2017年高考函数零点试题分类解析
2018-09-04刘金勇刘成龙
刘金勇 刘成龙
函数零点是函数的重要组成部分,是高考考查的热点内容.函数零点问题主要涉及函数、导数、不等式等知识,对学生数学抽象、逻辑推理能力要求较高.该类试题往往还蕴含丰富的数学思想.比如:数形结合思想、化归思想等.同时,函数零点、方程的根与函数图像的交点问题是数学上的“孪生兄弟”.函数零点的表征形式除函数外,还有方程和图像交点的视角.因此,函数零点的高考命题视角较宽.本文拟对2017年高考中的函数零点试题进行分类解析.
类型一:求函数零点个数
【例1】 (2017年江苏卷理14)设[f(x)]是定义在[R]上且周期为1的函数,在区间[[0 ,1)]上[f(x)=x2,x∈Dx,x?D],其中集合[D=x|x=n-1n,n∈N*],则方程[f(x)-lgx=0]的解的个数是 .
解: 因在区间[[0,1)]上[f(x)=x2,x∈Dx,x?D],第一段函数上的点的横、纵坐标均为有理数,又[f(x)]是定义在[R]上且周期为1的函数,所以在区间[1,2]上,[f(x)=(x-1)2,x∈Dx-1,x?D],此时,[f(x)]的图像与[y=lgx]有且只有一个交点;同理,在区间[2,3]、[3,4]、[4,5]、[5,6]、[6,7]、[7,8]、[8,9]上,[f(x)]的图像与[y=lgx]有且只有各一个交点,共8个,如图1所示.在区间[9,+∞]上,[f(x)]的图像与[y=lgx]无交点,故[f(x)]的图像与[y=lgx]有8个交点,即方程[f(x)-lgx=0]的解的个数是8.
【评注】2017年高考直接求函数零点个数的试题没有,而是以方程解的个数方式呈现.解答本例的关键是在理解题意的基础上,画出两个函数的大致图像.本例考查了学生绘图、识图、用图的能力.
类型二: 已知函数零点个数求参数范围(或值)
【例2】 (2017年全国卷Ⅲ理11)已知函数[f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)]有唯一零点,则[a]的值为( ).
A. [-12] B. [13] C. [12] D. [1]
解: 因为[f(2-x)=f(x)],所以[f(x)]的对称轴为[x=1].又因为[f(x)]有唯一零点,所以零点只能为[x=1],即[f(1)=-1+2a=0],解得[a=12].
【评注】本例的解答方法很多.比如:求导法、放缩法等.上述解法抓住“[f(x)]关于[x=1]对称,且零点唯一”这一要点,减少了烦琐的运算,实现了真正意义上的“多想少算”.
【例3】 (2017年山东卷理10)已知当[x∈[0,1]]时,函数[y=(mx-1)2]的图像与[y=x+m]的图像有且只有一个交点,则正实数[m]的取值范围是( ).
A. [(0,1]?[23,+∞)] B. [(0,1]?[3,+∞)]
C.[ (0,2]?[23,+∞)] D.[ 0,2?3,+∞]
解:[y=(mx-1)2=][m2(x-1m)2]的图像可以看成[y=x2]图像纵坐标不变,横坐标向右平移[1m]个单位;横坐标不变,纵坐标变为[m2]倍.[y=x+m]的图像可以看成[y=x]向上平移[m]个单位.
