基于改进随机多目标可接受度分析的产品服务系统方案评价

李玉鹏，吴 玥

(中国矿业大学 矿业工程学院,江苏 徐州 221116)

0 引言

不同于单一的产品或服务，产品服务系统(Product Service System, PSS)是在产品全生命周期服务模式下生成的一种以高集成度、整体优化为特征的新型产品系统[1]。由于PSS属于一种新兴概念，其相关研究目前集中于PSS设计理论和方法[2]。与传统产品设计相似，PSS的设计过程同样开始于概念设计，概念设计结束后会形成若干设计方案，因此需要对设计方案进行评价与选择。方案评价是PSS设计过程中的一个重要环节，其结果的可行性和合理性对后续设计和制造过程具有重大的影响。由于服务具有无形性、差异性和主观性，顾客的需求具有多样性、模糊性、随机性等不确定性特点[3]，PSS的方案评价远比单一的产品或服务的方案评价更为困难。在PSS方案评价中，由于指标的多样性，很难精确判定各评价指标占据的权重，从而影响最终方案的选择。因此，PSS方案评价是一类典型的多属性决策问题。

近年来，PSS方案评价得到了广泛关注。文献[4]针对具有模糊性的服务性指标，对电梯PSS方案进行了评价，提出一种基于直觉模糊信息公理的PSS方案评价方法，该方法根据备选方案信息量的大小确定最优方案;文献[5]针对模糊性、不完备性等不确定性信息，以注塑机PSS方案评价为例，建立了一种融合多属性指标变粒度权重评价和群决策的PSS方案评价方法;文献[6]针对由产品和服务模块组成的PSS方案评价问题，通过二元语义表达模型描绘决策者给出的模糊决策信息，将模块评价与模块组合效应评价相结合得到PSS方案评价方法。上述文献主要针对PSS方案评价过程中评价指标和语义的模糊性进行了研究，而对具有随机性质指标的处理考虑较少。文献[7]阐释了PSS方案评价过程中随机指标的存在性，进而在随机和模糊指标共存条件下，以起重机PSS方案评价为例，基于模糊信息公理建立了评价模型，并提出上下界为模糊数的信息量积分算法，相似研究还可见于文献[8-10]。此类基于模糊信息公理和模糊模拟的PSS方案评价方法虽然兼顾了评价指标的模糊性和随机性，但是仅限于一种评价指标同时具有模糊性和随机性的范围，未考虑仅具有随机性的评价指标，而且待评价方案信息量的计算过程较为复杂。基于以上分析，本文针对具有随机性指标的PSS概念方案评价进行研究。

现有的随机多属性决策方法主要基于随机占优(Stochastic Dominance, SD)准则和随机多目标可接受度分析(Stochastic Multi-objectives Acceptability Analysis, SMAA)两类理论[11]。SD方法通过已知的部分决策信息生成偏序，分析决策者的效用函数是否隶属于某个确定的类别，以此缩减有效方案集，进而做出选择，但其本质是定性描述偏好关系，难以准确描述决策者的具体偏好程度。在将备选方案缩减成有效方案集后，采用3类优先关系的排序准则对其进行选择，需先确定属性偏好阈值，该取值会直接影响备选方案的选择，因此存在一定的不确定性[12]。同时研究发现在采用一阶、二阶和三阶SD关系时，难以准确判定两两方案间是否存在随机占优关系，从而影响评价结果。SMAA可以在决策者偏好未知的情形下，运用决策者共同接受的效用函数计算出权重向量空间里的最优权重向量，从而获得各备选方案的可接受度，然后通过比较方案间的可接受度、中心权向量和置信度获得评价结果。该方法能够解决决策者间意见相左的问题，并可以用任意权分布方式表示部分偏好信息，从而解决权重信息部分(完全)缺失的随机多属性决策问题;另外，该方法还能应用于多种决策模型，选择一个或一些较好的备选方案，并对各备选方案进行排序和分类[13]。可见，SMAA最大的优势在于不需要决策者明确表达自己的偏好信息，就能给出备选方案的排序结果，在解决随机多属性决策问题时具有一定的优越性。因此，本文选用SMAA方法进行随机多属性决策。

针对评价指标的随机性，本文将数据包络分析(Data Envelopment Analysis, DEA)与SMAA相结合，提出一种基于改进SMAA的PSS方案评价方法——SMAA-D。为了提高评价结果的精确度和可靠性，采用 DEA型价值函数取代传统SMAA中的效用函数，能够很好地解决效用函数难以具体表达决策者偏好的问题，以此处理权重信息随机分布和不精确属性值的多属性决策问题。首先基于随机指标评价值获取概率密度函数，形成决策矩阵，用DEA价值函数定义权重输出与输入的比例，然后采用CCR(Charnes-Cooper-Rhodes)DEA模型将矩阵归一化。进而，建立权重优化的线性规划模型，计算各备选方案的可接受度和置信度，再给出最大效率、中心效率和平均效率3种随机效率的计算方法。最后比较各备选方案的可接受度，即先去掉部分不合格方案，再比较置信度和3种效率值，从而选出最优方案。

