有效发展学生的几何直观能力的教学浅悟

江苏南京师范大学苏州实验学校（215131）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》里的十大核心词中，“几何直观”是个新词，在一线教师中引起的困惑特别多。有的教师从字面上理解，认为“几何直观”是专属于“图形与几何”领域的关键词，这是不恰当的。我们来看数学课程标准中关于“几何直观”的描述：主要是指利用图形描述和分析问题；借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果；几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。可见，几何直观不仅体现在“图形与几何”的学习中，更是渗透在整个数学学习的过程中，而且对于学生来说，几何直观更利于简明、直观地呈现复杂的数学问题，是分析问题和解决问题的重要方法之一。在小学数学课堂教学中，有效发展学生的几何直观能力需要多方面的协同配合，要重视教材中图形表象和图形特征的教学；要有意识地培养学生通过构造图形来表征问题；要结合不同领域的数学实例，让学生逐步学习和掌握“画数学”和“数形结合”的基本技能，增强学生运用几何直观的意识和能力。

一、重视图形表象教学，坚实几何直观的思维基础

几何直观的功能是多方面的。一方面，借助几何直观，能够促进学生在观察的基础上进行分析，更直接地发现方法或思路，从而形成结论，这是几何直观的发现功能；另一方面，借助几何直观，抽象的数学概念和数学规律可以找到“依托”，并变得形象生动，有利于学生把握知识的本质，这是理解功能。各版本的小学数学教材都十分重视几何直观的这些功能，注重运用图形表象进行数学问题的表述和分析，注重直观示意图与数学语言之间的合理转换。以北师大版教材（2011年版）为例，它就有很多借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，帮助学生对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）进行直接感知的教学内容。总体来看又可分为三种情况。

（1）实物操作类几何直观。如：小棒、计数器、小方块等（如图1）。

图1

（2）简约符号类几何直观。如：点阵图、几何图、数轴等（如图2）。

图2

（3）图形图表类几何直观。如：图示、表格、示意图等（如图3）。

图3

教材借助这些“看得见的东西来帮忙”，充分发挥实物图、小棒图、计数器、点子图、方格图、示意图、集合图、数轴、图表等的直观作用，帮助学生学习抽象的数学知识。教师应充分利用教材提供的这些素材，重视几何直观的教学。例如，在乘法计算的教学中，北师大版教材较多地引入“点子图”，帮助学生理解算理、建构算法：三年级上册“蚂蚁做操”一课首次借助点子图探究两位数乘一位数（12×4，如图4）的计算方法，学生在拆数的过程中将新的问题转化为已有知识（表内乘法或口算乘法）来解答，学生因分法不同产生了不同的计算方法，这既是鼓励学生算法多样化的一个有价值的模型，又是后面简便计算的一个初始蕴伏（第一种方法拆数后运用了乘法结合律，第三种方法运用了乘法分配律）。

图4

教材进而将点子图与乘法竖式联系起来（如图5），这就为学生理解乘法的意义提供了非常重要的直观形象的支撑。

图5

当然，学生不容易想到用拆数的方法来圈点子图，教材为此在二年级下册的相关内容教学中就做了必要的铺垫（如图6），如果教师在前面的教学中就对这一部分内容有足够的重视，这里学生的想法就会水到渠成了。虽然指导学生用圈点子图来解释“乘”的理由和结果，会在一定程度上挤占学生的解题时间，但不应该被认为是多此一举的事情，教师需要借助这种有形的方式让抽象的计算有所依托。当然形可以是有形可视的，也可以是无形想象的，教学到了一定的阶段，学生确实就可以凭着想象，在脑子中画出图来，不再需要手上具体的动作，手上即使有动作，也不过是无意义的比画，配合头脑的想象而已，而这正是长期训练给学生留下的数学感。有了这样的数学感，学生才会进一步运用多种图形和符号直观地理解知识、分析问题、解决问题，并进行数学思考。

图6

二、构造图形表征问题，提升几何直观的活动经验

在解决一些稍复杂的数学问题或认识一些新的数学概念时，总会有一些抽象的、信息量庞杂的、与学生的理解能力有一定距离的内容，这个时候教师要进行示范，通过构造图形来表征问题、寻求解法，并适时、适度地给学生提供参与这类解题活动的机会，以求逐渐增强学生运用几何直观的意识和能力，以及相应的数学活动经验。那么作为教材图形表象内容的补充和延伸，我们还可以尝试多元表征、组合表征、以图求解等。

