导数在解题中的应用研究

陈晓颖

[摘 要]导数是研究函数及其性质的重要工具.导数可以解决函数中的最值问题、恒成立问题、不等式问题.研究导数在解题中的应用具有现实意义.

[关键词]导数；高考；解题；策略

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0004-02

近年有的省高考题中出现将导数和不等式、函数的单调性等有机设计的综合题.本人结合平时教学实践，就导数在解题中的应用作个浅析.

一、求函数的切线

【例1】 （1）曲线[y=x3-x+3]在点[（1，3）]处的切线方程为 .

分析：此题主要考查导数在某点处的切线方程及导数的几何意义.

解：[y′|x=1=3×12-1=2]，[∴]切线方程为[y-3=2（x-1）]，即[2x-y+1=0].

（2）若曲线[y=ax2-lnx]在点[（1，a）]处的切线平行于[x]轴，则[a=] .

分析：此题主要考查由切线方程求参.

解： [y′=2ax-1x，y′|x=1=2a-1=0，∴a=12] .

<攻略一>函数[y=f（x）]在点[x0]处的导数的几何意义就是[y=][f（x）]在点[P（x0，f（x0））]处的切线的斜率，即[k切线=f′（x0）].此类考题主要是利用导数的几何意义解决.

二、求函数的单调性、极值和最值

【例2】 设函数[f（x）=x3-kx2+x] [k∈R].

（1） 当[k=1]时，求函数[f（x）]的单调区间；

（2） 当[k<0]时，求函数[f（x）]在[k，-k]上的最小值[m]和最大值[M].

分析：此题考查函数的单调性、极值以及最值.第（1）问利用导函数的正负求函数的单调区；第（2）问函数表达式、定义域中含有参数k，故需要分类讨论，分类标准为考虑区间[k，-k]与对称轴[x=k3] 的关系.

解：（1）当[k=1]时，[f ′x=3x2-2x+1，Δ=4-12=-8<0]， [∴f ′x>0]，[fx]在[R]上单调递增.

（2）当[k<0]时，[f ′x=3x2-2kx+1]，其开口向上，对称轴[x=k3] ，且过[0，1] ，如图所示.

（i）当[Δ=4k2-12=4k+3k-3≤0]，即[-3≤k<0]时，[f ′x≥0]，[fx]在[k，-k]上单调递增.[∴fxmin=][m=fk=k]，[fxmax=][M=f-k=-k3-k3-k=-2k3-k].

（ii）当[Δ=4k2-12=4k+3k-3>0]，即[k<-3]时，令[f ′x=3x2-2kx+1=0 ，]解得 [x1=k+k2-33，x2=k-k2-33]，

由[k

[∵fx1-fk=x31-kx21+x1-k]

[=x1-k·x21+1>0 ]，

[∴fxmin]=[m=fk=k]，

[∵fx2-f-k=x32-kx22+x2--k3-k?k2-k=x2+k[x2-k2+k2+1]<0，]

[∴fxmax]=[M=f-k=-2k3-k.]

综上所述，当[k<0]时，[fxmax]= [m=fk=k]，[fxmax=][M=f-k=-2k3-k].

<攻略二>首先求出函数的定义域.利用导数求出单调区间进而求极值及最值.此题是求动区间上的最值问题，含有字母参数的应重点分析参数的取值范围对结论的影响.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解，才能找到极值点的位置，进而求最值.

三、解决零点存在的问题

【例3】 已知函数[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e=2.71828…]为自然对数的底数.

若[f（1）=0]，函数[f（x）]在区间[（0，1）]内有零点，求[a]的取值范围.

分析：此题主要考查函数取最值的条件及函数的零点求参，属于综合问题由零点求[a]的取值范围.转化为函数的最值问题，利用导数求最值.

解：由[f（1）=0][?][e-a-b-1=0][?][b=e-a-1]，又[f（0）=0].

若函数[f（x）]在区间[（0，1）]内有零点，则函数[f（x）]在区间[（0，1）]内至少有三个单调区间.

当[a≤12]或[a≥e2]时，函数[g（x）]即[f ′（x）]在区间[[0，1]]上单调，不满足“函数[f（x）]在区间[（0，1）]内至少有三个单调区间”.

若[12

令[h（x）=32x-xlnx-e-1]（[10?x

所以[h（x）]在区间[（1，e）]上单调递增，在区间[（e，e）]上单调递减.

[h（x）max=h（e）=32e-elne-e-1=e-e-1<0]，即[g（x）min<0]恒成立.

于是，函数[f（x）]在区间[（0，1）]内至少有三个单调区间[?][g（0）=2-e+a>0g（1）=-a+1>0][?a>e-2a<1].

又[12

<攻略三>函数零点或方程的实数根与函数的单调性关系是解决此类问题的关键.处理零点问题的基本方法是转化为函数的单调性及极值、最值来处理函数的图像与x轴交点问题.

四、解决恒成立问题

【例4】 已知函数[f（x）=ex-ax]，其中[a]>0，[x∈R，f（x）≥1]恒成立，求[a]的取值集合.

分析：利用导函数法求出[f（x）min=f（lna）=a-alna.]对一切[x∈R， f（x）≥1]恒成立，转化为[f（x）min≥1]，从而得出求[a]的取值集合.

解： [f ′（x）=ex-a，]令[f ′（x）=0得x=lna].当[xlna]时，[f ′（x）>0， f（x）]单调递增.故当[x=lna]时，[f（x）]取最小值[f（lna）=a-alna.]

于是对一切[x∈R，f（x）≥1]恒成立，当且仅当[a-alna≥1].①

令[g（t）=t-tlnt，]则[g′（t）=-lnt.]当[00，g（t）]单调递增；当[t>1]时，[g′（t）<0，g（t）]单调递减 . [∴]当[t=1]时，[g（t）]取最大值[g（1）=1].因此，当[a=1]时，①式成立.综上，[a]的取值集合为[1].

<攻略四>解决恒成立问题通常转化为构造函数求最值，即f （x） [≥]m恒成立可转化为f（x）min [≥]m，从而得出m的取值范围.

总之，通过对近几年高考试题的分析，发现导数在解决数学函数问题时使用非常方便，尤其利用导数来解决函数的单调性、最值、不等式恒成立、零点问题.

（责任编辑 黄桂坚）