让学习真实地发生——由培养学生代数思维说起

安徽合肥市翡翠学校（230000）

在数学中，算术思维和代数思维是两个重要的思维体系。简单地说，算术思维是指向问题结果的思维方式，它关注的是通过怎样的计算能得到问题的结果。代数思维是指向过程和结构的思维方式，它关注的是题目中的未知结果与其他已知信息之间存在怎样的关系，以及如何把这种关系（用等式）表征出来。也就是说，算术思维是找出已知量来求出未知量，代数思维是把未知量放在数量关系中参与运算，而不是当成一个结果来呈现。数学教学的难点是如何使学生由算术思维转向代数思维。为此，笔者做了一些尝试，现以案例的形式进行呈现。

一、代数思维的间接培养

在教学“三角形、梯形面积”时，笔者发现了这样的一个现象：很多学生在计算三角形、梯形面积时总是忘记除以2。通过与学生交流发现，他们并不是不知道三角形、梯形面积公式，而且还清楚地知道这些公式是如何推导出来的，只是写的时候容易忘记。为此，笔者将问题抛给学生，具体教学片断如下。

师：同学们，近来老师发现有部分同学在计算三角形、梯形面积时老是忘记除以2，为什么呢？

生1：因为记不得公式了。

师：请记得三角形、梯形面积公式的同学举手。

（所有学生都举了手）

师：这可奇怪了，都记得公式啊！那到底是什么原因呢？

生2：太粗心。

师：有些同学就从来没有错过，谁能给我们分享一下经验？

生3：我在做题之前会在头脑里先把公式想一遍，这样就不容易出错了。

师：在做之前先想一想，好方法！

生4：我以前也总是忘记除以2，后来妈妈提醒我先在草稿纸上把公式写出来，这样就不会忘记了。

师：先把公式写在草稿纸上，不麻烦吗？

生5：答题时可以先写公式，再写算式。

师：是的，我们不用写在草稿纸上，做题时直接写在答题纸上就好。

（教师介绍规范的写法）

师（小结）：同学们，随着学习的深入，我们接触的公式会越来越多，有些公式还非常相似。为了在解决问题的过程中防止混淆，我们一般先把公式写出来，然后再带入数据，这样就可以减少失误。

教材中多用字母来表示公式，这不仅可以让学生用最简单的方式记住公式，还可以培养学生的代数思维。因此，教师要抓住这个契机，在计算图形面积时引导学生先写公式，后带入数据，这样既减少了错误率，又在无形中培养了学生的代数思维。

二、代数思维的直接培养

培养代数思维最直接的单元是“简易方程”，教材明确提出本单元的难点是算术思维到代数思维的转换，很多学生都不习惯用代数思维来解题。如下图题：

在教学用方程解决问题时，学生已经知道列方程之前要先形成数量关系式。通常一个问题能列出三个数量关系式，以上题为例，关系式分别是：“小明体重-小红体重=2千克”“小红体重+2千克=小明体重”“小明体重-2千克=小红体重”。如果选择第三个数量关系式，列出的方程就正好对应解上题。然而，代数思维是把未知量放在数量关系中参与运算，而不是当成一个结果来呈现。那么如何让学生理解“把未知量放在数量关系中参与运算”呢？笔者进行了如下教学尝试。

（教师先板书：x-38.5=2，x+2=38.5，38.5-2=x）

师（手指着38.5-2=x）：这个方程对吗？

（大部分学生说不对，少部分学生说对）

师：这样吧，我们来一场辩论赛。请大家先在小组内自主交流。

（学生自主交流，教师组织反馈）

生1：这样列方程不对。未知数不能在等号的右边，而应该在等号的左边。

生2：如果变成“x=38.5-2”呢？可见这和未知数在等号左边还是右边根本没有关系。

生3：等号的左边应该是一个算式，且算式中应包含有未知数。

（学生陷入思考）

师：看来，现在大家纠结的问题是未知数的位置应该放在哪里。大家觉得未知数应该放在算式中，还是当成一个结果来呈现呢？

（绝大多数学生认为放在算式中呈现较合适。教师抓住这一机会，继续引导）

师：为什么要放在算式中呢？

生4：如果未知数以结果的形式呈现，就没有必要列方程了。

师：再看看，为什么有的同学会把方程列成“38.5-2=x”呢？

（学生再度陷入思考，自发讨论起来）

生5：是因为数量关系导致的，“38.5-2=x”这个方程的数量关系表示的是“小明体重-2千克=小红体重”。

师：这道题能列出几个数量关系呢？

生6：三个，即“小明体重-小红体重=2千克”“小红体重+2千克=小明体重”“小明体重-2千克=小红体重”，不同的数量关系能列出不同的方程。

师：回顾一下我们的讨论过程，大家有什么收获？

生7：列方程前要建立数量关系，可有的时候数量关系很多，不同的数量关系可以列出不同的方程。

师（小结）：是的，要选择合适的数量关系来列方程，未知数不能以结果的方式来呈现，不然列方程就没有意义了。

以上教学过程中，笔者首先允许问题出现，引发学生关注；然后引导学生进行充分讨论、交流；最后明确：在解决此类问题时一定要厘清数量关系，再根据数量关系来列方程。整个教学过程以问题为导向，让学生一步步、慢慢地转变自己的思维方式，教学效果明显。

可以看出，在以上两个教学片段中，笔者并没有做过多的设计，只是引导学生进行交流，在交流中自然而然地解决问题，逐渐形成代数思维。佐藤学说过：学习是由三种对话实践——同客观世界的对话、同伙伴的对话、同自己的对话构成的。“对话”也可以理解成交流，交流是获得知识的根本途径。在课堂中我们只要创设开放的环境，研究一些真实的问题，引导学生与文本、伙伴、自身进行交流，就能使学习真实地发生。