工科类专业复变函数与积分变换课程教学改革探索

张琼芬 李海权 石凯

摘 要：复变函数与积分变换是工科类专业的一门数学基础课，通过该门课程的学习，可以培养学生应用数学知识解决本专业中遇到的问题。本课程是后继课程如自动控制原理、信号与系统、图形与图像处理等课程的基础。文章结合多年来复变函数与积分变换的教学经验，根据实际情况，尝试在教学中使用对分课堂，获得了一些成果，提高了学生学习的主动性与积极性。

关键词：对分课堂；教学改革；复变函数与积分变换

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）23-0120-05

Abstract： Complex Variable Function and Integral Transformation is a basic course in engineering majors. Students can obtain the ability of using mathematical knowledge to deal with practical problems by learning this course. This course is the basis for subsequent courses such as the principles of automatic control， signals and systems， graphics and image processing. Combining the teaching experience of complex variable function and integral transformation for many years， this paper attempts to use the PAD class （Presentation-Assimilation-Discussion） in teaching according to the actual situation， and obtains some results， which improves the initiative and enthusiasm of students' learning.

Keywords： PAD class； teaching reform； complex variable function and integral transformation

一、概述

复变函数与积分变换是各高校工科类专业学生继高等数学课程后又一门重要的数学基础课，是自动控制原理、信号与分析、电路分析、图形与图像处理等课程的先修课程。复变函数起源于力学、数学、物理等理论与实际问题，伴随着流体力学、电学和空气运动学的研究而发展起来，并为这些学科提供理论与方法上的支持，促进了工程技术的快速发展[1]。以复变函数理论为基础建立起来的积分变换，通过特定的积分形式，建立了函数之间的对应关系，在现代工程技术领域中有广泛的应用。因而本课程的主要内容分为两大块，即复变函数和积分变换。

复变函数亦称为复分析，是高等数学中相关知识的推广和发展。因此它不仅在内容上与高等数学相关知识有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常類似。而积分变换主要包括傅里叶变换和拉普拉斯变换。

复变函数与积分变换是一门富有生命力的学科，其作为一种强有力的工具，已经被广泛应用在各学科领域中，如自动控制学原理、信号处理、电路分析、电子工程等工程技术领域。

二、工科类专业复变函数与积分变换课程特点及教学中存在的主要问题

（一）工科类专业复变函数与积分变换课程的特点

复变函数与积分变换作为一门学科，有自己的特点和特有的研究方法，本门课程主要内容有复变函数和积分变换，根据复变函数与积分变换自身的理论体系和工科类专业设置的特点，笔者所在学校工科类专业的复变函数与积分变换已由原来的48个学时改成了32个学时，由于学时的限制，笔者只能选讲以下内容：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、傅里叶变换和拉普拉斯变换。从多年的教学实践中，笔者对工科类专业复变函数与积分变换课程进行了总结，得出以下三个主要特点：

1. 抽象性。复变函数与积分变换这门课程的研究方法实际上是高等数学的延续，但与高等数学的研究方法又有些不同，这门课的核心是建立具有良好性质的解析函数以及研究解析函数的若干方法并熟练掌握傅里叶变换和拉普拉斯变换。复变函数与积分变换是一门大家公认的很抽象的学科，其概念、理论多，相对于高等数学来说，显得更加复杂难懂。

2. 实用性。复变函数与积分变换来源于实践，并成为一门具有系统理论体系的学科，它已经作为一种强有力的工具被广泛应用于自动化控制原理、弹性力学、流体力学、电路分析、语音识别与合成、信号分析与图像处理、地震勘测、通信与控制以及电子工程等众多自然科学领域。

3. 方法性。复变函数与积分变换的方法性很强，每一个版块的内容都有其相应的方法，这些方法在各个工程技术领域中的应用很广泛，在各个领域中需要根据具体的实际问题求解相应的问题，因而必须牢牢掌握这些基本方法。

（二）教学中存在的主要问题

1. 教学内容的安排不够合理。复变函数与积分变换是一门应用非常广泛的学科，其实用性不言而喻，但并不是每一个板块的内容都必须精讲细讲。在教学过程中，笔者发现所选择的内容还是没能最大限度地挖掘工科类专业学生的潜能。在教学中，一方面，笔者对公式的来龙去脉和推导过程以及定理的证明过程讲解得很精细，但工科类专业学生已经修过高等数学，而高等数学中的很多推理方法都可以推广至复变函数与积分变换，因此，学生对繁杂的推理过程兴趣不高；另一方面，没能结合实际问题来讲解每一个板块的内容，原因在于本课程只有32个课时，要想在这么短的时间内充分展示每一个板块的知识点在实际当中的应用是不现实的，也是不可能的。