1 基础理论

1.1 随机多目标可接受度分析

SMAA能够处理评价指标为确定型和随机型的两类决策问题。在确定情况下，指标j(j=1, 2, …,n)对应的方案i(i=1, 2, …,m)的属性值gij是确定的，通过效用函数uj=(.)将gij映射到[0,1]区间：

uij=uj(gij)。

(1)

然后对各指标的uij加权求和得到各方案的总效用值ui，

(2)

(3)

式中ωj表示指标权重。再将各方案的总效用值ui进行比较，形成所有能使方案i排名第一的权重集合Wi，Wi是总体权重区域W的一个满足线性约束的子集，

Wi={ω∈W:ui≥uk,k=1,…,m,k≠i}。

(4)

通过建立线性规划求解Wi：

max 0。

s.t.

ωj≥0。

(5)

Wi的体积通过n-1维积分计算：

(6)

当权重信息完全未知时，假设权重在总体权重区域内均匀分布。方案i成为最优方案的概率即为可接受度ai,

ai=vol(Wi)/vol(W)。

(7)

在所有能使方案i成为最优方案的权重组合中，最能表示方案i成为最优方案的决策者偏好信息的权向量定义为中心权向量，即

(8)

而在随机情况下，指标取值是不确定的，用随机变量γij表示，其密度函数用f(γ)表示为

(9)

方案i在各评价指标下的效用值

(10)

后续步骤参考式(2)～式(8)。但因为各方案的属性值为随机值，所以需计算各方案属性值测量的置信度。置信度的定义为：方案i选择中心权向量时，其为最优方案的概率。计算公式为

(11)

方案的可接受度与置信度越大，表示该方案越优。

1.2 数据包络分析

DEA是在相对效率条件下衍生出来的一类效率评价分析法[14],该方法根据多项投入指标和产出指标，利用线性规划的方法，对具有可比性的同类型DMU进行相对有效的评价，同类型的DMU具有相同的目标和任务、相同的外部环境，以及相同的投入和产出指标。考虑n个决策单元DMUj(j=1,2,…,n)，有m个投入xij(i=1,2,…,m)，s个产出yrj(r=1,2,…,s)，投入和产出向量分别记为Xj=(x1j,…,xmj)T和Yj=(y1j,…,ysj)T，由于过程中各种投入和产出的作用不同，需要对DMU进行评价。其中DMU的效率值E(xj,ω)是输出与输入的比率：

(12)

CCR-DEA模型是DEA方法的典型拓展，其中各DMU通过自评来优化自身效率。以第j个DMU的效率值为目标，以所有DMU(含第j个DMU)的效率指数为约束，构建模型如下：

s.t.

UT≥0,VT≥0。

(13)

其中θ0是第j0个DMU的最优效率值，满足0≤θ≤1。输入和输出的权向量分别记为V=(v1,…,vm)T和U=(u1,…,un)T，vi表示第i种输入的权向量，ur表示第r种输出的权向量，vi和ur均为变量，DMU的效率值越大，表明其越能采用相对较少的输入取得相对较多的输出[15]。

2 基于SMAA-D的PSS概念设计方案评价方法

在PSS概念设计方案评价问题中，假设X={x1,x2,…,xi,…,xm}为方案集，C={c1,c2,…,cj,…,cn}为指标属性集，ω={ω1,ω2,…,ωj,…,ωn}为指标属性权重集，将随机值γij用联合概率密度函数f(γ)定义为X⊆Rm×n的决策矩阵，用SMAA-D方法对评价指标具有随机性的PSS备选方案进行排序，方法流程图如图1所示。具体步骤如下：

步骤1通过价值函数获得综合决策矩阵。

决策者通过n个决策指标对m个备选方案进行评价，并且指标权重未知。SMAA-D根据输出最大化和输入最小化的原则对方案进行评价。因为评价指标具有随机性，随机情况下的属性值又是不确定的，所以通过联合密度函数f(γ)表示随机变量γij的空间矩阵：

(14)

同时用价值函数计算权重输出与输入的比率，得出综合决策矩阵

(15)

步骤2决策矩阵归一化。

决策者在偏好未知或部分已知的情况下，假设随机向量ω均匀分布在权重空间W中，ε是无限接近于0的无穷小，则此时的权重空间为

(16)

CCR-DEA优化模型如下：

s.t.

