考虑静水压力和LODE角的塑性模型在GH4169合金上的应用

许凯旋 ，胡绪腾 ，宋迎东 ，2

（南京航空航天大学江苏省航空动力系统重点试验室1，机械结构力学及控制国家重点试验室2：南京210016）

0 引言

镍基合金具备足够的高温强度、抗氧化和耐腐蚀性能，广泛应用于航空发动机轮盘、机匣、轴、叶片等构件中[1]。延性断裂通常指材料发生明显塑性变形后的断裂，是该类构件静强度设计首要考虑的问题。工程中常采用有限元方法对构件的变形进行仿真计算，再结合延性断裂准则判断材料的延性断裂失效[2-3]。建立准确、适用的塑性本构模型是有限元计算精确结果的基础，也是进一步研究镍基合金韧性断裂问题的保证。

近年来已有学者对镍基合金的塑性变形进行了比较深入的理论和试验研究，并建立了一些适用描述镍基合金力学行为的理论与模型。目前镍基合金的塑性模型大多通过考虑载荷条件如应变率、温度等外界条件对材料塑性变形的影响并在本构方程中引入应变率、温度等补偿参数来提升本构方程对材料变形行为的描述精度[4-5]。这类本构方程适用于描述特定载荷条件下镍基合金的塑性变形，但对一般室温、准静态拉伸条件并不适用。实际上在一些室温、准静态拉伸等条件下，基于材料单向拉伸应力-应变曲线试验数据和经典塑性理论（基于von Mises屈服准则）建立的弹塑性本构模型不能准确预测处于复杂应力状态下的缺口试件的拉伸响应。Maziere[6]，刘华翔[7]，王盛尧[8]等人采用基于von Mises屈服准则的弹塑性本构模型均不能准确预测镍基高温合金塑性变形行为。

von Mises塑性屈服理论认为静水压力对材料塑性流动的影响可以忽略不计，并且流动应力不受偏应力第3不变量的影响，然而最近一些关于金属的试验研究表明静水压力和偏应力第3不变量都与材料的塑性变形有关[9]。近年来，Bai、Wierzbizki等[10]发展了考虑静水压力和Lode角（偏应力第3不变量）影响的塑性本构模型（简其称为B-W模型）。该模型仍采用von Mises屈服准则，但考虑流动应力受静水压力（应力3轴度）和Lode角的影响，在硬化函数中引入应力3轴度和Lode角的修正项。。

为建立更加适用于一般条件下的镍基高温合金延性断裂分析的塑性本构模型，本文针对航空发动机盘用典型镍基高温合金GH4169，采用B-W塑性理论对其塑性变形行为进行建模和应用，利用B-W塑性模型对GH4169合金缺口拉伸响应曲线的预测能力进行研究和评估。

1 Bai-Wierzbizki模型

经典von Mises屈服函数的表达式为

该屈服函数不考虑静水压力和偏应力第3不变量对材料塑性行为的影响。Bai和Wierzbizki等提出的B-W模型依然采用von Mises屈服准则，但引入应力3轴度和lode角修正项对硬化函数进行修正。B-W模型的屈服准则表达式为

式中：η 为应力 3轴度；A（η）、B（γ）分别为应力 3 轴度η和lode角相关参数γ的函数项，用来修正塑性模型。

应力3轴度修正项A（η）主要用来修正静水压力对材料塑性行为的影响，其表达式为

式中：η0为基准试验的应力3轴度，与标定基本硬化函数所选取的试样和试验类型相关；cη为材料参数，其大小反映了静水压力对材料塑性变形的影响。

当基准试验为光滑圆棒试样单向拉伸试验时，η0=1/3；当基准试验为光滑圆棒试样轴向镦粗试验时

式中：σm为平均应力为von Mises等效应力。

Lode角项B（γ）主要用来修正偏应力第3不变量对材料塑性行为的影响

Lode角与偏应力第3不变量的关系为[11]

