基于经济性分析的贝叶斯迅速识别控制图

郑 辉，刘春明，张峻霞，王东菲

(1.天津科技大学 机械工程学院，天津 300222;2.天津市轻工与食品工程机械装备集成设计与在线监控重点实验室，天津 300222)

0 引言

随着市场化的蓬勃发展，产品成本愈加受到重视，结合成本要素的经济性控制图应运而生。经济性控制图必须依据产品生产加工过程的成本情况，进行统计性和经济性优化，实现以最低成本产出最优产品的目的[1]。

传统经济性控制图模型主要考虑抽检成本、次品成本、误报成本、检修成本等费用，以过程成本平均损失最小为目标。控制图经济性优化参数较多，无论选定何种质量成本模型，控制图的经济性优化都可以定义为寻求最佳控制图参数组合，并保证质量成本降到最低。而在统计过程控制方法中，贝叶斯理论经常用来监控小批量生产过程。目前国内外学者从多个视角对贝叶斯理论展开研究，积极探索经济性最优控制图方法与贝叶斯理论相结合的发展途径。Wang等[2]展开了具有多个可分配原因的贝叶斯过程控制研究，基于结构结果进一步推导了控制限的分析界限;Marcellus[3]研究了均值漂移过程的贝叶斯方法，论证了贝叶斯方法相比累积和控制图具有更好的生产过程预期性能;Nenes[4]证明了自适应无限级过程优化贝叶斯控制图，该模型使用贝叶斯定理估计的经济最优设计参数可以显著改善经济效益;Makis[5-6]分析了部分观察过程3个状态量的联合抽样和控制问题，并对基于状态维修的多元贝叶斯控制图进行经济分析设计;Naderkhani[7]研究了基于两采样间隔的多元贝叶斯控制图，通过与具有单个采样间隔的多变量贝叶斯控制图和最近开发的多元指数加权移动平均(Multivariate Exponentially Weighted Moving Average, MEWMA)控制图进行比较，证明了所提控制图的有效性；Nenes等[8]研究了均值—标准差均发生偏移的自适应贝叶斯控制图，提出一种可能发生两种可分配原因的过程操作的经济优化新模型;Razmy等[9]对均值—标准差均发生偏移的休哈特控制图展开性能研究，通过监测正态分布过程的平均值和方差，论证了几种联合监测方案的监控性能;胡雪龙等[10]针对过程方差估计不精确的问题，采用t统计量代替传统统计量，提出一种单边合格品链长t控制图来监控过程均值偏移。作为当前研究热点，近年来国内外部分高校、科研单位和企业也相继对经济性贝叶斯控制图展开了初步研究。范文贵[11]运用贝叶斯理论分析了小批量生产质量过程，对传统统计方法进行了很好的补充；张鹏伟等[12-13]开展了多元贝叶斯控制图的经济性动态研究，效果显著；朱慧明等[14]进行了动态控制设计，完善了贝叶斯序贯分析质量监控模型;陈洪根[15]针对生产过程质量特性均值漂移由设备异常导致的可修系统，提出一种可变样本容量指数加权移动平均均值控制图和预防维修联合经济设计模型。为提高控制图监测误差波动的统计性能，有学者提出了快速初始响应(Fast Initial Response, FIR)方法，将特定的FIR方法应用到不同类型的质量控制图，可以提高控制图监测误差波动的能力。Knoth[16]提出指数加权移动平均(Exponentially Weighted Moving Average, EWMA)控制图的FIR方法，提高了EWMA的监测灵敏度。

上述研究为经济性贝叶斯迅速识别控制图的研究提供了借鉴。因此，本文构建了一种将经济性分析与过程仿真相结合的贝叶斯迅速识别控制图。在该控制图中，为实现经济性与迅速识别的双向功能，基于最优经济指标设立了最优控制限和操作规则；为分析基于经济性分析的贝叶斯控制图的统计性能，采用蒙特卡洛仿真模拟技术，以过程失控时的平均运行链长(Average Run Length, ARL)差值效率比为性能指标，与传统休哈特控制图及当前普通经济性控制图进行对比分析。结果证明，基于经济性分析的贝叶斯迅速识别控制图可以高效识别过程偏移并报警，具有一定的成本优势和应用价值。