2. 学生学习的兴趣不浓。在讲课过程中，笔者发现学生的学习兴趣不是很高，笔者认为这源于这门课本身比较抽象，而教学中又没能充分利用各种教学方式，也没能充分展现本门课在学生相关专业课程中的应用，更没有利用相关数学软件进行相应的展示，而此门课的方法性又很强，因此学生普遍感觉到这门课很难学，而且学生觉得这只是一门数学基础课，没有认识到该课程的重要性。在学习的过程中如果出现有一部分内容没学好，就会对下一阶段的学习产生影响，所以学生对复变函数与积分变换这门课感觉很难并且枯燥无味，提不起学习的兴趣。

3. 课程考核方式比较单一。笔者所担任的复变函数与积分变换课程基本上都是以期末考试为主，总评成绩=期末卷面成绩*70%+平时成绩*30%。这种成绩的构成方式主要是以期末卷面成绩为主，因而存在学生在考前突击复习就能取得高分的情况。这种构成方式没有考虑到学生平时学习的能力，也没有考虑到学生学习的过程，即没有考虑到过程性评价，因而对学生来说成绩与其所付出的努力可能不成正比，更没能充分展示学生的学习能力以及学生学习的过程。这种成绩的构成方式没能激发学生学习的积极性与主动性，更没有激发学生学习的内在动力，因而存在很大的缺陷，需要对成绩的构成方式进行相应的改革。

三、改革措施

针对目前笔者所在学校工科类专业复变函数与积分变换课程教学中存在的问题，并结合笔者这些年来讲授复变函数与积分变换的实践和体会，提出工科类专业复变函数与积分变换课程的一些改革措施，具体改革措施如下所示。

（一）精心安排教学内容

在讲授复变函数与积分变换这门课时，必须要考虑到工科类专业的培养目标，工科类专业主要是培养具有基础扎实、富有创新意识和动手能力强的人才，因此在授课中，要充分考虑到工科类专业学生的具体培养要求，针对培养要求安排适用于其专业的授课计划。在授课过程中，笔者具体做法如下：

1. 精讲绪论内容。绪论是每门课的第一次课，一定要把复变函数与积分变换的来龙去脉、研究对象、研究方法、研究内容、其与所学课程的联系、其对后续课程的作用等内容精讲。在绪论的讲解中适当选取一些与学生专业相关的课程中用到复变函数与积分变换的例子，比如在绪论的讲解中引入卷积在信号与系统理论中的一些应用例子。众所周知，信号与处理中的卷积积分是将输入信号分解为众多的冲击函数之和（即积分），而后求解系统对任意激励的零状态响应，具体例子为：设f1（t）=3e-2t？着（t），f2（t）=2？着（t）求卷积积分f1（t）*f2（t）；求信號f（t）=t？着（t）的象函数F（s）。虽然一开始在绪论的讲解中还不能告诉学生如何求卷积积分和象函数，但是会跟学生说这是他们之后将要学的信号与处理这门课中将要用到的知识，学生从老师的授课过程中就会感觉到一种压力，这种压力是使学生学习的一种原动力，这样就会让学生对这门课引起高度重视，而不是觉得这只是一门数学课。学生对这门课有这种深刻印象后，他们会觉得这门课在其今后的专业课学习中非常重要，进而产生努力学好这门课的内在动力。

2. 第一章的复数与复变函数内容部分，主要是对中学阶段学习的内容进行简要的复习与补充，并在此基础上进一步介绍复平面上的区域、复变函数的极限及复变函数的连续性等概念，为后面各章更深入地学习解析函数的理论和方法奠定坚实的基础，因而在这一章中主要讲解与高等数学中相关知识点的异同，让学生课后自己去学这章的其余知识，并形成一篇小报告作为作业的形式上交。这是因为在高中的数学学习中，学生已经学过有关复数的基本知识，对复数已有一定的印象，虽然没有深入学习，但是已经有了相应的基础，也具备自主学习的条件，因而可以放手让学生课后自主去学习相应版块的内容，这样也可以提高学生学习的主动性与自觉性。

