基于盖尔圆准则的信源数目估计改进算法

褚鼎立，陈 红，蔡晓霞

(国防科技大学电子对抗学院， 安徽 合肥 230037)

0 引言

在信源和混叠过程未知的情况下从混合信号中分离出有用信号称作盲源分离(Blind Signal Separation，BSS)。“鸡尾酒会”问题可以看做盲源分离问题的起源[1]，通过源信号估计技术可以准确判断出席酒会的人数。军事上，可以根据信号情况，判断出敌军坦克、飞机等军事目标的数目[2]。辐射源个数估计一直是盲源分离和空间谱估计领域的研究热点和难点[3]，是盲源分离算法应用的前提和基础，一般的盲源分离算法均假设信源数目已经事先确定[4]，然而实际中信源数目通常是未知的,这对盲信号的分离带来了一定困难。

现有的源信号个数估计算法主要有：基于假设检验的算法、基于信息论准则的算法和基于盖尔圆准则的算法[5-6]。基于假设检验的算法通过对观测信号的协方差矩阵进行特征值分解，利用信号特征值相对较大而噪声特征值相对较小的特点将特征值进行排序，在信号和噪声特征值之间设置阈值或者利用特征值间的比值设置阈值，从而判别出信号数目。但检测阈值的设定至今尚没有较好的理论支持，有较大的不确定性。基于信息论准则的算法主要有最小信息准则(AIC)和最小描述长度(MDL)准则，其中AIC准则由Akaika提出[7]，MDL准则由Schwartz[8]和Rissanen[9]提出。这两种准则最初是用于模式选择，由Wax和Kailath于1985年应用到了对源信号个数的估计上。这两种方法克服了假设检验算法阶数估计的不确定性，实用性较强。进一步研究表明，MDL准则对源信号个数的是渐进一致性估计，而AIC准则不是，其估计值较真实值偏大。AIC准则和MDL准则有一定的适应条件： 1)接收阵元数量须大于源信号个数；2)必须有少量噪声，保证噪声特征值不为零；3)必须是高斯白噪声。因此在非高斯噪声和非白噪声场合，这两种方法不能正确估计。Wu和Yang等于1995年提出了基于盖尔圆理论的信号源个数估计方法[10]，不需要知晓噪声模型，适用于多种噪声条件下的信源数目估计问题。该方法存在的问题是可能陷于无序特征值导致的错误检测[11]。针对AIC准则存在的非渐进一致性估计的缺陷，以及盖尔圆准则可能出现的无序特征值导致的检测错误，提出了结合GDE准则和AIC准则的GDE-AIC信源数目估计方法。

1 基于AIC准则的信源数目估计算法

1.1 线性混叠信号盲源分离的模型

假设M个统计独立的源信号经过线性瞬时混合被N个传感器接收，则每个观测信号是这些信号的一个线性组合。公式(1)对于线性时不变瞬时混合信号成立：

(1)

式(1)中，aij,i∈[1,2,…,N]，j∈[1,2,…,M]是混合参数，sj(t),j∈[1,2,…,M]是源信号，xi(t),i∈[1,2,…,N]是观测信号。公式(1)也可以表示成向量形式：

x(t)=As(t)

(2)

式(2)中，x(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T是N维观测向量，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T是M维信号向量，A∈N×M是元素为aij的混合矩阵。

实际应用中，由于信道和传感器阵列存在加性噪声的干扰，式(2)中的观测向量就变为：

x(t)=As(t)+n(t)

(3)

式(3)中，n(t)=[n1(t),n2(t),…,nN(t)]T是加性噪声矢量。

盲源分离的基本原理是接收信号经过分离系统后能够分离出原始信号。图1为线性瞬时混叠信号盲源分离模型。如图1，M个相互独立的未知信号s=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T经过一个混叠系统后，由N个传感器检测得到N个接收信号x=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T。接收到的信号通过分离系统得到的估计信号y=[y1(t),y2(t),…,yN(t)]T就是对源信号的一个估计。

图1 线性瞬时混叠信号盲源分离模型Fig.1 Liner instantaneous mixing and blind Source separation model

