事物的规律，同时，留给学生足够的时间，使其经历一个完整的数学探究过程. 本节课主要内容有：探究并理解复数及其有关概念，应用复数的有关概念解决相关问题.应用复数的基础在于理解，因此，本节课的教学着力点在于复数概念产生的探究与历史重现过程. 从方程x2+1=0的求解这个具体实例出发，通过问题设置，引发学生的认知冲突，激发扩充实数系的欲望，进而利用对从自然数集到实数集扩充的回顾来设想实数系的扩充方向，再要求学生自主探究是否需要引入新数及新数i所满足的条件. 这符合学生认识事物的一般规律，凸显了教学的过程性要求.然后，引导学生分析复数及其相关概念用于解决的问题.

结合第一课时需要达成的教学目标，笔者对学习主体——东方市八所中学高二（5）班学生进行了学情分析. 本班共有50人，全部为走读生，有的学生家在市区，距离学校不远；有的学生家在东方市的下属农村，距离学校较远，但是在学校附近租住了房屋，并由家长陪读.本班的数学整体基础处于中等水平，但学风良好，能够按时完成老师布置的学习任务. 从学习需要方面来看，通过与学生的深度交流，大多数学生期待数学课的气氛能够更加活跃，能够多传授一些学习方法，希望增加课堂活动.另外，本教学设计在学情分析方面，还采用了课前测验方法. 结合先学后教的翻转课堂理念，以下为“数系的扩充和复数的概念”第一课时课前准备环节中学生必须完成的学习任务：

第一步，熟识学习目标. 探究并理解复数及其有关概念，应用复数的有关概念解决相关问题. 在传统面授课堂中，教学目标通常只显露于教师的教案中，基于SPOC翻转课堂的理念，本教学设计通过直观形式将学习目标呈现给了学生，旨在利于学生有针对性地开展学习，便于学生辨别重点，但是在教学实施过程中，要注意教学目标与各个教学环节的融汇，要做到潜移默化地提高学习质量.

第二步，回顾在初中所学的有理数的产生和扩充过程，查阅复数概念的起源与发展历程，在此基础上，学习“数系的扩充和复数的概念”. 思考问题：数集扩充之后，有新数引进吗？在运算规则方面，有什么特征？

此步骤的设计依据奥苏伯尔有意义学习的理论，有理数的产生和扩充过程属于已有知识经验，和复数概念的产生与发展具有相通性.当新知识连接到原有知识的生长点时，有意义学习就开始了.

第三步，观看SPOC平台中的微课.微课是围绕某一考点、重难点等知识点或某一学习活动等教学环节制作的在线教学视频.已由授课教师制作并上传至SPOC平台，供学生观看及下载. 微课的主要特点是主题凝练、时间简短（一般为10分钟左右）. 微课是翻转课堂的课前知识传递的重要载体，也是SPOC个性化学习的重要渠道.

“数系的扩充与复数的引入”的第一课时的微课（一），主题是“复数的概念”，教师讲授时长10分钟，微课脚本内容主要如下：

（一）创设情境，提出问题

1. 在历史上，虚数是怎样被发现的？时间为2分钟. 首先，教师设计复数史小故事，然后带领学生经历知识再发现的过程.笔者设计的复数史与小故事如下：

难以理解的和令人厌恶的复数

将负数开平方，是解一元二次方程时不可避免的问题，这就涉及了复数概念. 复数到底是什么？高中学生普遍感到很难理解，其实在复数产生和发展的漫长旅程中，各大数学家也有同样感受.复数概念从产生到完备，从被人们拒绝接受到普遍理解并继而作为一种有效工具，经历了一个漫长的历史过程，不同时期、不同民族的数学家们都为此做出了贡献.

历史上使用负数平方根的第一人是意大利数学家卡丹，体现在16世纪卡丹的著作《大术》中. 书中有一个著名问题：把10分为两部分，使这两部分的乘积为40. 卡丹写到：显然，这个问题是不可能被解决的. 但是，我们能够通过如下方式求解. 把10等分，得到5，乘积为25. 减去40，得到m：15. 从5中加上和减去此数的平方根，即可得到乘积是40的两部分，即5p：Rm：15和5m：Rm：15.

在卡丹之前，数学家们更不理解和接受负数的平方根. 例如公元9世纪的印度数学家摩诃毗罗，公元12世纪的印度数学家婆什迦罗，他们全认为负数根本没有平方根，因为负数就不是平方数.再往前看，在公元3世纪时，就有数学家遇到了此问题. 他是古希腊的数学家丢番图，丢番图遇到了一个一元二次方程336x2+24=172x. 这个方程面临负数开平方问题，因为它的判别式Δ<0. 丢番图是现有史料证实的最早遇到负数平方根问题的人.

在卡丹之后，有一些数学家开始了这类问题的研究. 荷兰数学家吉拉尔提出：人们必须承认复数根，并且要深化研究，进而建立复数理论. 之后还有其他数学家也做出了贡献. 值得一提的是挪威的魏塞尔、瑞士的阿甘德和德国的高斯. 魏塞尔是挪威的土地测量员，他是给出我们今天所使用的复数的图形表示法的第一人. 阿甘德是瑞士的簿记员，因为魏塞尔的图示表示法是写在用丹麦文所写的论文中，由于丹麦文导致读者少，所以人们经常把这种几何表示法错误地叫作阿甘德图示法. 德国著名数学家高斯把复数a+bi表示成复平面上的点（a，b），而且得出在几何方面的和与积. 尽管如此，高斯也并未完全理解和接受复数，他说：复数只是被人们所容忍而已，尽管它有着重大价值.

最后，将复数建设成为严密的数学理论这个任务是由英国数学家哈密尔顿完成的. 在1837年哈密尔顿发表论文，并指出复数a+bi并不是和2+3一样意义的和，bi并不能被加到a上，加号的使用纯粹是历史的一个偶然，复数a+bi实质上是一个有序实数对（a，b）. 哈密尔顿又进一步证明了这种新的二元数系的封闭性，而且给出了和我们现在一致的复数的运算，证明了交换律、结合律和分配律，哈密尔顿还指出，这样新的数系包含所有的实数，因为实数a和二元数（a，0）相对应.

课后反思环节

课后，教师需要反思，而且教师更要培养学生的自我反思意识和习惯.在SPOC翻转课堂课后，教师需要培养学生反思如下内容：1. 我仔细观看微课（一）和微课（二）了吗？2. 对于小测试（一）和小测试（二），我是否是认真思考之后得出答案？有猜测过答案吗？3. 關于错题，我已经弄清楚错在哪里了吗？4. 在课堂上我跟上同学和老师的节奏了吗？是否走神？5. 我是否认真思考老师课上提出的问题？是否参与小组讨论？在课堂发言了吗？6. 关于老师提示的下节内容，我记清楚了吗？这一环节旨在敦促学生及时总结学习效果，回顾学习过程，形成对于下一节课的初步计划. 在SPOC环境翻转课堂课后，教师指导学生反思之后，还要为学生创建拓展学习的空间. 教师反思要着眼于教学情境的创设是否理想，是学生自己发现问题还是教师向学生抛掷问题，SPOC的翻转课堂要提倡促使学生自己提出问题.