2 GH4169合金拉伸试验

2.1 试验材料

本文试验所用GH4169合金为高强GH4169，其热处理制度为：960℃保温1 h，空冷；720℃保温8 h，空冷[12]。主要化学成分见表1。

表1 镍基合金GH4169的主要化学成分

2.2 试样设计

为研究应力3轴度及Lode角对材料塑性变形行为的影响，并确定模型参数，本文分别设计圆棒和平板类试样。试样具体尺寸及试样编号如图1～5所示。圆棒类试样通过不同缺口半径大小来改变应力3轴度的大小，缺口圆棒试样采用BNT代号加缺口半径大小区分，如BNT_R5表示缺口半径R=5 mm的圆棒，光滑圆棒的代号为BST。拉伸试验中平板类试样所表征的力学状态不同于圆棒试样，轴对称拉伸（圆棒）状态下的Lode角参数为1，而平面应变（平板）拉伸状态下的Lode角参数为0，平面应力（平板）拉伸状态下的Lode角参数介于0～1[10]。本文通过设计不同厚度的平板试样来实现不同力学状态下的材料塑性变形行为，从而研究Lode角对材料塑性变形的影响。平板试样采用PNT代号加厚度和缺口半径大小加以区分，如PNT_T3_R3表示厚度T=3 mm和缺口半径R=3 mm的平板试样。

图1 圆棒试样BST

图2 圆棒试样BNT_R5

图3 圆棒试样BNT_R1

图4 平板试样PNT_T1.5_R3、PNT_T3_R3、PNT_T6_R3

图5 平板试样PNT_T3_R3、PNT_T3_R1.5、PNT_T3_R0.75

2.3 试验方法

对上述试样进行拉伸试验，采用日本岛津液压伺服疲劳试验机，均在室温条件下进行。所有试样采用准静态位移加载控制，底端固定，顶端位移控制，拉伸加载速率为0.3 mm/min，试验进行到试样完全断裂为止。计算机自动记录各试样从开始加载到完全断裂期间的载荷、位移等试验数据。

图6 光滑和缺口各试样拉伸载荷-位移曲线

2.4 试验结果

试验得到各试样从开始拉伸到完全断裂的载荷-位移曲线。为直观比较各试样的拉伸试验结果数据，将载荷位移曲线转换成为名义应力-伸长量曲线，如图6所示。图中纵坐标为各试样拉伸载荷除以其最小净截面积得到的名义拉伸应力，横坐标位移为各试样标距段的伸长量，由引伸计测量得到。从图中可见，对于圆棒试样，试样的缺口半径越小，其断裂位移越小，断裂强度越高；对于平板试样，当试样的厚度一定时，其缺口半径越小，对应的断裂位移越小，断裂强度也越大。当试样的缺口半径一定时，试样越厚，对应的断裂位移越大，厚度为6 mm时，断裂强度最大，厚度为3 mm和1.5 mm时，断裂强度差别较小。

3 B-W模型参数的确定

3.1 材料参数确定方法

工程中常选取应力应变曲线颈缩点之前的数据用于拟合材料的弹塑性本构参数，对颈缩点之后的应力应变并不考虑。然而对于应变范围超过颈缩点应变值的塑性大变形分析，仅以颈缩点之前数据得到的材料本构模型参数并不能得出预测材料的变形响应。为此，本文采用光滑和缺口试样并基于反演法的思想，通过试验和有限元分析相结合的方法得到材料的本构模型参数。

将B-W塑性模型通过用户材料子程序VUAMT嵌入Abaqus/Explicit中，通过试样的拉伸响应有限元模拟与试验结果的残差平方和最小来优化确定B-W模型中的材料参数[13]。材料参数优化目标函数为

式中：P为待估计的材料参数矢量；N为试验曲线中所取的数据点数；wi为加权系数；Fexp（di）、Fcal（di,P）分别为试验曲线中伸长量为di处的载荷试验测量值和计算值。

加权系数wi为

式中：Fexp（di）的作用是将残差无量纲化；L为任取的1个大数，用于放大目标函数值，使得优化目标函数值不至于过小。

图7 典型试样的有限元模型

有限元分析中GH4169合金光滑圆棒和缺口圆棒试样均采用轴对称模型，模型网格划分采用4节点轴对称缩减积分单元（CAX4R）。缺口平板试样采用3维实体模型，单元类型为C3D8R。有限元模型底端均施加固支约束，顶端施加速度边界条件，速度大小为 0.005 mm/s。BST、BNT_R5和PNT_R3_T3 3种典型试样的有限元模型如图7所示。