1.2 基于AIC准则的信源数目估计算法

假定观测噪声n(t)是零均值高斯白噪声，源信号相互独立，且与噪声不相关。考虑观测信号构成的矩阵X=[x(1),…,x(L)]，其协方差如下：

R=E[XXH]=Ψ+σ2I

(4)

式(4)中，L为快拍数，Ψ=ARSAH，RS=E[SSH]，S=[s(1),…,s(L)]为源信号矩阵，σ2为噪声特征值，R∈N×N。

源信号个数估计等价于估计式(4)中矩阵Ψ的秩。AIC准则模型为：

(5)

R(k)=Ψ(k)+σ2I

(6)

式(6)中，Ψ(k)是秩为k的半正定矩阵，k∈{0,1,…,N-1}遍历所有可能的源信号个数值。将R(k)特征值分解，有

(7)

式(7)中：λ1,…,λk，v1,…,vk分别为R(k)的特征值和特征向量。用Θ(k)表示该模型中参数组成的向量，即

(8)

由于观测值x(i)，i=1,2,…,L是统计独立的零均值高斯随机向量，其联合概率密度函数为：

(9)

对式(9)两边取对数并忽略与Θ(k)无关的项，得

(10)

(11)

κ=k(2N-k)+1

(12)

将式(11)和式(12)代入式(5)中，得到AIC准则计算公式

2k(2N-k)

(13)

遍历k=1,2,…,N-1时，使得AIC(k)取最小值时对应的k值就是信号源个数的估计值。

2 基于GDE-AIC准则的信源数目估计算法

2.1 基于GDE准则的信源数目估计算法

对于N×N维实矩阵A，设其第i行第j列元素为aij，第i行中除第i列外的所有元素绝对值之和为：

(14)

定义第i个圆盘Oi为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的所有点集合，则

|z-aii|≤ri

(15)

Gerschgorin已经证明[10]，矩阵A的特征值包含在圆盘Oi，i=1,2,…,N的并区间内。这个理论成为盖尔圆理论，对应的圆盘称为盖尔圆盘。

定义

(16)

(17)

构造酉变换矩阵U：

(18)

对协方差矩阵R作如下变换：

(19)

(20)

(21)

式(21)中，k取值范围为1，2，…，N-1；D(L)为取值0～1的校正因子。噪声盖尔圆半径随样本数L增加而减小，因此取D(L)是样本数L的非增函数，使得样本数增大时对应的判断阈值减小。具体判断方法为：从k=1开始计算GDE(k)，当GDE(k)第一次取负值时停止，估计源信号数为k-1。

2.2 基于GDE-AIC的信源数目估计算法

提出的GDE-AIC算法结合了盖尔圆准则(GDE)和最小信息准则(AIC)，并可用信源数目估计中。

将式(7)中的R(k)用变换后的S(k)代替，可得到基于盖尔圆的最大似然估计。令z(k)=Ux(k)，则S=E[z(k)z(k)H]，则对数似然函数为：

(22)

(23)

将S(k)写成分块矩阵的形式：

(24)

(25)

将得到的对数似然函数代入式(5)中得

(26)

修正项κ为可独立调整的参数个数，似然函数由S的k维子矩阵和相应的盖尔圆决定，通过计算得κ=k2，代入式(26)得到GDE-AIC准则的计算公式

(27)

遍历k=1,2,…,N-2时，使得GDE-AIC(k)取最小值时对应的k值就是信号源个数的估计值。

3 实验仿真与分析

本节基于Matlab2014a平台仿真验证并分析GDE-AIC方法的估计效果。

实验1：实验中使用了4个源信号，分别为FSK信号、ASK信号、DPSK信号和一组随机信号，接收传感器为6个，这4个源信号经混合矩阵混合并叠加噪声后得到6个观测信号，混合矩阵取

源信号波形如图2所示，混合信号波形如图3所示。

图2 源信号Fig.2 Source signals

图3 混合信号(N=6)Fig.3 Mixed signals(N=6)

为便于计算，非增函数D(L)取为固定值0.01。采样点数为10 000，信噪比线性变化范围从-20 dB以步长2到20 dB，对比了基于信息论的AIC算法、基于盖尔圆准则的GDE算法、文献[12]提出的GDE-MDL算法以及本文提出的算法，每个信噪比上进行300次Monte Carlo实验，表一给出了信噪比为0时，GDE-AIC算法的取值，GDE-AIC(k)取最小值时对应的k值就是估计的源信号个数。

