重复使用运载火箭精确回收滑模动态面控制

2018-09-07钱默抒王海洋

宇航学报 2018年8期

钱默抒，熊克，王海洋

(1.南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，南京 210016； 2.南京工业大学电气工程与控制科学学院，南京 211816)

0 引言

自人类开展航天活动以来，低成本、高可靠、高效率的航天发射系统一直是航天界追求的目标。可重复使用运载火箭完成预定发射任务后, 全部或部分返回并安全着陆, 经过检修维护与燃料加注, 可再次执行发射任务, 通过多次使用分摊费用来降低运载火箭的生产与发射成本，因此各航天大国都将其作为未来发展重点[1-2].例如，当前最廉价的火箭“猎鹰9号”，它的造价约为5000万美元，而使用的推进剂价格仅为20万美元[3]。2016年4月8日, 猎鹰-9火箭一子级准确降落在面积仅为70 m×50 m的大西洋浮动回收平台上，状态如图1所示, 整个降落过程非常完美，证明了垂直起降重复使用模式的可行性，试验的成功点燃了学术界和工程界对火箭垂直回收问题的高度关注。然而SpaceX公司在此之前经历了4次失败的海上回收试验,失败的原因仅1次是因为机械故障，其余3次均是因为控制精度不够造成[4]。因此垂直返回段的姿态控制是重复使用运载火箭的关键技术[5]，需要对运载火箭本体的特性、飞行环境与扰动进行精确数学描述, 合理设计姿态与控制算法，最终由多台发动机推力矢量控制以及着陆缓冲机构等多种控制机构共同完成运载火箭精确软着陆与回收。

目前重复使用运载火箭多采用两级入轨部分重复使用的方式，即仅对火箭一子级进行回收使用。由于一级火箭返回飞行的空域跨度变化大、动压变化剧烈、气动参数偏差和干扰严重，各通道呈现严重的非线性耦合特性，这使得控制系统设计的难度较大，特别是当系统内部参数改变或发生严重外部扰动时，经典控制理论很难满足现代运载火箭特殊机动下的高性能控制需求[6]。因此，必须采用非线性系统设计方法进行火箭控制系统设计。非线性PID控制为飞行控制系统设计提供了一种简便、直观的方法，但其控制器设计在一定程度上基于经验和试凑[7]，尽管可保证系统在局部特征点附近具有很好的闭环控制性能，但并不一定满足全局范围内的稳定性、鲁棒性和性能等指标要求。动态逆控制虽然能够有效地对非线性对象进行线性化处理、实现通道间的解耦分析。但是，动态逆控制需要精确描述被控系统，所受的干扰也需精确建模，而这在运载火箭回收控制实际应用中十分困难[8]。以凸优化、联立法和伪谱法等方法实现在线动态轨迹优化，只是保证高精度的入轨及制导，并不能确保运载火箭姿态控制的准确性[9-11]。文献[1]给出了计算简单、易于实现的姿态控制律方法，但是该方法基于线性模型设计完成，不适用于强耦合强非线性的运载火箭的姿态控制，并且没有考虑不确定性和干扰的影响。

近年来，王子瑞等[12]用一种新型的动态积分滑模控制策略来处理运载火箭参数摄动和外部干扰情况下的姿态调节问题，效果良好，但由于垂直返回段不满足其文中的假设条件，所以无法直接应用。文献[13]对运载火箭助推器/一子级纵向通道的俯仰姿态控制进行了分析，并给出了详细的仿真结果，但是没有考虑不确定和干扰等对实际系统应用的影响。赵党军等[14]针对含有模型摄动及外部扰动的运载火箭姿态控制系统设计了一种基于微分代数方法的自抗扰控制方法，具有良好的自抗扰的性质和一定的容错控制能力，但是该算法是将非线性系统简化为线性模型后推导的。国外关于运载火箭的学术论文多是关于大推力入轨及在轨飞行阶段的控制及轨迹优化问题，而垂直返回段精确回收控制方面基本没有。如Lee等[15]提出采用结构奇异值结合动态逆的方法来设计运载火箭在高超声速巡航阶段的控制律以解决动力学参数不确定性的影响。该作者仅对在轨飞行阶段的控制进行了研究，并不能直接适用于垂直回收阶段的火箭特性。文献[16]利用最优化原理设计两级导引律，并且针对GPS丢失的情况设计了预测导引控制。但是没有研究姿态和速度的控制调节问题。耿克达等[17]提出基于反馈线性化和反演控制技术，将变质心控制引入的各类偏差与干扰作为不确定性因素，考虑气动参数的变化, 设计了再入飞行器过载和姿态角速度双回路自适应滑模控制器，保证了闭环系统的稳定性和鲁棒性，虽然作者研究对象不是运载火箭但其方法可以借鉴，同时本文还需解决反演控制算法中固有的“微分爆炸”问题。文献[18]、[19]和[20]分别用动态面控制、自适应反演和变结构滑模等方法研究了运载火箭的姿态控制问题，并且仿真效果良好，但是研究的运载火箭也都是在其发射、大推力入轨及在轨飞行阶段，没有详细分析垂直返回期间火箭一子级的气动特性和控制要求。