1.多元表征优于单一呈现

教学“一位小数比较大小”时，传统的教学方式是利用实际生活中的物品价格创设情境：教师出示一根橡皮筋（0.1元）和一块橡皮擦（0.5元），学生通过日常生活体验比大小得出0.1元（1角）小于0.5元（5角），随即抽象出0.1＜0.5。这种教学是通过口耳相授，即言语化的表征。此时，如果能给出线段图，就能在巩固小数意义的同时也比较了小数的大小（如图7）。当然，这还不够，出示等分圆（如图8），利用阴影部分既可以直观形象地比较小数大小，又可以将分数与小数的意义再一次紧密相连，进一步强化小数与分数的转化关系，使知识之间建立实质性的联系，便于今后通过当前的知识和问题信息得出新的知识或信息。可见，图形的展示对知识形成了一种视觉化的表征，结合本身的言语化表征的教学，能促进学生形成新的认知图式的进程，从而提高课堂效率。

图7

图8

2.组合表征胜于离散表达

几何直观在数学学习中起着关联、理解，甚至提供方法的作用。在数学的海洋中，知识间的关联性给数学学习搭建了可以攀爬的阶梯，教师要注重沟通这种联系，通过图形的直观性质来阐明这种联系，形成知识体系，促进学生思维。“图形直观—数形结合—组合呈现”无疑是表达复杂内容的较好方式，学生借助几何直观的形象支撑把知识融会贯通了，也就达到了孔子所说的“举一隅能以三隅反”，这是任何一种离散表征所不能达到的效果。

例如，北师大版教材（2011年版）六年级下册“圆柱和圆锥”这一单元是小学阶段立体几何的最后一部分内容，也是学生今后学习立体几何的重要基础。教材安排学生集中认识圆柱和圆锥，这样有利于学生更好地对比圆柱与圆锥的特征。教学新课之后，我做了组合表征（如图9），通过“提取类比物—建立猜想—观察比较—发现验证”，在对比中沟通联系，在联系中深化认识，在认识后强化记忆，不仅缩短了知识间的距离，还能减少了记忆容量。虽然，部分内容学生暂不能计算出图9中的所有结果，但不妨碍学生对它的讨论和猜想，这是几何直观带给学生的学习乐趣和无限可能。

3.以图求解利于激发兴趣

图9

直观是抽象思维问题的信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象可以反复地给抽象思维带来可观察、可操作、可变通等技巧。凭借几何直观，以图求解实现了代数问题与图形之间的互相转化，不仅使解题过程简洁明了，还能为研究和探究数学问题提供兴奋点。

例如，在教学“角的测量”后，教师如果给出特定的角或要求学生自己画个角进行测量，学生一定兴味索然。我在教学中创设了“哪个位置更容易进球？”的问题情境，借助几何直观激发了学生探究的欲望。（如图10）

图10

师：足球比赛中，A点、B点、C点都是球门前的位置，你认为哪个位置更容易进球？

生1：A点更容易进球。

师：你确定吗？（学生沉默）

师：那B点和C点呢？

生2：B点。

生3：C点。

师：看，没有找到证据就会产生争议。在数学中，我们不能仅凭直觉，得用一些数据来说明。你能用数学的知识来解释你的答案吗？

（有的学生在摇头，有的学生在沉思……我默不作声，拿出尺子以B点为顶点描出了一个三角形，再连接A点与球门的左边顶点，并作出了角的标记，如图11所示）

图11

生4（眼前一亮）：是不是与角度有关？

师（微笑着点头）：动手画一画、量一量，用数据来说明A点、B点、C点哪个位置更容易进球。

……

可以想象，接下来的数学活动是多么有趣，画角、量角不再生硬，还让学生解开了最感兴趣的足球比赛中的“心结”。

三、结合不同领域实例，凸显几何直观的特殊作用

几何直观需要渗透在数学学习的各个领域，“图形与几何”领域自然是不用说的，事实上，教材在“数与代数”“统计与概率”“实践与综合”领域所渗透的几何直观内容也是非常多的。教师应结合多领域的数学实例，不断凸显几何直观的特殊作用。

1.代数直观

问题的解决离不开大量的信息，文字信息通常以静态方式呈现，而几何直观可以化静为动，使文字具有动感，变得鲜活。在解决数量关系稍复杂的问题时，用画图的方式呈现相关信息更利于梳理数量关系，便于解题。其中，线段图无疑就是最好的“帮手”。以北师大版教材（2011年版）为例，可以看到教材从一年级的加减法到六年级的百分数解决问题，线段图在很多“数与代数”领域中都起到了不容忽视的作用。当所有信息汇集在线段图上时，几何直观就开启了学生探索的大门，多元信息在这里碰撞、组合、沉淀。当学生感受到线段图能容纳题中所有信息时，原题以文字呈现的内容已是多余，此时教师可去掉题目的文字信息，这样图表直观功能立刻得到凸显。