3.2 基本硬化函数材料参数的确定

针对GH4169合金非线性应力应变关系的特点，本文采用如下多项式函数来描述其塑性硬化规律

式中：σy0为初始屈服应力；ε¯p为等效塑性应变；K、n、r1、b1、r2、b2为塑性硬化参数。

对于光滑圆棒试样拉伸试验，在试样颈缩之前，应力3轴度为1/3，Lode角参数为1。采用光滑圆棒拉伸试验作为基准试验，应力3轴度函数A=1，Lode角相关函数B=1。因此，基本硬化模型材料参数可采用GH4169合金光滑圆棒试样拉伸数据基于优化方程（12）计算得到，其中优化初始点为光滑圆棒应力应变曲线颈缩点之前数据拟合值，具体优化结果见表2。硬化方程采用表2中的参数，并通过有限元计算得到光滑圆棒拉伸载荷-位移曲线与试验结果的对比如图8所示。从图中可见，本文选择的非线性硬化函数可以较好地描述GH4169合金的塑性变形行为，在试样颈缩之前（极限载荷之前）拉伸载荷-位移曲线的模型计算结果与试验结果非常吻合，颈缩之后模型计算结果高于试验结果，考虑到试样颈缩之后发生塑性变形局部化，颈缩部位内部将产生延性损伤。文献[14-15]通过研究材料的力学参数演化历程得到相关的延性损伤公式，并将损伤变量耦合到材料的本构模型中来改进这一现象，本文对此暂不考虑。仅选择对GH4169合金光滑试样颈缩之前的塑性变形行为能够准确描述的非线性函数建立其基本塑性硬化模型。

表2 GH4169合金基本参数

图 8 光滑圆棒BST拉伸响应有限元结果与试验数据对比

3.3 静水压力修正项材料参数的确定

Coulomb Mohr最早考虑采用静水压力修正屈服准则对岩土力学行为进行研究[16]。B-W模型中的静水压力修正项A（η）为关于应力3轴度η的线性函数。拉伸试验中光滑圆棒试样颈缩之前的应力3轴度为1/3。缺口圆棒试样的应力3轴度则与缺口半径大小相关，一般缺口半径越大试样的应力3轴度越小，相反缺口半径越小、越尖锐，试样在变形过程中的应力3轴度越高。在拉伸试验过程中，圆棒试样呈轴对称力学状态，试样Lode角参数θ¯大小恒定为1，Lode角相关函数B=1。因此，在基本硬化函数确定后，B-W模型中静水压力修正函数中的材料参数cη可根据缺口圆棒拉伸试验数据优化确定。本文采用BNT_R5缺口圆棒试样的拉伸试验数据来优化确定参数cη，结果为cη=0.15。采用传统von Mises屈服准则塑性模型（即不考虑静水压力和Lode角影响的传统塑性模型）和B-W模型（仅含静水压力修正）计算的BNT_R5缺口圆棒试样拉伸载荷-位移曲线与试验结果的对比如图9所示。从图中可见，对于BNT_R5缺口圆棒试样，采用传统von Mises屈服准则塑性模型预测拉伸载荷-位移响应曲线明显高于试验结果，所预测的缺口试样极限载荷与试验结果的误差约为4.13%。而考虑静水压力修正的B-W模型可以更准确地预测GH4169合金缺口圆棒试样的拉伸响应，所预测的缺口极限载荷与试验结果的误差约为1%。

图9 不同屈服准则下的BNT_R5拉伸响应与试验数据对比

3.4 Lode角参数修正项材料参数的确定

表3 GH4169合金的B-W模型各修正项系数

图10 不同屈服准则下的PNT_T6_R3拉伸响应与试验数据对比

4 B-W模型预测能力的评估

为进一步评价B-W模型对GH4169合金塑性变形行为的描述和预测能力，基于上文确定的B-W模型材料参数，对GH4169合金其他缺口试样的拉伸响应进行有限元计算和分析。另外，前面在确定基本塑性硬化模型材料参数时，对于GH4169合金光滑圆棒试样的拉伸响应计算没有考虑静水压力的影响，但试样在局部颈缩后由于应力3轴度发生变化，所以对光滑圆棒试样的拉伸响应重新进行计算和对比分析。