本文对再入进入垂直返回段的运载火箭的姿态精确跟踪控制问题进行研究。首先对进入垂直回收段的运载火箭进行动力学建模; 在此基础上，将运载火箭燃料消耗和油箱晃动引起的转动惯量变化带来的摄动部分等作为不确定项，并考虑未知干扰的影响，得到系统的仿射模型；利用自适应滑模观测器和动态面控制技术，设计了内外环自适应滑模动态面跟踪控制策略，完成回收段火箭姿态角的非线性精确跟踪控制，进而保证运载火箭精确垂直回收。

1 返回段动力学模型

运载火箭地面发射后，从调姿完成到火箭一子级垂直着陆于回收平台的返回段，如何保证垂直着陆时的精确姿态控制是实现安全回收的关键，也是本文所研究的主要问题，图2展示了运载火箭从发射到着陆全过程。运载火箭在垂直着陆前的最后调姿阶段，其动力学模型为如下非线性形式[19]：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：V为飞行速度；α,β,μ分别为攻角、侧滑角和倾斜角；L,Y,γ,g,m分别为气动升力、侧向力、航迹角、重力加速度和质量；Iij(i,j=x,y,z)为惯性力矩；d0=[d0x,d0y,d0z]T为外部干扰；三个方向控制力矩组成控制输入u=[ux,uy,uz]T。

对于动力学模型(1)～(6)，若取状态变量x1,x2，且x1=[α,β,μ]T,x2=[wx,wy,wz]T,则该模型可转换为：

(7)

由于运载火箭一子级在整个回收飞行过程中随着燃料消耗系统质心和转动惯量将发生显著变化，储箱内燃料还可能出现大幅晃动而对系统运动产生显著影响，但是在建模过程中并没有包括这类变质量所引起的不确定，所以可知火箭一子级着陆段模型(7)并不能精确描述所有模型参数变化。在前面非线性动力学模型(7)基础上还需考虑上述参数不确定性和干扰等影响，故实际系统模型为：

(8)

式中：Δf2和ΔB2为燃油消耗和油箱晃动导致质心和转动惯量变化引起的摄动项。

为进行闭环跟踪系统的研究，下面给出一些定义。

定义1. 对任意向量η∈Rn，有：

(9)

定义2.对任意向量ζ∈Rn，若ηi≤ζi,i=1,2,…,n，则简记为η≤ζ，其中ζ=[ζ1,ζ2,ζ3]T为未知实数向量。

为简化所研究的闭环跟踪系统控制问题，还需要给出一些假设条件。

假设1[3]. 运载火箭一子级垂直返回着陆段，这个过程中火箭可看作一个轴对称的刚体。

假设3[21]. Δf2(x2)+ΔB2u=Θυ，其中Θ是已知结构矩阵，υ为一未知列向量。

注1. 垂直起降重复使用运载火箭的回收子级分离后依次经历：惯性冲高段(在此过程中使用冷气RCS系统进行大幅度调姿，调头180°)、第一次动力减速段(火箭发动机点火)、高空无动力再入段、第二次动力减速段、低空无动力再入段(使用栅格舵进行姿态控制并减速)和着陆段等六个阶段。本文讨论火箭一子级回收过程垂直着陆前最后的调姿阶段。

下面给出本文的主要结论。

2 自适应滑模观测器设计

本文将针对垂直返回动力学模型的未知时变参数进行观测器设计。假设运载火箭一子级在回收段姿态角小范围变化，且非线性函数f2(x2)满足参数为τ1局部Lipschitz条件，即

(10)

针对含有不确定的动力学方程(10)设计一个自适应滑模观测器：

(11)

式中:Σ是一个事先确定的对角矩阵。

(12)

(13)

式中:Γ(0)>0。

(14)

基于所设计的自适应滑模观测器(11)，可得本文主要结论如下所述。

定理1. 对于含有变质量等不确定性的运载火箭一子级系统(8)，假定假设1～3都成立，所设计滑模观测器(11)和自适应估计律(13)，如果存在一个合适的正定矩阵Σ和正实数μ，使得下述不等式成立：

(15)

(16)

则可以保证动态误差系统(14)是渐近稳定的。

证.首先给定如下李雅普诺夫函数：

(17)

通过参考文献[17], 时变增益K(t)定义如下：

(18)

(19)

(20)

由式(13)可知,

(21)

(22)

(23)

注2. 与文献[6]提出的观测器设计方法相比较，前者需要不确定和干扰上界已知，而定理1中设计的自适应参数观测器不需要这个已知条件，因此非线性观测器(11)和自适应估计律(13)在实际应用中更具有优势。

