核心问题为统领 关键问题为线索——以“方差”问题导学为例

石树伟

（江苏省扬州市广陵区教师发展中心）

问题是思维的起点，是数学的心脏.新课程倡导探究学习，问题导学就是为学生的探究学习而配置的驱动器和导航仪.问题导学应将教学内容转化为符合学生心理特点的核心问题，和围绕核心问题、指向问题解决的关键问题的“问题链”，来激发学生的学习兴趣，促进和引导学生的自主探究与合作交流.下面以初中数学“方差”内容的问题导学为例，阐释以核心问题为统领、关键问题为线索的问题导学设计思路.

一、“方差”问题导学设计

1.核心问题设计

核心问题1：市中学生射击比赛即将举行，学校需要从甲、乙两名同学中选拔1人参赛，假如你是教练员，你准备如何选拔？

通过核心问题1引导学生讨论交流，形成一致意见.用数据说话，通过成绩数据的比较分析来选拔参赛学生.

核心问题2：现在相同条件下对甲、乙两名同学的射击水平进行了测验，甲同学因枪支问题只射击了5次，而乙同学射击了10次，命中的环数如下.

甲：7，8，7，8，5；

乙：9，8，7，8，7，6，5，6，7，7.

如果你是教练员，你准备选择哪一名同学参赛？

这是一个引导性问题，统领后续教学的展开，无需学生立即回答.

2.关键问题设计

下面通过一些关键问题展开对核心问题的探究、归纳、应用和反思.

（1）问题解决.

关键问题1：我们已经学习过哪些统计知识？应用已学的统计知识能决定选择哪一名同学参赛吗？

启发点拨性的预设问题：分别尝试计算一下甲、乙两名同学射击成绩的平均数和极差，你能决定选择哪一名同学参赛吗？为什么？

通过关键问题1引导学生尝试、交流，发现用已学过的统计知识不能解决问题，从而产生认知冲突.

关键问题2：考查射击运动员的成绩还需要关注什么因素？如何考查甲、乙两名学生射击成绩的波动情况？

教师设计如下启发点拨性的预设问题.

①考查一组数据的波动情况需要有一个比较的标准，用什么作为比较标准比较合适？如何与比较标准比较？

预设答案：用平均成绩作为比较标准比较合适；计算每次成绩与平均成绩的偏差，每次成绩的偏差=每次成绩-平均成绩.

②能用偏差（偏差=每次成绩-平均成绩）的总和或平均值来比较两组数据偏离平均值的情况吗？为什么？

③为量化比较两组数据偏离平均值的情况，如何进行数学处理来避免偏差正负抵消，你有哪些方案？

预设答案：有两种方案：一是将偏差先绝对值再求和；二是将偏差先平方再求和.

④假如有下面两组成绩，你认为哪一组波动大？甲：4，5，6，7，8；乙：3，6，6，6，9.

预设答案：用两种方案分别计算，将偏差先绝对值再求和，得出两组的数值都是6，无法区分波动性大小；将偏差先平方再求和，得出两组的数值分别是10和18，乙组波动较大.通过此问题初步引导学生体会平方有时候可以放大差异.

⑤能否仅用偏差平方的总和来比较两组数据偏离平均值的情况？为什么？你认为用什么可以比较两组数据偏离平均值的情况？

在问题解决的过程中逐步完成下表.（表格中所有的内容包括项目名称，都是利用excel软件根据问题解决的进程逐步现场生成的.）

序号6 7 8 9 10总计 平均甲每次成绩每次成绩-平均成绩3 7 7（每次成绩-平均成绩）2每次成绩每次成绩-平均成绩（每次成绩-平均成绩）2 1 7 9 2 8 8 4 8 8 5 5 7 6 5 6 7 7乙

（2）模型归纳.

关键问题3：表示一组数据偏离平均值的情况的统计量，统计学上就叫方差（s2）.如何用文字语言和符号语言描述一组数据x1，x2，x3，…，xn方差的意义？

由特殊到一般，尝试归纳小结求一组数据x1，x2，x3，…，xn方差的一般步骤和计算公式.

（3）模型应用.

略.

（4）回顾与反思.

关键问题4：回顾方差公式的形成过程，你认为理解记忆方差公式要抓住哪些关键？

教师设计如下启发点拨性的预设问题.