4.1 圆棒试样

GH4169合金光滑圆棒和BNT_R1缺口圆棒试样拉伸响应的有限元计算结果与试验数据的对比如图11所示。从图中可见，对于光滑圆棒试样，由于在试样颈缩之前应力3轴度保持不变，考虑静水压力修正的B-W模型计算结果与传统von Mises塑性模型的计算结果基本重合。但在发生颈缩之后，由于应力3轴度的变化，考虑静水压力修正的B-W模型计算的拉伸响应曲线下降，比传统von Mises塑性模型的计算结果更贴近试验结果。对于BNT_R1缺口类圆棒试样，基于传统von Mises塑性模型预测的拉伸载荷-位移响应明显高于试验结果，极限载荷预测误差为4.13%～10.64%。而采用考虑静水压力修正的B-W模型可以较准确地预测BNT_R1缺口类圆棒试样的拉伸响应，极限载荷预测误差在1%以内。这一结果说明B-W模型通过考虑静水压力对塑性硬化行为的影响，可以很好地描述和预测GH4169合金光滑和缺口圆棒试样拉伸过程中的塑性变形行为。

图11 不同屈服准则下的圆棒拉伸响应与试验数据对比

图12 不同屈服准则下的拉伸响应有限的计算结果与试验数据对比

4.2 平板试样

不同缺口半径和不同厚度的GH4169合金缺口平板试样拉伸载荷-位移曲线的有限元计算结果与试验数据的对比如图12所示。从图中可见，采用传统von Mises塑性模型预测的GH4169合金缺口平板试样拉伸响应曲线均明显高于试验结果。采用仅包含静水压力修正的B-W模型仍不能准确预测缺口平板试样的拉伸响应，预测结果高于试验结果。而采用同时包含静水压力修正和Lode角修正的B-W模型预测的缺口平板试样拉伸响应曲线与试验结果均比较吻合。而从缺口平板拉伸极限载荷的预测误差（见表4）来看，传统von Mises塑性模型的预测误差最大，仅包含静水压力修正的B-W模型的预测误差仍较大，而同时包含静水压力修正和Lode角修正的B-W模型的预测误差最小。

表4 GH4169合金缺口平板试样极限载荷预测误差 %

对比结果说明本文所采用的非线性硬化函数和优化确定的B-W模型材料参数是合理有效的。更重要的是上述结果表明了B-W模型通过考虑静水压力和Lode角对材料塑性硬化行为的影响能够准确描述和预测GH4169合金在复杂应力状态下的塑性变形行为，预测效果明显好于传统von Mises塑性模型。可以预见采用B-W模型建立的GH4169合金塑性本构模型能够更加准确地预测GH4169合金延性断裂相关行为。

5 结论

本文针对基于传统von Mises屈服准则的塑性本构模型不能准确描述和预测GH4169合金在复杂应力状态下塑性变形行为，研究和评估了B-W塑性本构模型对GH4169合金的适用性，分别基于光滑圆棒、缺口圆棒和缺口平板试样优化确定了B-W模型中的基本硬化函数材料参数、静水压力修正项材料参数和Lode角修正项材料参数，对比分析了传统von Mises塑性模型和B-W模型对GH4169合金缺口拉伸响应的预测能力，得到如下主要结论：

（1）基于传统von Mises塑性模型预测的GH4169合金缺口拉伸响应曲线均明显高于试验曲线。

（2）仅考虑静水压力修正的B-W塑性模型可以较准确地预测缺口圆棒试样的拉伸响应曲线，但对缺口平板试样拉伸曲线的预测结果仍高于试验结果。而同时考虑静水压力和Lode角修正的B-W模型所预测的缺口平板拉伸响应曲线与试验结果非常吻合。

（3）静水压力及偏应力第3不变量（Lode角）对高强GH4169合金塑性屈服后的流动应力影响显著，而考虑静水压力和Lode角的B-W模型是建立GH4169合金塑性本构模型的1种较好选择。