1 基于质量损失函数的均值—标准差控制图经济性分析

传统经济控制图假设过程失控时产品的生产才会产生成本损失，没有考虑到产品质量特性和目标函数值的偏离程度，因此存在一定的局限性。本文将质量损失函数应用到质量控制图的经济性分析中，质量损失函数将质量与成本要素相结合，为质量波动及其定量分析开辟了新思路。质量大师田口采用高次损失函数量化产品质量特征值和期望值存在偏差的质量损失，并命名为“质量损失函数”，该公式为

(1)

某样本包括n件产品，假设质量特性值依次为x1,x2,…,xn，则样本的质量损失

(2)

通过分析式(1)和式(2)可知，不合格品与合格品都会产生损失，这是对传统质量损失概念很好的补充，因此将合格品质量损失成本引入经济控制图的控制模型具有现实意义。本文下一步细化过程受控和失控时的质量损失，设平均质量损失

E(L)=k[σ2(μ-T)2]。

(3)

1.1 模型假设

本节模型构建需要设置如下参数及条件：

(1)质量特性服从正态分布，过程初始状态受控。

(2)标准差控制图的中心线和上、下控制线分别为:

CL=C4σ；

(4)

(3)过程受控时间满足均值为1/λ的指数分布。

(4)生产过程具有双边等值的容差Δ0，质量特性为正态对称。

(5)失控过程上下偏移的概率均为0.5。

控制模型中涉及的参数说明如下：

a1为一次抽验的固定费用；

a2为抽样的非固定成本；

a3为搜寻失控成因的费用；

a4为监测一次误发警报的费用；

a5为失控时操作的单件产品损失成本；

H为抽样检验一个产品所需要的时间，取常数；

S为分析失控信号所需要的时间，取常数；

α为受控时点出界的概率，为第一类错误，即拒绝原假设的错误；

β为失控时点处于控制限内的概率，为第二类错误，即接受原假设的错误。

1.2 基于质量损失函数的均值—标准差控制图优化模型

随机抽取n个样本x1,x2,…,xn，s/σ在生产过程中是大于零的数，同理假设该过程标准差从σ偏移到了δσ。

(5)

(6)

R图控制限

(7)

R图警戒限

UWLR=k4σ0。

(8)

式中：k3为R图的控制限系数，k4为R图的警戒限系数，k3>k4。

(9)

式中Φ为标准正态分布的分布函数。

过程受控时，R控制图出现第一类错误的概率

(10)

式中Fn(ε)为标准化极差ε=R/σ0的分布函数，

[Φ(u)-Φ(u-ε)]n-1du。

(11)

(12)

因为标准差控制图是用来控制过程的离散程度，要求越低越好，所以不设置过程标准差控制限的下限，或将其设置为零。取标准差均值大于等于零，则0≤C4<1。因为伽马函数中定义域不为零，所以n≠1。此时标准差控制图的检出功效(第二类错误)

(13)

(14)

(15)

(16)

则一个控制周期的时间长度

(17)

若时间t控制图存在异常的概率为e-λtλ，则在第k和第k+1个样本区之间存在异常的时间为t-kh，该区间存在异常的平均时间

(18)

ETC=E(C)/E(T)。

(19)

依据式(19)列出基于质量损失函数的均值—标准差经济性优化模型为：

(20)

s.t．

1.3 经济性仿真分析

为实现本文提出的控制图模型的经济性优化，进行控制图的经济性仿真分析，要求运用均值—标准差控制图对过程进行控制，并使单位时间的平均费用最小。选择最优的一组数据：a1=1,a2=1,a3=30,a4=50,a5=100,δ=1.5,λ=1/40,H=1/30，S=1，A0=5,ο/Δ0=0.2,P=100，质量损失系数k=1。运用MATLAB仿真求解，得出均值—标准差控制图经济性能分析结果，如表1所示。

为选用重要参数进行分析计算，对所得参数进行敏感性分析，搜寻出影响程度较高的参数，得出敏感性检验结果，如表2所示。

表2 参数敏感性分析表

由表2可知：

(1)经过控制变量法计算得出，参数a1～a5和λ对n值及最终结果影响较小，而σ，δ成比例的变化对最优解的结果影响较大。将假设值σ=0.05，δ=0.5代入模型，计算得n=17；将σ=0.15，δ=1.5代入模型，计算得n=10，即n值明显减小，从17变为10；同时h值也明显减小，从1.080变为0.865，k1～k4整体存在同趋变化。通过敏感性分析可知，只需确定σ，δ的精确值并计算出其他参数值，便能得出优良的结果。例如，若采用传统方法，每间隔1 h抽取5个样本，画在3个标准差为上下控制限的控制图上，则其平均费用为5.954元；若采用表1所示的经济控制方法 ，则每小时4.898元(n=5)；若采用最优经济控制图，则每小时仅4.578元(n=10)。因此，相比传统控制图的方法，本文所提方法表现出了较大的优势。