①计算方差时，为什么要将每个数据减去平均数？

预设答案：此问题可以理解为“为什么要计算每个数据的偏差？”因为要反映这组数据的离散程度.

②计算方差时，为什么要将每个偏差平方后相加？

预设答案：因为将每一组数据所有偏差直接相加和都为0，无法区分不同组别数据的离散程度.

③计算方差时，为什么要再求偏差平方的平均数？

预设答案：因为不同组别数据的个数有可能不同.

④为了表示一组数据偏离平均值的情况，你还能提出其他的计算方案吗？

二、“方差”问题导学分析

1.核心问题设计意图分析

“方差”一课的问题导学中，以核心问题统领全课，在问题解决过程中达成本节课的教学目标，设计意图有如下四个方面.

一是以核心问题引领新知引入.这里设计的是一个实际应用问题，核心问题1和2其实是紧密关联的问题，核心问题1提出话题，培养学生用数据说话的意识和习惯；核心问题2紧接着提供数据，研究如何分析数据.在这个实际问题中，甲、乙两名学生射击成绩的平均数、中位数一样，众数、极差虽然有区别，但是由于两人射击次数不同，无法区分两人射击成绩的高下.问题用已学的统计知识无法解决，使学生形成认知困惑，再结合射击问题的实际，解决问题需要考虑两人成绩的波动情况，从而引出本节课的课题.核心问题背景简明、又是学生熟悉的，既能快速引向所学内容，又有利于对学生数据分析素养的培育.

二是以核心问题引领新知形成.核心问题的作用不是止步于新知引入，还将继续引领新知的形成.课堂教学将围绕核心问题的解决，逐步形成比较两人成绩波动情况的方案，再由特殊到一般形成考查一组数据离散情况的基本模型，即方差，在此过程中渗透模型思想，提升学生的数学建模素养.

三是以核心问题引领本质揭示.过去“方差”内容的教学，就是让学生在教师的引导下一步步地处理数据，最后告诉学生，这样处理一组数据得到的结果就是方差.如果我是学生，就会有疑问：为什么要计算方差？计算方差有什么用？为什么要这样一步步地处理数据得到方差？其实，教什么、为什么教和怎么教，教师自然是非常清楚的，而学什么、为什么学、怎么学，学生是茫然的.试想，在学生茫然被动的课堂上，学生的学习会处于怎样的状态？在这样的状态中，学生除了获得知识结论还能得到哪些方面的发展？本节课设计的两个核心问题，目的就是让学生知道为什么要学习方差，方差计算程序是怎么来的，用以揭示方差的本质，激发学生的学习兴趣和学习内驱力.

方差公式比较复杂，学生如果死记硬背，应用时会出现各种记忆模糊、似是而非的错误，最常见的错误就是漏乘前面的.为了解决这个关键问题，教师在核心问题中设置“甲同学因枪支问题只射击了5次，而乙同学射击了10次”，让学生意识到不同组别数据的个数会有不同，计算方差时，有必要求偏差平方的平均数，从而突破理解方差公式的关键，通过理解性的学习和记忆提升学生方差公式应用的正确率.

2.关键问题设计意图分析

本节课中，教师围绕核心问题的解决、在核心问题解决过程中的思维节点和关键处设计了一系列关键问题，设计意图有如下三个方面.

一是以关键问题展开新知探究.“方差”问题导学中，由于教学时间的限制，对核心问题没有完全放手让学生独立探究，而是以问题链的形式引导学生展开探究.问题1让学生认识到已学的统计方法无法解决问题，需引入新的统计量；问题2让学生认识到需要考查成绩数据的离散情况，探究如何考查一组数据的离散情况；问题3引导学生由特殊到一般，从具体问题归纳方差的计算模型；问题4回顾与反思方差模型形成的过程，突出方差计算的几个关键点.问题1到问题4为方差知识形成过程中的四个关键问题，均从知识的发生、发展处寻根求源，既有生命能量，又能触发学生更深的思考.

二是以模型思想归纳方差模型.数学建模是数学学科六大核心素养之一.“方差”一课的问题导学中，核心问题是具体的实际问题，实际问题解决后，通过关键问题3有意识地引导学生由特殊到一般，从具体问题归纳方差的计算模型，从而掌握本节课的基础知识.同时引导学生在知识的形成应用过程中体会模型思想的应用，提升数学建模素养.

