搭建“脚手架”，指明思考路——以一道求组合图形面积的题目为例

江苏邳州市运平路小学（221300）

【问题提出】

对于六年级期末试卷上的一道题，学生都感觉无从下手，认为题目给予的数学信息太少，甚至开始怀疑是不是这道题目出错了。

题目：图1是由边长分别是5cm、4cm的两个正方形所组成，求阴影部分的面积。

图1

【本质探求】

这是一道求组合图形面积的题目，首先要求学生掌握计算长方形、正方形、三角形、平行四边形和梯形等图形面积的方法，并能合理运用组合图形面积的计算方法：分割法，根据图形的特征和已知条件把一个组合图形分割成几个简单的规则图形，然后分别计算出每个规则图形的面积，最后把这些面积的数据相加在一起；割补法，把这个组合图形的某些部分分割下来补充到另一部分上，让它变成一个能够计算面积的几何图形，然后再进行计算；挖空法，把这个组合图形先看成一个完整的规则图形，计算这个规则图形的面积后，再减去周围空缺部分的面积；折叠法，把这个组合图形折成几个完全相同的图形，先计算出一个图形的面积，有几个这样的图形就乘几。

总之，求组合图形面积的问题就是引导学生想办法将无法用公式直接计算的图形面积转变成可以计算面积的图形，从中渗透转化的数学思想方法和培养学生的空间想象能力。

【教学建议】

对于五六年级的学生来说，这道题目给予的信息较少，要求将这个阴影部分的图形转变成与两个正方形有关的图形，是学生解决这道题目最为棘手的地方。因此，教师在教学时不妨为学生搭建“脚手架”，让他们顺着“脚手架”去思考，这样既省时又为他们指明了思考的方向。

1.回忆常见平面图形的面积计算公式

生1：长方形面积等于长乘宽，正方形面积等于边长乘边长，平行四边形面积等于底乘高，三角形面积等于底乘高除以2，梯形面积等于上底加下底的和乘高除以2。

师：还记得我们已经学过的平面图形的面积计算公式吗？

2.研究组合图形的面积计算方法

师：我们用过哪些方法来计算组合图形的面积？生2：把不规则的图形分割成认识的平面图形，然后再把这些平面图形的面积加起来。

生3：我会想办法把不规则图形拼补成规则的图形来计算。

生4：我会把不规则图形先补成规则图形，用大面积减去小面积来计算。

师：大家总结得真好。我们来看一道题目：图1是由边长分别是5cm、4cm的两个正方形组成，求阴影部分的面积。请大家先独立思考，看看可以怎样转化。

学生汇报交流解题方法：

方法一：用大面积减去小面积的方法。先计算出两个正方形的面积之和5×5+4×4=41（平方厘米），再分别计算出不是阴影的三个小三角形的面积分别是（4+5）×5÷2=22.5（平方厘米）、（5-4）×5÷2=2.5（平方厘米）、4×4÷2=8（平方厘米），那么阴影部分的面积就是41-22.5-2.5-8=8（平方厘米）。

方法二：通过计算发现了阴影部分的面积等于小正方形面积的一半。如图2，因为梯形BCDG的面积=梯形BCDH的面积+三角形BGH的面积=（4+5）×5÷2=22.5（平方厘米），三角形BCE的面积=梯形BCDH的面积+三角形DEH的面积=5×（4+5）÷2=22.5（平方厘米），所以三角形BGH的面积=三角形DEH的面积。阴影部分BEG的面积=三角形BGH的面积+三角形EGH的面积=三角形DEH的面积+三角形EGH的面积=三角形GDE的面积=4×4÷2=8（平方厘米）。因此这个阴影部分的面积是8平方厘米。

方法三：如图2，把这个阴影部分转变成另一个方便计算的三角形GDE。因为三角形BGD的面积=4×5÷2=10（平方厘米）=三角形BGH的面积+三角形BHD的面积，又因为三角形BDE的面积=4×5÷2=10（平方厘米）=三角形HDE的面积+三角形BHD的面积，所以三角形HDE的面积=三角形BGH的面积。要计算的阴影部分面积是三角形BGH的面积+三角形EGH的面积=三角形HDE的面积+三角形EGH的面积=三角形GDE的面积。因为正方形的边长是4厘米，所以三角形GDE的面积是4×4÷2=8（平方厘米）。

图2

3.举一反三，利用组合图形面积求边长

为了促进学生能够熟练掌握组合图形面积的计算方法，我又提供了一道相似的题目，引导学生找出正确的解题思路。题目：如图3，每个小方格的长度为1厘米，两个正方形的边长分别是5厘米和3厘米，求线段DH的长度。

首先让学生在练习本上独立解答，接着再进行全班的交流和反馈。

为了交流的方便，很多学生给每个交点都标上了字母。

学生一：用设未知数解方程的方法来解决。设线段DH的长度为x厘米，因为三角形ADG的面积=三角形ADH的面积+三角形HDG的面积=5x÷2+3x÷2=4x，又因为三角形ADG的面积=3×5÷2=7.5（平方厘米），所以4x=7.5，计算出x=1.875，所以线段DH的长度是1.875厘米。

学生二：利用等底同高的两个三角形的面积进行转化来计算线段DH的长度。因为三角形ADG的面积是3×5÷2=7.5（平方厘米），又因为三角形HCG与三角形ADG是等底同高的三角形，所以它们的面积相等，因此线段HD=7.5×2÷（3+5）==1.875（厘米）。

图3

【教学反思】

在教学的过程中，教师没有过多的言语，都是让学生独立思考与相互交流，学生在思维的碰撞中找到问题的“脚手架”和突破口，这样的学习过程体现了以学生为主的新课程理念，真正让课堂成为学生学习和思考的主阵地。教师不但发挥着组织者、引领者和设计者的职责，并且在学生困惑之处及时给予适当的点拨和启迪，让学生能够朝着正确的方向不断深入思考，寻找到更多的方法。同时，在这个过程中，教师渗透了转化的数学思想方法，培养了学生的数学逻辑能力和数学思考能力。

当然，当学生具备了一定的解题经验后，教师又趁热打铁为学生提供了一个借助组合图形来计算线段长度的题目，不仅为了培养学生举一反三的能力，更是要求学生对于同一道题目能够进行“一题多解”，拓宽数学思维。

总之，教师在课堂上要放手让学生去探究和思考问题，在学生有困难的地方为他们引领指路，帮助他们及时释疑，只有这样才能在课堂上促使学生获得扎实的基础知识和基本技能的同时，又能获得基本活动经验和数学思想方法。