ω≥ε,ε>0。

(17)

运用该模型分别计算各方案的最大效率值，从中选出总的最大效率值。权重和效率u′(γi,ω)的值都是有区间的，但并非每个价值函数值都在[0,1]区间内，因此需对属性值进行归一化处理：

(18)

步骤3基于SMAA-D方法的方案排序。

(1)确定各方案的最优权重空间

通过模型求出各方案排名第一时的权重空间体积：

Wi(γ)={ω∈W:u(γi,γ,ω)≥u(γk,γ,ω),

k=1,…,m，k≠i};

(19)

(20)

方案i排名第一时的权重空间体积需大于其他任一方案，只要该方案的权重空间体积小于其中一个方案，该方案就不存在最优权重空间体积，在最后选择备选方案时先排除这些方案，以使选择出的方案更精确。

(2)计算各方案的可接受度和置信度，找出无效方案

可接受度ai是方案i最优时的权重空间体积比总体权重空间体积，即

ai=E(vol(Wi(γ)))/vol(W)。

(21)

如果ai=0，则表明没有任何权重可以使方案i成为最优方案；反之若ai=1，则表示任意权重都能使方案i最优。因此可根据ai找出方案中的无效方案。

在方案i是最优方案的权重集合中，能够较好地表达决策者偏好信息的权向量为中心权向量，即

(22)

(23)

(3)计算有效方案的最大效率、中心效率和平均效率

(24)

(25)

(26)

步骤4方案综合比较择优。

3 实例验证

3.1 案例分析

A公司是国内一家机床制造企业，主要是向顾客提供机床产品和相应的服务。机床产品的技术含量高、工艺性复杂、标准化程度高，对制造型企业来说是必不可少的设备，机床质量的优劣会直接影响客户的选择和使用，因此A公司决定以PSS形式向客户提供解决方案。A公司根据企业特色和机床产品的性能，从客户角度出发，在概念设计阶段形成7个机床产品服务的备选方案{x1,x2,…,x7}，根据可靠性、保养频率、精度、耐磨性4个指标对备选方案进行评价和选择，指标属性对应{c1,c2,c3,c4}，并且指标权重未知。为了科学合理地选择方案，决策专家给出各指标相应的随机范围，假设指标属性值在区间内均匀分布，如表1所示。

根据本文提出的SMAA-D决策方法，对7个备选方案进行评价择优，具体步骤如下：

步骤1首先根据决策者的初始决策信息，用式(14)和式(15)构建综合决策矩阵，如表2所示。

步骤2得到综合决策矩阵后，根据式(17)，通过Lingo软件编程分别计算出7个方案的最大效率值，从中选出总的最大效率值，计算结果如表3所示。

从表中可以看出最大的效率值为1，根据式(18)对综合决策矩阵进行归一化，结果如表4所示。

步骤3方案排序。

根据式(19)，通过Lingo软件编程确定各方案是否存在最优权重空间，得出方案x1，x2和x4不存在最优权重空间。然后用式(20)构建方案的最优权重空间模型，通过MATLAB编程绘制各方案排名第一时的权重空间，方案x3，x5，x6和x7的最优权重空间如图2所示。

用式(24)～式(26)计算各方案的最大效率、中心效率和平均效率，结果如表6所示。

步骤4综合比较有效方案集{x3,x5,x6,x7}的可接受度、置信度和各个效率值，发现方案7的可接受度和置信度在有效方案集中均为最大，且方案7的平均、中心效率值相比均较高，因此确定方案7为最优方案。

3.2 方法对比

随机占优方法首先判断任意两两方案之间是否存在随机占优关系，详细过程如图3所示。其中：FSD为一阶随机占优，SSD为二阶随机占优，TSD为第三类随机占优，AFSD为一阶近似随机占优，ASSD为二阶近似随机占优，TSSD为第三类近似随机占优。

在构造随机占优关系矩阵Rj=m×m的基础上，分析上述综合决策矩阵，通过排序值

(27)

k=1,2,…,m;

(28)

k=1,2,…,m。

(29)

两个偏差度

i=1,2,…,m;

(30)

i=1,2,…,m。

(31)

结合式(37)～式(31)，计算各备选方案的排序值，结果如表7所示。

由此可得最优方案为x7，这一决策结果与SMAA-D方法得到的结果一致。然而在对方案进行两两比较时，会出现决策者不能判定任意方案间是否存在随机占优关系的情形，可能导致方案间决策信息的缺失，对方案的选择造成一定影响。例如在判断上述案例中方案x3与x4是否存在随机占优关系时，根据3类随机占优关系的定义可知，x3与x4之间不存在任何随机占优关系，但根据期望值最大原则，x3的指标值多数大于x4，造成大多数决策者选择x3，从而影响对备选方案科学客观的判断。因此，采用SMAA-D方法选择最优方案更为准确合理。

4 结束语

本文针对PSS概念方案评价指标的随机性，提出一种基于改进SMAA的PSS概念方案评价法。该方法将DEA与SMAA相结合(SMAA-D)，将不确定或不精确的方案评价指标值用联合概率密度函数的随机变量值表示为矩阵形式，并采用CCR-DEA模型构建综合决策模型；基于各方案的最优权重空间计算出可接受度、置信度等，从而进行方案排序和最优方案选择。最后采用所提方法对某公司机床PSS概念方案进行了评价，评价结果和方法对比验证了所提方法的可行性和有效性。后续研究将针对随机指标的其他分布情况进行探讨。