一类无界时滞微分方程解振动的判定

（五邑大学数学与计算科学学院，广东江门529020）

时滞普遍存在于现实世界，并影响事物的发展进程.作为描述自然规律的一类重要数学模型，时滞微分系统引起了人们的广泛关注[1-3].Ladas G等[4]研究了如下常系数常时滞微分方程：

安冉[5]研究了如下无界时滞的微分方程：

其中，pi＞ 0,0＜αi＜ 1 (i=1,2,…,n )为常数.作者也利用特征方程法得到方程（2）所有解振动的充分必要条件是其对应的特征方程无实根，并据此得到了方程（2）所有解振动的显式充分条件：

引理1[5]3-4设.如果则方程（2）的所有解振动.

基于上述，我们自然要问：如果方程（2）去掉“pi＞ 0 ”的限制，也就是pi∈ℝ时是否也可以建立类似于方程（1）的结论？本文将研究此问题.

考虑如下无界时滞微分方程：

定理1方程（3）所有解振动的充要条件是其对应的特征方程：

无实根.

注1当方程（3）中的pi＞0时，定理1即变为文献[5]的定理1，因此我们的结果是对文献[5]结论的推广.

由于我们所研究的是方程解的振动性问题，因此只需讨论方程在某一区间[T,+∞ )(T≥ 1 )上的非零连续解.习惯上，方程（3）的非零解是振动的，如果它有任意大的零点，否则称之为非振动的.

1 定义和引理

为了证明定理1，我们引进如下定义和引理.

定义1设f(t):[1,+∞)→ℝ为实值函数，如果存在正数k,μ使得则称f(t)为具有幂阶μ的函数.

定义2设ℝ为连续函数，如果对复数，积分收敛，则称之为函数f(t)的J变换，记作：J(f(t)) (s)=J(s)，也就是：

根据定义2和广义积分的收敛性，对于某一给定的函数f(t)容易看出：式（6）所定义的无穷积分的收敛性是以下3种情况之一：

1）对所有的复数s∈ℂ,J(s)是收敛的；

2）对所有的复数s∈ℂ,J(s)是发散的；

3）存在某一实数σ0，当Re(s)＞σ0时，J(s)收敛；当Re(s)＜σ0时，J(s)发散.

当情况3）成立时，我们称σ0为J(s)收敛的横坐标，即σ0=i nf｛ Re(s):J(s)存在｝ ；当情况1）成立时，我们规定σ0=-∞；当情况2）成立时，规定σ0=+∞.

注2由定义2及广义积分的收敛性不难发现：若函数f(t)为具有幂阶μ的函数，则σ0≤μ，且当 R e(s)＞σ0时,J(s)存在关于s的解析函数.

2 定理1的证明

证明（充分性）如果方程（4）有一实根λ0，容易验证x( t)=tλ0是方程（3）的一个正解，这与方程（3）所有解振动相矛盾，充分性得证.

3 显式充分条件

4 例子

例1考虑如下时滞微分方程

注3例1和例2方程解的振动性由文献[5]的方法不可判别.