基于“一题多解”，有效落实数学关键能力——以“鸡兔同笼”问题为例

江苏连云港市苍梧小学（222006）

近年来，数学核心素养成为国内外数学教育改革的一条主线，引领与推动着数学教育的改革：美国、新加坡、德国、日本等国家的课程文件中均提出了数学核心素养（或能力）的要求；国内史宁中、宋乃庆、喻平、徐斌艳、马云鹏、李星云、曹培英等一批学者阐释了数学核心素养的内涵、构成及培养等。当下，数学核心素养中关键能力的落实是中小学数学教学实践中的一个重点与难点问题。下面以“鸡兔同笼”为例，从“一题多解”的微观角度探析小学数学关键能力的落实。

一、小学数学关键能力的构成

考虑到小学数学的现实性、经验性与活动性等特点，以及小学生的学习心理特征，小学数学关键能力应包括从数学角度提出问题、数学表征与变换、数学推理与论证、数学地解决问题、数学交流五个方面。

从数学角度提出问题：基于某情境、问题或在问题解决过程会产生自己新的数学问题，并用数学语言表述这些生成的、创造的、独立的新数学问题。

数学表征与变换：用某种形式（如符号、图形(表)、情景、操作性模型、文字等）表达要学习的或处理的数学概念或关系，以便最终解决问题。为了能够简化或成功解决问题，会使用改变信息形态的某种数学转化策略。

数学推理与论证：通过对数学对象(数学概念、关系、性质、规则、命题等)进行逻辑性思考(观察、实验、归纳、类比、演绎)，从而得出推论，再进一步寻求证据、给出证明或举出反例，说明所推论的合理性的综合能力。

数学地解决问题：采用各种恰当的数学知识、方法与策略，解决在数学或其他情境中出现的问题，能检验与反思数学问题解决的过程。

数学交流：能以阅读、倾听等方式识别、理解、领会数学思想和数学事实，并能以写作、讲解等方式解释自己的解决方法、过程和结果，针对他人的数学思想和数学事实做出分析和评价。

二、列表—枚举法的分析运算过程所蕴含的数学关键能力

“鸡兔同笼”问题是我国古代的著名数学趣题。早在1500年前，《孙子算经》中就记载了“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”此题不仅有趣，有历史文化背景，还有从算术到代数的多种解法，是中小学数学中“一题多解”的经典样题。一般来说，“鸡兔同笼”主要有列表—枚举法、算术—假设法、代数—方程法三类常见解法。根据小学生的数学学习水平，教师在教学中常将数量简化，具体以苏教版教材（2014年版）六年级下册第三单元“解决问题的策略”中的练一练“鸡和兔一共有8只，它们的腿有22条。鸡和兔各有多少只？”为例。

“鸡兔同笼”问题的列表—枚举法解题过程一般如下：按鸡的只数从少到多逐一枚举（如表1所示）。

表1 列表—枚举法

由表可知，有鸡5只，有兔3只。

解答此题还可以按兔的只数进行列表、枚举等。

对学生来说，列表—枚举法在分析、运算、表征的过程中蕴含了上述五种数学关键能力的成分，具体如表2所示。

表2 列表—枚举法的解题过程所蕴含的数学关键能力

列表—枚举法的解题过程显得有些繁，其实不然，虽然表面看来仅是简单的列举、计算，但对学生来说，后继的数学学习中常常会用到此法，且由表2也可看出其中蕴含了多种数学关键能力的培养。

三、算术—假设法的假设推理过程所蕴含的数学关键能力

“鸡兔同笼”的算术—假设法蕴含了典型的数学假设推理过程，其常见解法：假设都是鸡，8×2=16（条）腿，还多出来22-16=6（条）腿，这6条腿是兔的，每只兔比鸡多两条腿，6×2=3（只），所以兔有3只，鸡有5只。

解答时还可以假设都是兔，假设鸡与兔只数一样，假设鸡与兔都“站”起来，等等。对学生来说，用算术—假设法解题不仅简洁有趣，还能经历数学的假设、运算、推理的过程，其蕴含的数学关键能力成分主要如表3所示。

表3 算术—假设法的解题过程所蕴含的数学关键能力

由算术—假设法的假设推理过程，以及表3中对其所蕴含的数学关键能力的分析可知，算术—假设法构思巧妙，具有典型的数学关键能力的成分，且与列表—枚举法相比，体现了不同的数学关键能力培养价值。

四、代数—方程法的数学抽象过程所蕴含的数学关键能力

“鸡兔同笼”的代数—方程法蕴含着典型的数学抽象过程，其一般解法：设有鸡x只，那么有兔（8-x）只，根据鸡兔共有22条腿，列方程得2x+4（8-x）=22，解方程得x=5，兔有8-5=3（只）。

解答此题还可以设兔为x只，利用二元一次方程组来解。对学生来说，利用代数—方程法解题是通过设未知数得到抽象的代数方程，这是解决此类问题的一种通法，其蕴含的数学关键能力成分主要如表4所示。

表4 代数—方程法的解题过程所蕴含的数学关键能力

从内容的角度来说，代数—方程法用代数的方法解决了“鸡兔同笼”的问题，在数学关键能力的成分与培养价值上具有典型性和独特性。

五、“鸡兔同笼”的解法反思过程所蕴含的数学关键能力

解题后的反思是数学学习的一项重要内容，其反思过程蕴含着诸多数学关键能力的成分。如教师引导学生综合反思“鸡兔同笼”的列表—枚举法、算术—假设法、代数—方程法的解法特征：列表—枚举法具有尝试、有序、常规等特征；算术—假设法具有精巧、有趣、简洁等特征；代数—方程法具有简洁、普遍、机械等特征。反思的这一过程也蕴含着一些数学关键能力的成分，具体如表5所示。

表5 解法反思所蕴含的数学关键能力

如此对“鸡兔同笼”问题的解法进行反思的过程，能让学生以旁观者的身份提升解题能力，同时也创设了学生数学关键能力培养的机会与内容载体，体现了面向数学核心素养的教学。

培养学生的数学关键能力是数学教学的根本任务之一，也是数学教学的一个目标指向。解题作为数学教学的一项重要内容，需要教师重新进行理性思考、构建与设计，从而促进学生数学关键能力的培养。