关于高阶导数教学的几点思考

李思彦

摘 要：高阶导数作为一元函数微分学中的重要概念，是微积分的重要内容。高阶导数对有效解决一些实际问题提供了重要的方法，也是后继课程学习的一个重要基础，但是学生在高阶导数的学习中还存在着一定的问题。文章对高阶导数教学进行了思考和总结，希望对高阶导数的教学起到一定的促进作用。

关键词：高等数学教学；高阶导数；求导方法

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2018）08-0122-03

Abstract： As an important concept of calculus of one-dimensional functions， the higher order derivative is an important part of calculus. The higher derivatives provide an important method for solving some practical problems effectively， and are also an important basis for subsequent course learning. However， students have some problems in the study of higher derivatives. This paper considers and summarizes the higher derivative teaching， and hopes to promote the teaching of higher derivatives.

Keywords： advanced mathematics Teaching； Derivative of Higher Order； differentiation method

高阶导数作为一元函数微积分中的重要概念，是高等数学教学的重要内容。高阶导数是高等数学与实际问题相联系的一个重要桥梁，它对于有效解决生活中的一些实际问题提供了重要的方法，例如曲线的凹凸性、极值问题、曲率等问题。高阶导数也是课程后继学习的一个重要基础。本文对高阶导数教学进行了思考和总结，希望对高阶导数的教学起到一定的促进作用。

一、利用实例引入，增强学生学习兴趣

爱因斯坦曾经说过：“兴趣是最好的老师”。培养学生学习数学兴趣的途径是多种多样的，在高等数学教学上，引入实例，有利于学生了解高等数学在实际生活、具体问题中应用，启发学生思考，提高学生学习高等数学的兴趣。高等数学教材中高阶导数的实例一般都是“路程与加速度的关系”这个例子，其实适用于高阶导数应用的实例不少，例如“国防预算增长问题”、“曲线的凹凸性”、“通貨膨涨率升降问题”、“股票价格升降问题”、“最值及最优化问题”等。利用实例引入课题，目的是通过实际生活、具体问题中的实例，增强学生学习兴趣。

实例 曲线的凹凸性

设函数y=f（x）在区间I上连续。在区间I内任意作曲线y=f（x）的切线，若曲线总是在切线上方，则称此曲线在区间I上是凹的；若曲线总是在切线下方，则称此曲线在区间I上是凸的。如图1，弧AB是凸的，弧BC是凹的。从图中可以看出，对于曲线凸弧AB，当x增加时，其切线的斜率在减少，曲线凸弧BC，当x增加时，其切线的斜率在增加；再由导数的几何意义，处处存在不垂直x轴的切线的曲线的凹凸性可以由导数的导数的符号来判定。导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数。

二、引导学生了解高阶导数在课程中的重要性

高阶导数是高等数学的重要教学内容。一方面，高阶导数对于用高等数学有效解决生活中的一些实际问题提供了重要的方法，例如弯曲道路设计，桥梁的抗弯模量等；另一方面，高阶导数是高等数学的重要知识点，它与我们后面学习的高等数学的很多重要内容相关。高等数学中与高阶导数相关的重要内容和知识点，包括：泰勒公式、曲线凹凸性与拐点、极值与最值、曲率、高阶偏导数、无穷级数、微分方程等。例如，无穷级数这章的将函数展开成幂级数和傅里叶级数两节中，先利用高阶导数给一般项的系数表达式，再给出函数的展开式。因此，高阶导数是无穷级数的重要基础。学好高阶导数，不仅能使学生学到必要的高等数学的基本知识点和技能，而且能为学生进行后期的高等数学学习打好基础。

三、强化求导方法教学是学好高阶导数的基础

一般来说，数学的学习都比较枯燥乏味，除了概念是比较抽象以外，主要还是学生对所给题目“算不出来”或者“不会做”。教师在教学中要注意引导学生掌握更多的方法来处理实际计算问题，形成能解决实际计算问题的满足感，增强学生学习兴趣。在高阶导数的教学过程中，要用一定量的例题来强化求高阶导数的方法与技巧的教学，尤其要重视基本方法和重要技巧的介绍，它是学好高阶导数的基础。求解高阶导数的一些方法与技巧总结如下：

（一）按定义逐阶求导

当只需求比较低阶的高阶导数（如二阶、三阶）时，一般采取按定义逐阶求导的方法求导。利用高阶导数的定义式（增量比极限）求导可看成是此法的特殊情形，分段函数在分界点处的高阶导数常用此法。隐函数和参数方程确定的函数的高阶导数求导方法也可归为此法。

四、关注考研和数学竞赛，拓宽学生知识面

在高等教育不断发展、日新月异的今天，教师要以发展的眼光看待高等数学，应该赋予高等数学课程建设更多的动态理念，不断维护和调整其广度和应用的内涵，使其更好地为培养高素质人才服务。考研数学主要以考察大学数学的基本概念、基本方法和基本原理为主，考研试题难度适宜，是很好的教学素材；大学生数学竞赛主要侧重于考查参赛者分析问题、解决问题的能力，强调创新意识和创新思维，竞赛试题内容能体现现代数学的思想和方法及其应用。积极关注考研和数学竞赛的发展趋势，优化学生数学知识结构，拓宽学生知识面，提高学生的学习兴趣，为学生对进一步的数学和专业学习打下良好基础。高阶导数历年来都是考研和大学生数学竞赛的重要考查内容，考查题型可以是客观题也可以是主观题，计算高阶导数关键在于掌握求导的方法。

考研和数学竞赛指导书常会有相关的计算方法总结，这是学生在数学上形成新知识、拓宽知识面的重要方法、步骤。在高阶导数求法中，一般的考研和竞赛参考书都会介绍-利用泰勒展开式求导，该法先利用间接法求出函数的泰勒展开式，若其在x0点处的泰勒展开式为

五、结束语

在高等数学教学中，高阶导数是比较重要的内容，可以帮助学生更好地解决函数的极值、凹凸性、曲率、无穷级数等问题，因此需要作为教学重点来对待。教师在实际教学中应增强学生学习兴趣，强化求导方法教学，为学生对进一步的相关知识点的学习打下良好基础。在课堂教学中，要注意对知识点之间的联系进行讲解，使学生清晰地了解高阶导数的作用、应用。

参考文献：

[1]郭天印.求高阶导数的方法与技巧[J].数学学习，1994（03）：34-36.

[2]张鸿.高阶导数的求解技巧[J].绥化学院学报，2008（02）：190-191.

[3]周丹.析求高阶导数的几种方法[J].牡丹江教育学院学报，2012，3（133）：112.

[4]同济大学应用数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[5]罗辉，等.高等数学[M].上海：复旦大学教育出版社，2017，6.

[6]景慧丽.函数的导数易错题分析研究[J].高教学刊，2016（10）：260-262.

[7]卜兵，赵瑛.两种求多元复合函数偏导数方法的分析比较[J].高教学刊，2016（13）：92-94.