注3. 需要指出的是在自适应观测器(11)中出现的辅助变量Γ有两个作用：1)帮助改善自适应参数的收敛速度；2)可以消除模型(8)中可能出现的高相对阶问题。

3 滑模动态面跟踪控制器设计

与传统的运载火箭相比，运载火箭一子级返回飞行的空域跨度变化大、动压变化剧烈和干扰严重，使得可回收火箭呈现出很强的非线性动态特性。所以传统的控制方法已经不适用于一子级的精确回收控制，必须要设计高性能鲁棒控制器。

本文基于反馈线性化原理和标准反演控制思想，分别设计了其姿态角和角速率双回路控制器。同时，为了更好地克服系统不确定性和干扰，在不确定性上界未知的情况下，采用改进的自适应动态面控制，并通过滑模方法对控制参数进行更新，保证闭环系统快速精确的姿态角跟踪控制，最终实现一种内外环滑模动态面控制系统设计方案。图3为控制系统结构框图。

根据运载火箭一子级精确回收要求，箭体需严格保持跟踪设定的回收姿态角，所以首先对内环角速率设计自适应滑模跟踪控制器。取x2d=[wxd,wyd,wzd]T为虚拟控制量。

定义姿态指令跟踪误差如下：

e1=x1d-x1

(24)

式中：x1d是理想姿态指令。

对姿态误差进行求导得：

选取如下虚拟控制律：

(25)

将虚拟控制量经过一个低通滤波器获得滤波器的输出量，然后对这个新得到的变量求导来代替直接对虚拟变量x2d求导，这种方法也称为动态面控制[22]。引入一个新的状态变量δ，且让x2d通过时间常数为τ2的一阶滤波器获得新的变量δ，它们的关系如下：

(26)

定义跟踪误差向量

e2=x2-δ

(27)

这也称之为第二误差面，对e2求导得

由上式可得实际控制律为

(28)

(29)

由于引入实际闭环系统的状态量δ与外环虚拟控制量x2d存在误差，所以需要对此误差进行分析，不妨将其设为φ，则有φ=δ-x2d。经过变换，

可得

(30)

(31)

式中：

(32)

(33)

下面给出本文的第二个主要结论并进行闭环系统的稳定性分析。

定理2. 假定火箭一子级系统满足假设1～3情况下，采用滑模参数估计律(13)和自适应动态面控制律(28)，则可保证火箭一子级闭环控制系统(8)对垂直回收姿态指令的跟踪误差是最终一致有界的。

证.首先选取一个李雅普诺夫函数

V=V2+V3

(34)

将式(29)和式(31)分别代入式(34)可得

(35)

易知不等式(36)成立:

同理不等式(37)成立

(37)

其中,不等式(36)、(37)包含的Ξ1, Ξ2均为正常数，所以式(35)可简化为

(38)

其中Π=Λ+Ξ1+Ξ2。

当k1,k2和τ2取值满足下列不等式条件时

(39)

重复使用运载火箭一子级闭环跟踪控制系统(8)对垂直回收精确姿态控制指令x1d的跟踪误差最终一致有界，且可收敛于任意小的一个区域内，定理2证毕。

由此可知，重复使用运载火箭垂直回收姿态调整阶段，可以利用定理2提出的控制律实现精确垂直着陆回收的控制目标。

4 仿真分析

本节以文献[19]中重复使用运载器为例，校验所提滑模动态面控制方案的有效性。运载器转动惯量J0=[554486 0 -23002; 0 1136949 0;-230020 1376852](kg·m2)。为校验所设计控制方法鲁棒性能，假定外部干扰向量为d0=1000[sin(0.2t) sin(0.1t) cos(0.1t)]T。这里假定仿真时间为再入返回后的调姿垂直着陆阶段，从姿态调整开始到姿态调整完毕进入垂直着陆阶段的60 s[30]。将回收姿态指令设为x1d=[0,0,0]T(°)，初始姿态x1(0)=[1.5,0.5,-1]T(°)，取τ1=1,τ2=0.4,γ1=2,k1=0.7,k2=1.3,μ=3，矩阵Σ=diag(2,2,3)。

为验证所提出方法的优越性，这里以燃料消耗影响引起转动惯量不确定项变化范围在±6%J0内为例,采用反演控制方法[3]和本文的考虑了变质量引起的不确定性因素的滑模动态面控制(SMDSC)方法相对比，将两种情况下的跟踪控制仿真结果进行比较(见图4～11)，研究在重复使用运载火箭垂直着陆阶段哪种方法更适合姿态跟踪控制要求，图7～11中小图中的虚线表示姿态指令。由图4～6可知，标准反演控制下的姿态角与指令之间存在偏差，如倾斜角μ和攻角α明显偏离μd和αd，而由图7～9可知，滑模动态面跟踪控制方法误差在6 s之内收敛到零的小邻域内，能快速准确稳定跟踪控制指令。所提方法和标准反演控制方法的控制输入仿真曲线结果见图10～11。因此，所提滑模动态面控制策略更适用于运载火箭一子级垂直回收阶段的控制，同时该方法可以保证达到精确垂直回收的姿态控制要求[4]。