当噪声分别为高斯白噪声和空间色噪声时，四种算法分别进行300次Monte Carlo实验，计算各算法的估计准确率，实验结果分别为图4和图5所示。

表1 GDE-AIC(k)值

Tab.1 GDE-AIC(k) values

图4 白噪声条件下的估计效果(N=6)Fig.4 Estimation effect of these methods under white noise condition(N=6)

图5 色噪声条件下的估计效果(N=6)Fig.5 Estimation effect of these methods under color noise condition(N=6)

从图4中可以看出，在白噪声条件下，信噪比在-20～-6 dB之间时，4种方法的源数估计效果均不理想；信噪比在-6～-2 dB之间时，GDE-AIC算法的估计准确率已经非常高；当信噪比高于-2 dB时，GDE-AIC算法估计准确率已稳定在100%，而文献[12]提出的GDE-MDL算法在4 dB以后估计的准确率才达到100%。图4明显可见，即使在高信噪比下，AIC算法的估计准确率也只能达到80%～90%，不是渐进一致性估计。随着信噪比的逐渐增大，GDE-AIC算法的估计准确率一直保持100%，比GDE算法更快稳定。由此可见，GDE-AIC算法估计性能明显优于GDE算法、AIC算法及GDE-MDL算法。

从图5中可以看出，在空间色噪声条件下，信噪比在-20～-4 dB之间时，四种方法估计性能均不理想；信噪比提升到0 dB时，GDE-AIC算法的估计准确率已经达到100%，相较于其他三种算法，对信噪比要求更低。而GDE算法只有在信噪比较高情况下，才有很好的估计效果。AIC算法的非一致性估计在色噪声条件下更加明显，信噪比较高时，估计准确率也只有70%～80%。

对比图4和图5，可见GDE-AIC算法在不同噪声中的信源数目估计对信噪比的要求都低于其他算法。

实验2：使用的4个源信号与实验1相同，接收传感器数目变为7个和9个时，对混合信号分别加入高斯白噪声和有色噪声，混叠矩阵分别为：

混合信号如图6和图7所示。实验结果如图8—图11所示。

图6 混合信号(N=7)Fig.6 Mixed signals(N=7)

图7 混合信号(N=9)Fig.7 Mixed signals(N=9)

图8 白噪声条件下的估计效果(N=7)Fig.8 Estimation effect of these methods under white noise condition(N=7)

图9 白噪声条件下的估计效果(N=9)Fig.9 Estimation effect of these methods under white noise condition(N=9)

图10 色噪声条件下的估计效果(N=7)Fig.10 Estimation effect of these methods under color noise condition(N=7)

图11 色噪声条件下的估计效果(N=9)Fig.11 Estimation effect of these methods under color noise condition(N=9)

该实验的参数设置与实验1相同，通过图8、图9、图10及图11效果图的比较中可以看出，随着接收传感器数量的增多，GDE-AIC算法源数目估计的效果对信噪比的要求逐渐降低，无论在白噪声还是色噪声中，GDE-AIC算法估计准确率都是最高的，且在较低信噪比时也有很好的估计效果。

两个实验的仿真结果验证了GDE-AIC算法的有效性，在白噪声和空间色噪声的情况下都有很好的源数估计性能，优于其他几种算法，且所需信噪比相对较低。

4 结论

本文提出了基于盖尔圆准则(GDE)和最小信息准则(AIC)的GDE-AIC信源数目估计算法。该算法将盖尔圆准则下的似然函数引入最小信息准则的模型中，既结合了盖尔圆准则适用于色噪声情况的优点，也克服了最小信息准则非一致性估计的缺点，能够更好地处理实际情况中低信噪比和有色噪声条件下的源数估计问题，性能更加稳定。仿真实验表明，GDE-AIC算法的估计效果要明显优于GDE算法、AIC算法及GDE-MDL算法，在白噪声和有色噪声条件下均可用于信源数目估计。

本文算法有助于从混叠信号中准确估计出源信号数目，为接下来的盲源分离提供一定的先验信息，促进盲源分离理论在盲信号处理领域中的有效应用。