三是以回顾与反思促进理解记忆.核心问题解决并上升到一般模型后，应注意问题解决过程的反思与回顾，这不仅有利于基础知识和基本技能的辨析和巩固，还有利于基本思想的明晰和基本活动经验的积累.本节课通过关键问题4引导学生回顾与反思方差公式的关键点和易混、易错点，有利于学生掌握方差知识的数学本质，促进学生对方差公式的理解和记忆，有利于本节课知识技能目标的达成，同时培养学生的数据分析观念和创新意识.

三、“方差”问题导学启示

1.要问“好问题”

问题导学的关键是要设计“好问题”.“好问题”应是简明而有意义的，能反映所学内容的本质；“好问题”应在学生思维的最近发展区内.心理学研究表明，适切的问题容易激发学生思考和探究的欲望，使学生的心理保持积极的、适度的求知倾向.例如，“方差”问题导学的核心问题是关于射击运动员选拔的实际问题，不仅学生熟悉，更是直指方差知识的数学本质，即数据离散情况的量化描述，有利于对学生数据分析素养的培育.

设计“好问题”可以从两个方面入手：一是从教学内容（知识）入手，认真钻研教材，研究知识的来龙去脉，从知识的发生处寻根求源，从知识形成的关键处刨根究底，在知识理解的难点处搭梯铺垫，在数学思想方法的结合处反思提炼.例如，“方差”问题导学的关键问题1～3围绕核心问题的解决、在方差知识形成的关键处发问；二是从教学对象（学生）入手，学生在学习的过程中常常会在某些学习内容上产生模糊乃至错误的认识，如何澄清模糊的认识？问在关键处、问在症结上的问题有时要比长篇大论的解释效果好得多.通过关键问题制造认知冲突，引发学生思考、讨论乃至争辩，在解决问题的过程中加深对知识本质的理解，澄清模糊或错误认识.教师在钻研教材的过程中，应以学生的眼光阅读教材，充分预测学生在探究过程中的易混、易错点和思维盲点，依据预测设计导学问题.例如，“方差”问题导学的关键问题4就问在方差公式理解记忆的易混、易错处.

2.要“问好”问题

有了好问题，还要“问好”问题.“问好”问题一方面要注意问题的层次性，正确选择并区分核心问题和非核心的关键问题，其实关键问题还可以再分不同层次.数学课堂教学中，核心问题一般放在课的开始，对新知学习的作用有三个层次，由低到高依次是：引领新知引入→引领新知探究→引领本质揭示.三个层次不断提升，一般后一层次包含前一层次.核心问题的使用最好应力求统领全课，既引领新知引入，又引领新知探究，更引领本质揭示.关键问题则应围绕核心问题，引导学生展开自主探究与合作交流.例如，“方差”问题导学的核心问题是一个关于射击运动员选拔的实际问题，它统领贯穿全课，关键问题则围绕实际问题的解决引导学生展开探究学习.

“问好”问题另一方面要注意问题的逻辑性.核心问题和关键问题组成的问题链中，问题的顺序应切合知识的发生、发展过程和学生的认知规律，体现知识的内在逻辑线索，让问题成为学生探究学习的出发点，让问题链成为学生学习活动的主线.例如，“方差”问题导学的核心问题有两个，核心问题1问如何从两名选手中选出一人参赛，让学生先有“用数据说话”的意识；核心问题2提供比赛数据，让学生分析数据选择参赛选手；关键问题则从已有统计量到未知统计量，从具体到一般.

3.要“问”好问题

“方差”问题导学有一个很重要的不足，就是学生一直在解决教师设计好的问题，而没有给学生发现和提出问题的机会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》一个重要的变化就是课程总目标中“两能”变为“四能”，在分析和解决问题的能力基础上增加发现和提出问题的能力.发现和提出问题是一切创造发现的基础，问题导学目前主要还是教师设计问题、学生探究解决问题，这启示我们还应努力创造机会创设氛围让学生发现和提出问题，变过去单纯的“去问题教学”为“去问题生问题并重的教学”.好的问题导学还要让学生“问”出好问题，在这一方面笔者还需加强探索和研究、实践与总结.