[①]若[0 [②]若[m>1],则[y=(mx-1)2]和[y=x+m]的大致图像如图3所示,为使[y=(mx-1)2]和[y=x+m]的图像在[x∈[0,1]]上有且只有一个交点,需要[(m-1)2≥1+m],即[m2-3m≥0],解得[m≤0]或[m≥3],所以[m≥3]. 綜上所述,[m∈][(0,1]?[3,+∞)]. 【评注】解答本例的关键是对分类标准中临界位置[m=1]的识别.事实上,[x=0]时,有[y=1]和[y=m],可以看出[m=1]时,两函数刚好有交点. 类型三: 已知函数零点分布证明不等式 【例4】 (2017年天津卷理20)设[a∈Z],已知定义在[R]上的函数[f(x)=2x4+3x3-3x2][-6x+a],在区间[1,2]内有一个零点[x0],[g(x)]为[f(x)]的导函数. (Ⅰ)求[g(x)]的单调区间; (Ⅱ)设[m∈1,x0?x0,2],函数[h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)].求证:[h(m)?h(x0)<0]; (Ⅲ)略. 解:(Ⅰ)略; (Ⅱ)由[h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)],得[h(m)=g(m)(m-x0)-f(m)], [h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m)]. 令[H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x)], [H′1(x)=g′(x)(x-x0)], 由(Ⅰ)知,当[x∈1 ,2]时, [g′(x)>0].故当[x∈1,x0]时,[H′1(x)<0],[H1(x)]单调递减;当[x∈x0,2]时,[H′1(x)>0],[H1(x)]单调递增. 因此,当[x∈1, x0 ? x0, 2] 时,[ H1(x)>H1(x0)=-f(x0)=0],[H1(m)>0],即[h(m)>0]. 令[H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x)],则[H′2(x)=g(x0)-g(x)],由(Ⅰ)知,[g(x)]在[1,2]上单调递增,故当[x∈1,x0]时,[H′2(x)>0],[H2(x)]单调递增;当[x∈x0,2]时,[H′2(x)<0],[H2(x)]单调递减.
因此,当[x∈1,x0?x0,2]时,[H2(x)
综上,[h(m)?h(x0)<0]得证.
[评注]本题主要利用导数研究函数的性质,区分度明显.本例中函数零点的功能为[f(x0)=0].
类型四: 函数零点的综合问题
【例5】 (2017年江苏卷理20)已知函数[f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)]有极值,且导函数[f ′(x)]的极值点是[f(x)]的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(Ⅰ)求[b]关于[a]的函数关系式,并写出定义域;
(Ⅱ)证明:[b2>3a];
(Ⅲ)若[f(x)],[f ′(x)]这两个函数的所有极值之和不小于[-72],求[a]的取值范围.
解:(Ⅰ)由[f(x)=x3+ax2+bx+1],得[f ′(x)=3x2+2ax+b=3(x+a3)2+b-a23].
當[x=-a3]时,[f ′(x)]有极小值[b-a23].因为[f ′(x)]的极值点是[f(x)]的零点.所以[f(-a3)=-a327+a39-ab3+1=0],又[a>0],故[b=2a29+3a].因为[f(x)]有极值,故[f ′(x)=0]有实根,从而[b-a23=19a(27-a3)≤0],即[a≥3].
当[a=3]时,[f ′(x)>0(x≠-1)],故[f(x)]在[R]上是增函数,[f(x)]没有极值;
当[a>3]时,[f ′(x)=0]有两个相异的实根[x1=-a-a2-3b3],[x2=-a+a2-3b3].
列表如下
[[x] [(-∞,x1)] [x1] [(x1,x2)] [x2] [(x2,+∞)] [f ′(x)] + 0 – 0 + [f(x)] 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 ]
故[f(x)]的极值点是[x1,x2],从而[a>3],因此[b=2a29+3a],定义域为[(3,+∞)].
(Ⅱ)略;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,[f(x)]的极值点是[x1,x2],且[x1+x2=-23a],[x21+x22=4a2-6b9].
从而[f(x1)+f(x2)=x31+ax21+bx1+1+x32+ax22+bx2+1=][x13(3x21+2ax1+b)+][x23(3x22+2ax2+b)+13a(x21+x22)+23b(x1+x2)+2][=4a3-6ab27-4ab9+2=0].
记[f(x)],[f ′(x)]所有极值之和为[h(a)],因为[f ′(x)]的极值为[b-a23=-19a2+3a],所以[h(a)=-19a2+3a],[a>3].因为[h′(a)=-29a-3a2<0],于是[h(a)]在[(3,+∞)]上单调递减.
因为[h(6)=-72],于是[h(a)≥h(6)],故[a≤6].因此[a]的取值范围为[(3,6]].
【评注】本例主要考查利用导数研究函数的极值、零点等综合问题,考查学生综合运用数学思想方法分析、解决问题的能力以及逻辑推理能力.零点在本例中的功能为提供[f(-a3)=0]这一条件.
文中对2017年高考理科数学中函数零点试题的四种题型做出了分析,希望对读者有所帮助.