2 基于贝叶斯理论的均值—标准差控制图

2.1 模型建立

π0(i)，π1(i)，π2(i)分别表示ht时刻，过程处于受控状态、发生第一类和第二类错误的后验概率，π0(i-1)，π1(i-1)，π2(i-1)为其对应的先验概率。在时间ht-ht-1内，通过对先验概率π0(i-1)，π1(i-1)，π2(i-1)进行迭代来计算后验概率π0(i)，π1(i)，π2(i)，继而计算出样本均值yi。

设过程在ht-1时刻为受控状态，从ht-1～ht时段，过程从受控变为失控状态，则转化为发生第一类错误和第二类错误的概率分别为：

(21)

(22)

过程在时间ht-1～ht处于受控的状态为

a0(i)=1-a1(i)-a2(i)。

(23)

在ht时刻抽样前，过程发生第一类错误和第二类错误的概率分别为a1(i)×π0(i-1)+π1(i-1)和a2(i)×π0(i-1)+π2(i-1)，取得样本均值yi后，失控概率变为：

(24)

(25)

式中z(yi,i)=g0(yi)×a0(i)×π0(i-1)+g1(yi)×(a1(i)×π0(i-1))+g2(yi)×(a2(i)×π0(i-1))。根据后验概率π1(i),π2(i)决定是否进行故障诊断。若不检查，则将后验概率转化为下阶段计算前的先验概率。若故障被检出，则根据监测结果调整后验概率。可见，只有使先验和后验概率持续迭代更新，才能保证贝叶斯控制图的正常运行。

2.2 贝叶斯迅速识别策略

为了提高监控偏差的效率和灵敏度，在原有贝叶斯控制图的基础上，根据累积和(CUmulative Sum，CUSUM)控制图和EWMA控制图的迅速识别策略，通过改善参数和制定规则，提出如下贝叶斯控制图迅速识别策略：

在ht时刻抽样后，根据式(24)和式(25)计算出π1(i),π2(i),然后设置控制限q(0

(1)若π1(i)+π2(i)≥q，则根据π1(i)和π2(i)的关系进行更新。若π1(i)>π2(i)，则检查第一类错误是否发生，根据结果更新π1(i)和π2(i)；若π1(i)<π2(i)，则检查第二类错误是否发生，根据结果更新π1(i)和π2(i)；若π1(i)=π2(i)，则同时检查第一类错误和第二类错误发生的概率，根据结果更新π1(i)和π2(i)。

(2)若π1(i)+π2(i)

2.3 仿真分析

最优标准差控制图绘制于CL=0.865σ，UCL=1.721σ的控制图上，最优控制图如图3所示。然后设定并仿真贝叶斯迅速识别初始控制图的初始控制限，以验证其识别效果。

(3)从图4和图5可见，当q=0.2时，控制图效率增值存在一个拐点，之后的效率增量逐渐降低，并逐渐趋于平稳。

(4)从图6可见，在偏移量递增的情况下，基于经济性分析的贝叶斯迅速识别控制图与传统贝叶斯及休哈特控制图的效率比率总体呈下降趋势；在偏移量0-1阶段，效率比率呈稳定趋势，偏移量1.0为一个节点，是经济性分析的贝叶斯迅速识别控制图最佳效率的体现。随着偏移量的继续增加，效率比率逐渐收敛。

2.4 经济性贝叶斯控制图与传统经济性控制图对比分析

控制图的经济性设计主要研究如何选择控制图参数，使控制过程中的各种成本费用的总和更小，而控制图参数选择主要是控制图选定样本容量n、抽样时间间隔λ、抽样区间h和控制限系数k等参数。生产过程受控时使用较大的TARL进行统计，失控时使用较小的TARL，以迅速地发现生产过程出现的偏移。以过程失控时的TARL作为性能评价指标，将本文构建的控制图模型与传统经济性控制图进行比较分析，运用仿真法对优化前后的贝叶斯控制图进行分析，主要步骤为:

3 结束语