初探高考解析几何中的定点、定值问题

林全德

【摘 要】解析几何是高考中数学的重要组成部分，每年的高考都会涉及若干个小题，及一道大题。这道大题经常考查直线与圆锥曲线的位置关系，其中尤为常见的是考查直线过定点、某些几何量的斜率、长度、角度、面积为定值等问题。这部分内容对考生的运算求解能力、数形结合思想、坐标建模思维、用代数方法解决几何问题要求比较高。本文通过近三年全国各地高考试卷定点、定值问题的分析，希望对考生如何做好解析几何此类问题有所帮助。

【关键词】解析几何；定点；定值

【中图分类号】G633.65 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0066-02

题型一：过定点问题

直线或者曲线过定点问题，是高考中数学的热点，我们通常可以通过联立方程组，求出直线中含有参数的方程，然后证明其过某个定点。

例1.【2017课标1，理20】已知椭圆C： （a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上。

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点。

分析：（1）略；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，在设直线l的方程，当l与x轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l：y=kx+m（M=1），将y=kx+m代入+y2=1，写出判别式，韦达定理，表示出k1+k2，根据k1+k2=-1列出等式表示出k和m的关系，判断出直线恒过定点。

解法：

设P2A，P2B的斜率分别为k1，k2（k1+k2=-1）

P2A与P2B两直线方程为（k1x+1-y）（k2x+1-y）=0

化简得k1k2x2+（1-y）2+（1-y）（k1+k2）x=0

椭圆方程变形为x2=4（1-y2），代入可得

得4k1k2（1-y2）+（1-y）2-x（1-y）=0，

此方程的解是椭圆与两条直线的三个公共点P2，A，B的坐标。

若y≠1，即A，B两点坐标满足4k1k2（1+y）+（1-y）-x=0（此即直线AB方程）

根据直线系方程可得该直线系必过点（2，-1），本题得证。

点评：双联立的解法，非常巧妙，计算量非常小，其关键是抓住了本质：两条直线同时与椭圆联立得到的方程的解就是三个公共点的坐标，从而得到直线AB方程，再结合直线系方程求得定点，直线与圆锥曲线相交问题，不应该是简单粗暴的联立方程组，而是在根本上体现数与形的转化。

例2.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 。

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=-3上，且 ·=1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

分析：（1）略；（2）利用·=1可得坐标关系-3m-m2+tn-n2=1，结合（1）中的结论整理可得 ·=0，即⊥，据此即可得出题中的结论。

解法：（2）由题意知F（-1，0）。设Q（-3，t），P（m，n）则=（-3，t），=（-1-m-n），·=3+3m-tn，=（m，n），=（-3-m，t-n）。

由·=1得-3m-m2+tn-n2，又由（1）知m2+n2，故3+3m-yn=0。

所以·=0，即⊥。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F。

点评：利用·=1可得坐标关系-3m-m2+tn-n2=1，结合（1）中的结论整理可得·=0，即⊥，据此即可得出题中的结论，从而大大减少计算量。

题型二：定值问题

解决定值问题的方法，常将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。

例3.【2015高考新课标2，理20】已知橢圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；

分析：题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点A，B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线l的斜率；设直线l的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点，并寻找两条直线斜率关系。

解法一：（Ⅰ）设直线l：y=kx+b（k=0，b=0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）。

将y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，故xM= =- ，yM=kxM+b= 。于是直线OM的斜率kOM= =- ，即kOM·k=-9所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。

例4.【2016年高考北京理数】已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），ΔOPQ的面积为1。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。

求证：|AN|·|BM|为定值。

分析：（1）略；

（2）根据已知条件分别求出|AN|，|BM|的值，求其乘积为定值。

解：（2）由（Ⅰ）知，A（2，0），B（0，1）

设P（x0，y0），则x02+4y02=4

当x0=0时，直线PA的方程为y= （x-2）

令x=o，得ym=-

从而|BM|=|1-yM|=|1+ |

直线PB的方程为y= x+1

令y=0，得xN=-

从而 |AN|=|2-xN|=|2+ |

所以|AN|·|BM|=|2+ |·|1+ |

=

= =4

当x0=0时，y0=-1，|BM|=2，|AN|=2

所以|AN|·|BM|=4。

综上，|AN|·|BM|为定值。

点评：本题直接利用题目条件，得到直线PA、PB的方程，然后求出|AN|、|BM|的值。

例5. 【2016高考山东文数】已知椭圆C：（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2。

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过动点M（0，m）（m>0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B。

（i）设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值。

分析：（I）略；（Ⅱ）（i）设P（x0，y0）（x0>0，y0>0），由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，-2m）.得到直线PM、直线QM的斜率，即可得证。

解：（Ⅱ）（i）设P（x0，y0）（x0>0，y0>0），由M（0，m），可得 P（x0，2m），Q（x0，-2m）。

所以 直线PM的斜率 k= = ，直线QM的斜率k= =- 。

此时=-3，所以为定值-3。

点评：本题利用对称性可以得到相关点的坐标，从而得到斜率，属于中等题。