浅谈高中立体几何证明的方法

栾心昊

[摘 要]研究立体几何的证明方法，能提高学生的解题能力.

[关键词]立体几何； 证明方法；高中数学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0037-02

高中立体几何的知识点散而多.从平面几何到立体几何，线线关系、线面关系、面面关系；平面几何上的平行、垂直到立体几何上的线面相交（线面垂直）、线面平行、面面相交（面面垂直）、面面平行.三角函数在立体几何中的重要应用以及各种定理，再到空间向量在立体几何中的重要应用.这些知识有规律的无规律的相互交织在一起，让我们捉襟见肘.虽然知识点很多，但是仔细想来并不是毫无章法可言.

一、从题目的已知条件入手，通过层层推理，逐一论证，得出结论

【例1】如图1，已知直棱柱[ABC-A1B1C1]中，[∠ACB=90°]，[∠BAC=30°]，[BC=1]，[AA1=6]，[M]是[CC1] 的中点.求证：[AB1⊥A1M].

证明：[∠ACB=90°][?B1C1⊥A1C1]，又三棱柱[ABC-A1B1C1]是直三棱柱，所以[B1C1⊥]面[A1C]，聯结[A1C]，则[AC1]是[AB1]在面[A1C]上的射影，在四边形[AA1C1C]中，[AA1A1C1=A1C1C1M=2]，且[∠AA1C1=∠A1C1M=π2].

[ ∴△AA1C1∽△A1C1M，∴∠AC1A1+∠MA1C1=90°，][ ∴AC1⊥A1M][，∴AB1⊥A1M].

二、增添辅助线

辅助线常用的有：中点连线，过某一特定的点作对边的垂线，过某点作该边的延长线或反向延长线，过特定的点作一边的平行线，等等.这些辅助线有三种作用：一是构建桥梁；二是简化图形；三是隐藏条件明朗化.

【例2】 如图2，在矩形[ABCD]中，[AB=33]，[BC=3]，沿对角线[BD]将[△BCD]折起，使点[C]移到[P] 点，且[P]在平面[ABD]上的射影[O]恰好在[AB]上.

（1）求证：[PB⊥]面[PAD]；

（2）求点[A]到平面[PBD]的距离；

（3）求直线[AB]与平面[PBD]所成角的大小.

分析：（1）[∵P]在平面[ABD]上的射影[O]在[AB]上，[∴PO⊥]面[ABD]，故斜线[BP]在平面[ABD]上的射影为[AB].

[∵DA⊥AB] ，[ ∴DA⊥BP]， 又[BC⊥CD]，[∴BP⊥PD].

[∵AD?PD=D][?BP⊥]面[PAD].

（2）过[A]作[AE⊥PD]，交[PD]于[E].

[∵BP⊥]面[PAD]，[∴BP⊥AE]，[∴AE⊥]面[BPD] .故[AE]的长就是点[A]到平面[BPD]的距离.

[∵AD⊥AB]，[DA⊥BC][?AD⊥]面[ABP][，∴AD⊥AP].

在[Rt△ABP]中，[AP=AB2-BP2=32]；

在[Rt△BPD]中，[PD=CD=33]，

在[Rt△PAD]中，由面积关系，得[AE=AP·ADPD=32×333=6].

（3）联结[BE]，[∵AE⊥]面[BPD]，[∴BE]是[AB]在平面[BPD]的射影.

[∴∠ABE]为直线[AB]与平面[BPD]所成的角，

在[Rt△AEB]中，[sin∠ABE=AEAB=23]，

[∴∠ABE=arcsin23].

【例3】 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，面的对角线B1C=10，D为AC的中点.（1）求证：AB1//平面C1BD；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.

分析：（1）联结BC1交B1C于点E，则E为B1C的中点，并联结DE，

∵D为AC中点， ∴DE[?]AB1.

而DE[?]面BC1D， AB1[?]面BC1D.

∴AB1[?]面C1BD.

（2）由（1）知AB1[?]DE，则∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，

由条件知B1C=10， BC=8， 则BB1=6.

∵E三棱柱中 AB1=BC1，∴DE=5.

又∵BD=[32×8=43].

∴在△BED中 [cos∠BED=BE2+DE2-BD22BD·DE=25+25-482×5×5=125]. 故异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为[125].

三、向量法

立体几何证明，很多时候直接通过定理推理论证是无法得出结论的，这时候必须借助向量法来证明.第一步，以某个点为坐标原点建立空间直角坐标系；第二步，通过建立好的空间直角坐标系，用坐标的形式表示出对应边长、对应点；第三步，通过向量的四则运算结合对应的公式、定理进行推导证明.

【例4】 如图4，在正三棱柱[A1B1C1-ABC]中，[D]、[E]分别是棱[BC]、[CC1]的中点，[AB=AA1=2].

（1）证明：[BE⊥AB1]；（2）求二面角[B-AB1-D]的大小.

分析：如图5建立空间直角坐标系.

（1）证明：因为[B（-1 ， 0 ， 0）]，[E（1 ， 0 ， 1）]， [A（0 ， 3 ， 0）]，[B1（-1 ， 0 ， 2）]， 所以[BE=（2 ， 0 ， 1）]，[AB1=（-1 ， -3 ， 2）]，故[BE?AB1=2×（-1）+0×（-3）+1×2=0]，因此，有[BE⊥AB1].

（2）设[n1=（x ， y ， z）]是平面[ABB1]的法向量，因为[AB1=（-1 ， -3 ， 2）]，[BB1=（0 ， 0 ， 2）]，所以由

[n1⊥AB1n1⊥BB1?n1?AB1=-x-3y+2z=0n1?BB1=2z=0?]可取[n1=（3 ， -1 ， 0）]；

同理，[n2=（2 ， 0 ， 1）]是平面[AB1D]的法向量.

设二面角[B-AB1-D]的平面角为[θ]，则[cosθ=|cos|=|n1? n2||n1|?|n2|=155?θ=arccos155].

通过本文简略的分析，我们可以发现在立体几何证明题解答中，有很多的方法和途径是可以采取的.辅助线的正确添加会使我们在解题的过程中事半功倍，迸发出新的思路.另外，合理地应用向量法，可以将传统的几何证明转化成向量的坐标化计算，可以帮助我们求证答案.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 张传法. 巧用向量运算工具解立体几何问题[J]. 数理化解题研究， 2002（8）.

[2] 赵利侠. 辅助线在几何题中的重要性[J]. 数学教学与研究， 2016（53）.

[3] 张明贤. 辅助线的作用及其添加原则[J]. 新疆教育学院学报， 2009， 25（2）.

（责任编辑 黄桂坚）