例谈构造法证明不等式

蔡维琛

（福建省泉州市晋江市毓英中学，福建晋江 362200）

引 言

构造法是一种灵活的思维方法，没有固定的思维模式，应用构造法的关键是联想与转化。构造法属于非常规思维，用构造法解题常使数学解题变得更加简单明了，起到意想不到的效果。不等式的证明问题是中学数学的一个难点，本文着重从函数、方程、数列、向量、复数、恒等式、新变量等方面，对构造法在证明不等式中的应用进行介绍。

一、构造函数证明不等式

应用函数的思想和函数的性质解决不等式问题是一种很重要的解题方法，函数问题与不等式问题两者经常可以互相转化。

例1：若2x+5y≤ 2-y+5-x，证明x+y≤0 。

略证：把不等式变形为2x-5-y≤2y-5y，构造函数f(x)=2x-5x，f(x) 为R上的增函数，因为f(x) ≤f(-y) ，所以有x≤-y，即x+y≤0。

例2 ：已知a,b∈R，并且e＜a＜b，其中e是自然对数的底，证明ab＜ba。

略证：当e＜a＜b时，要证ab＜ba，即证blna＞alnb，只需证，构造函数，其中x＞e，利用导数来判断的单调性，从而证，从而ab＜ba得证。

此类题似乎与函数毫不相干，但观察到题目条件或结论有一定的对称性，直接证明比较困难，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质使该命题得到了简洁的证明。

二、构造方程证明不等式

方程就是从数学问题中提炼出的变量间的相等关系。方程思想是研究运动中的等量关系，构造方程，通过解方程或运用方程的性质去转化问题，使问题得到解决。在解题中，许多问题初看无从下手，这时可根据其数量关系在已知量和所求量之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁合理[1]。

例3：已知证明b2≥4ac。

简析：本题已知条件十分简单，一个方程中含有三个未知数，要证明一个与这三个未知数相关的不等式，一时会没有思路。但从b2≥4ac这个结论出发，联想到一元二次方程根的判别式，因此可以想到构造一个二元一次方程来帮助解题。

∴△＝b2-4ac≥0。

三、构造数列证明不等式

对于与自然数有关的不等式证明，观察不等式中式子的结构，对比等差等比数列的公式，有时可以通过构造特殊的数列来证明。

例4：设任意实数a、b均满足│a│＜1, │b│＜1，求证

简析与证明：不等式中各式子的结构特点与已知条件会让人联想到无穷等比数列，各项和公式，│q│＜1,

四、构造向量证明不等式

如果认真分析不等式的结构特征，类比向量的相关知识，可以构造向量，用向量的方法来证明不等式。

例5：求证(1-y)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥。

简析与证明：不等式左边式子的特点，会让我们联想到向量模的坐标表示，设=(1−y,x+⇀⇀y−3 ⇀ , 2x+y−6) ，将原不等式左边看成模的平方，又为使为常数，又可构造⇀=(1 ,2 1 ,,−1)，于是

所以，(1-y)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2，所以原不等式得证。

五、构造复数证明不等式

由于复数有代数、几何、三角函数等多种表示形式及性质与运算法则，故一些难以解决的实数问题可通过构造转化为复数问题。虽然复数的结构会使式子似乎变得更加复杂，但却使问题由抽象变得具体，一目了然。

例6：已知a,b,c∈R，

∴原不等式得证。

六、构造恒等式证明不等式

代数式的恒等变形相对没有固定模式，根据具体问题，采用不同的变形技巧，会使证明过程简洁方便。

例7：已知n＞ 1且1且n∈N，

七、构造新变量证明不等式

通过恰当构造新的变量，可将某类数学问题转化为另一类问题得以解决。

略证：构造新变量a

故原不等式得证。

结 语

上述例子说明了构造法在证明不等式中有着广泛的应用，构造得当时问题便很快可以得到解决。构造法解题重在“构造”，它的运用需要熟悉几何、函数、数列、向量等基本知识，并设法加以综合利用，这对学生的综合能力要求比较高。如果教师能在课堂上多展示构造法的应用，这对学生多元思维的培养、学习兴趣和综合能力的提高会有很大的帮助。