3. 重点讲授解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用、傅里叶变换和拉普拉斯变换；对繁杂的定理证明，只讲授证明思路，让学生课后自己去尝试证明的全部经过。具体安排如下所述：复变函数研究的主要对象是解析函数，解析函数在理论和实际问题中都有着广泛的应用。在解析函数这一章中，首先介绍复变函数导数的概念和求导法则，进而讲解解析函数的概念及函数解析的充要条件；然后介绍常用的几个初等函数及其性质，说明它们的解析性，最后举些平面流速场和静电场的复势的例子，说明解析函数在研究平面场中的应用。研究解析函数的另一个重要工具是复变函数的积分，因而在复变函数的积分这一章中重点介绍柯西积分定理和柯西积分公式。级数是研究和表示复变函数的重要手段，而且这部分内容跟高等数学中的相关内容的研究非常相似，所以在解析函数的级数表示这一章中重点讲授泰勒级数、洛朗级数及其相关性质。留数在复变函数中的地位不容忽视，因而在留数定理及其应用这一章中主要以洛朗级数为工具，首先对解析函数的孤立奇点进行分类，而后引入留数概念，介绍留数定理并利用留数定理计算一些难以计算的定积分和广义积分。变换是一种常用的数学方法，恰当的变换能将复杂的问题化成简单的问题。积分变换可以把卷积运算变成乘积运算，可以将微分运算和积分运算转化成代数运算，从而可以将微分方程和积分方程转化成代数方程，使得求解更加简单方便，所以积分运算也是一种数学变换。因而在讲解积分变换时要充分考虑学生专业的特点，引入与学生专业相关的具体实例，让学生感受到复变函数与积分变换在实际当中的具体应用，激发学生学习的兴趣。特别是在傅里叶变换和拉普拉斯变换的讲解中插入更多与学生专业相关的例子，如在讲授傅里叶变换时，引入如下例子：

通过这道例题，学生会明白傅里叶变换在频域分析中的具体应用，让学生觉得复变函数与积分变换这门课并不是那么枯燥无味的，而是充满了挑战性与神秘性，并且用处非常大，进而让学生感觉到必须学好这门课，为后续课程的学习打下牢固的基础。

通过这道例题的讲解，让学生明白：经过拉普拉斯变换，可以将时域中用微分、积分形式描述的元件段电压U（t）与电流i（t）的关系，变换为s域中用代数方程描述的 U（s）与I（s）的关系。这样，在分析电路的各种问题时，将元电路中已知电压源、电流源都变换为相应的象函数；未知电压、电流也用其象函数表示；各电路元件都用其s域模型替代（初始状态变换为相应的内部象电源），则可画出原电路的s域电路模型。对该s域电路而言，用于分析计算正弦稳态电路的各种方法（如无源支路的串、并联，电压源与电流源的等效变换，等效电源定理以及回路法，结点法等等）都适用[1]。这样，可按s域的电路模型解出所需未知响应的象函数，取其逆变换就得到所需的时域响应。学生通过具体实例的求解，会更深刻认识到复变函数与积分变换在其后续课程中的重要地位，进而提高学习的积极性与主动性。

复变函数与积分变换各章节的内容是连贯的，如果断开了某一章节，那后面的内容就难以理解和消化，因此一开始就要让学生明白这个连贯性的重要性。此外，在讲授的过程中，通过充分展示复变函数与积分变换在学生专业课程当中的应用，使学生对课程的理解度提高到一定的高度，也能让学生切实体会到数学的奇妙之处，使学生把复变函数与积分变换这门课与专业课的学习联系起来，而不是觉得这只是一门数学类的课程，让他们对数学不再感到厌烦与枯燥无味，而是感觉到数学就像一个魔法，能够让如此多的技术领域的问题迎刃而解。

（二）采用对分课堂教学模式

对分课堂把教学分为在时间上清晰分离的3 个过程，分别为教师课上讲授（Presentation）、学生课外内化吸收（Assimilation）和学生课上讨论（Discussion），也称为PAD 课堂[2]。对分课堂的核心理念是将课堂时间平均分配：一半课堂时间给教师进行讲授，另一半给学生以讨论的形式进行交互式学习，突出课堂讨论过程。把教师讲授与学生讨论在时间上错开，让学生在中间有一周时间自主安排学习，以进行个性化的内化吸收。以讨论和作业的形式强化学习的成果是对分课堂的关键创新。这是复旦大学张学新教授在2014年提出的具有原创意义的一种新的课堂教学模式。此模式主要适用于班级人数较少且是文科的课程，但后来也被应用到理工科课程[3-6]。