例如，“乘坐出租车”的问题：“某地出租车定价是4公里以内（含4公里）起步价10元，4公里到15公里之间每公里收费1.2元，15公里以上的路程每公里要提价50%，不足1公里的按1公里计算。王老师去该地出差，从长途汽车站下车后，他用‘滴滴打车’叫了一辆出租车，‘滴滴打车’显示总路程为18.5公里。请问，王老师要准备多少车费？”问题中的信息量很大，对于学生来说，要整体把握信息，并有效提取和运用信息不是一件简单的事。教师可引导学生将纷繁的信息梳理成图文结合的线段图（如图12），摒弃大量的文字，学生的思路瞬间明晰。有了这样的图示，就可将原题隐去，“柳暗花明又一村”的感觉就能让学生感受到几何直观的强大力量。

图12

2.统计直观

“统计与概率”所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。这一部分知识是最接近数学本质的。因为生活中与数学相关的大部分知识是无法用具体的表达式来刻画的，而统计学恰恰制定了较为合理的策略（这其中最重要的策略就是几何直观），解决了难以用简洁的语言来刻画数学模型的问题。以北师大版教材（2011年版）为例，选部分内容来看“统计与概率”知识在小学阶段的发展过程（如图13）。

图13

可以看出，教材是按照由简单到复杂、由具体到抽象的顺序安排上述内容的。二年级限于用有特定代表意义的图形“一一对应”表达简单数据；三年级开始用一个符号（正字）来表示相应数据，符号表示使统计的记录和计量更加便捷；到了四年级，随着数据的扩大，“一一对应”的表达方式不再适用，于是开始用一个符号表示一些数据（如一个鸡蛋图形代表100个鸡蛋的数量），并最终抽象成条形统计图“1格表示100个单位”；五年级多组数据综合表征的复式条形统计图和复式折线统计图能够更轻松直观地呈现大量信息；六年级的扇形统计图已经是高度抽象的数量分配示意图的载体。

沿着教材的路径，教师在教学中要极力突出图形在描述事物和分析问题中的演变过程，抓住点、线、面等几何直观在表达数据时逐步发展、渐渐丰满的数学魅力。首先要学会画图，画出信息；其次要学会读图，读出关系；最后要学会想图，想出知识。统计的启蒙活动必须借助数学中的各类形体，充分使用学生原有的、处在生活经验状态的几何认知，使得学生能够熟练地描述与表征统计的对象和数量。这些探索的活动需要安排在不同的学习层次中，让学生透过几何直观的逐渐演变，从简单到复杂、从单一到多元，发现统计的多种表征方式，从而促进“统计与概率”思维的发展。

3.综合直观

“综合与实践”领域沟通了生活中的数学与课堂上的数学的联系，使得几何、代数和统计与概率的内容交织在一起出现，使发展学生的综合应用知识的能力得以实现。“综合与实践”对于改变学生的学习方式，让学生在学习过程中接触到一些有研究和探究价值的题材和方法，使学生全面认识数学、了解数学，是数学在学生未来的职业和生活中发挥作用等方面具有重要意义。以北师大版教材（2011年版）为例，选取二年级至六年级“综合实践”（数学好玩）部分内容（如图14）来看在“综合与实践”领域中教材是如何运用几何直观的。

图14

不难看出，二年级是图形的直接表达；三年级清晰呈现对象的关系；四年级有了数形结合；五、六年级是图形和图表的综合表达。教学中，在实物直观（即实物层面的几何直观）阶段，教师要引导学生借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物（如：长方形彩旗、三角形彩旗），并以此作为参照物，进行形象的思考，获得针对研究对象的初步判断。与其同时，还要激发学生经历图形抽象的过程，能根据物体特征抽象出几何图形（如：用√表示红花，×表示黄花；用三角形表示上衣，正方形表示裤子）。接下来，学生需要学会“依据语言的描述画出图形关系”（如：一条连线表示一种搭配方案）。借助这些几何直观，就能帮助学生对复杂关系进行一定程度的抽象而形成半符号化的直观（如：数形结合、图表等），并且在分析图形的基本要素之间的相关关系中解决综合实践问题。只有拥有丰富的几何直观活动经验并且善于反思的人，他的综合实践能力才有可能达到更高的水平。

总而言之，几何直观是一种重要的思维策略，掌握几何直观的基本步骤，有助于思维结构的平衡和优化，能有效提升直观把握数学本质和解决问题的思维效能。正如美国数学家斯蒂恩所言：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”在实际教学中，怎样渗透好几何直观、怎样运用好几何直观、怎样发展好几何直观，我们要探索的还很多。