在实践中，笔者是这样安排课程的：只有在解析函数的级数表示、留数及其应用、傅里叶变换和拉普拉斯变换这四章内容中使用对分课堂教学模式，而且课堂中的时间分配不是严格按照1：1进行的，互动讨论的时间一般在20-30分钟；其他章节的内容由教师全部讲授。笔者所讲授的复变函数与积分变换总学时是32，每周两次课，每次课两学时，每学时45分钟，在具体实施对分课堂时，第一次课的第一节课的前部分时间先复习前一周所学的内容，学生相互分享课后学习体会，相互答疑解难，并交流对习题的解答方法与过程，接下来教师与学生互动，对学生普遍存在的问题进行解答并总结，此时，教师充当了评价者的角色。每周的第一次课讨论环节结束后，剩余时间由教师讲授新课，第二次课也是由教师讲授新课，讲完新课后要求学生课后自主复习、内化吸收新内容，自己总结出新内容的脉络并标出重难点以及完成课后习题，这些课后总结以及所写的作业作为下次课在课堂上进行讨论。现在仅把傅里叶变换这一章的对分课堂安排寫出：本章计划用时5学时，用4个学时讲授傅里叶变换的理论基础与基本性质、？啄函数及广义傅里叶变换和傅里叶变换的应用以及习题课，这一章实施两次对分课堂，实施对分课堂的具体安排如表1所示。

采用对分课堂后，学生学习的积极性明显提高了很多，并且对复变函数与积分变换这门课的兴趣也提高了很多。这源于学生课后得去查阅相关资料，亲自动手把该完成的作业完成，在这个过程中，学生内化吸收了课本上的知识，并转成了一种解决问题的工具，能够利用相应的知识点去解决与专业相关的实际问题，并且亲自感受到了理论学习与实践结合的重要性，深刻体会到了复变函数与积分变换在其专业课程中的重要地位，进而萌发了内在学习的动力。在完成相关素材的搜集与内化吸收后，学生能够在课堂上展示自己搜集来的素材，这一方面增强了学生的自信心，也使老师和其他学生共享到了更多的资源，这是一个相互学习的过程，也是一个取长补短的过程。在这个过程中，学生学会了独立思考，并且提高了应用所学知识解决与其专业相关的问题的能力。总而言之，采用对分课堂后，学生对本门课的学习态度发生了很大的改变，与没采用对分课堂之前的那种慵懒的学习氛围完全不同，学生学习的主动性提高了很多，并且对钻研问题有了很大的兴趣。

（三）改革考核方式

采用对分课堂教学模式后考核方式不再单一，而是兼顾过程性评价和总结性评价，这样做起到了鼓励学生平时学习，并且使得学生在本门课程的整个学习过程中都不断地得到提高。过程性评价主要指传统和对分作业的提交、对分课堂中的课堂讨论、自测练习、学习笔记等；总结性评价指传统期末闭卷考试模式。考核结果权重为：课堂讨论（含是否出勤）、自测练习和学习笔记30分，作业30分，期末考试40分。对分课堂模式下作业的布置是为了督促学生进行课后复习，从而保证理解并掌握所学的内容。此外，为了下次的讨论，教师布置几个与学生专业相关的综合性较强且有一定难度的题目。采用对分课堂后，学生的学习成绩构成方式发生了很大的改变。以往都是按照期末卷面成绩的百分之七十加上平时成绩的百分之三十给学生评成绩，如今是平时成绩占了很大一部分，而期末成绩仅占百分之四十，这种方式更加注重学生平时学习的过程，而不是靠临时抱佛脚取得高成绩，这对学生来说也是比较公平合理的，能使学生真正体会到自己的付出是值得的，也能让学生深刻体会到主动性学习对其今后的学习以及生活有很大的帮助。

四、结束语

复变函数与积分变换是高校工科类专业学生的一门数学基础课，通过该课程的学习，可以培养学生严谨的数学思维能力和应用所学知识解决与自己专业相关的问题的能力，对提高学生的综合素质起到一定的作用。笔者结合实际教学经验，从精心安排教学内容、采用对分课堂教学模式和改革考核方式这几个方面进行了探索，提出了一些见解，获得了一些成果。通过改革，使学生深刻体会到了复变函数与积分变换这门课程的重要性，提高了学生学习的积极性，也充分调动了学生课上课下学习的主动性。

参考文献：

[1]冯复科.复变函数与积分变换[M].北京：科学出版社，2015.

[2]张学新.对分课堂：大学课堂教学改革的新探索[J].复旦教育论坛，2014，12（05）：5-10.

[3]陈建兰，汪仁泰.高等数学D的混合式教学方法的研究与实践[J].教育现代化，2018，5（01）：83-84，101.

[4]尹万科.对分课堂模式在工科复变函数教学中的应用[J].高师理科学刊，2016，36（9）：58-60.

[5]温雅敏.对分课堂在财经类高校《微积分》教学中的实践探索[J].南昌教育学院学报，2018（9）：52-55.

[6]李宾，张朝凤.对分课堂教学模式在随机数学教学中的运用[J].吉林广播电视大学学报，2018（6）：85-86.