运用变式教学，培养学生的思维品质

陈金环

[摘 要]变式教学有三种形式：一题多解、多题一解和变换背景.变式教学对于培养学生的思维品质，提高学生的数学素养起着关键的作用.

[关键词]变式教学；思维品质；一题多解；多题一解；变换背景

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0032-01

变式教学就是对教学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同的知识点之间内在联系的一种教学设计方法.变式教学是提高学生数学素养的重要途径.

一、一题多解

在教学中，对同一来源的材料、多层次地思考问题，探索不同的解答方案，能拓宽学生思维，培养学生思维的广阔性.思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度.

【例1】 证明方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a.

方法1：用求根公式直接证明x2-（2a+b）x+a2+ab-1=0，∵[Δ]=b2+4>0，∴方程有两个不等实根，即x1=a+（[b2+4]+b）÷2 >a和x2=a+（[b2+4]+b）÷2

方法2：用韦达定理.同上可知方程有两个不等实根，设x1、x2是方程两根，则

x1+x2=2a+b，x1x2= a2+ab-1，

（x1-a）（x2-a）= x1x2-a（x1+x2）+a2

= a2+ab-1-2a2-ab+a2=-1<0 .结论得证.

方法3：用换元法.原方程为（x-a）2-b（x-a）-1=0，设y= x-a，则y2-by-1=0.（过程略）

方法4：利用函数图像证，设y=（x-a）（x-a-b）-1，

其抛物线开口向上，同上.

[Δ]=b2+4>0 .

当x=a时，y=-1<0 ，∴抛物线与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），分别位于直线x=a两侧，结论得证.

通过这样的变式教学，使学生的思维时刻处于积极兴奋的探索求新的最佳状态，达到了优化解题方法和温故知新的教学目的，培养了学生的思维广阔性.

二、多题一解

思维的深刻性是指某一教学问题出现后，学生经过观察思考，过程提炼，能抓住问题的本质，揭示问题规律的一个由感性到理性的思维过程.教学时，教师可以对某些问题变换角度、变换形式提问，指导学生用同一种方法去解答，促进学生不迷恋于表面现象，而是由表及里通过解一题引导学生概括出问题的本质规律，实现由一道题向一类题、多类题的迁移.

【例2】 （1）当m为何值时，抛物线y=2x2+3x+m-1与x轴无交点？（2）当m为何值时，一元二次方程3x2+5x+2m-1=0无实根？（3）當m为何值时，关于x的二次三项式5x2+7x+m-3的值恒为正？（4）当m为何值时，多项式2x2+3x+5m-1在实数范围内不可分解？（5）当m为何值时，不等式10x2+31x+3m-11>0解集为全体实数？

通过这一形异质同的变式题组的训练，用“[Δ]<0”这一本质属性沟通了“四个二次”之间的联系，实现了各类知识间的正向迁移，培养了学生思维的深刻性.

三、变换背景

思维的发散性是指以某一问题为发散源，从横向和纵向多方位地进行辐射状态的积极的思考和联想，使问题得以解决或升华的过程.在几何课教学中，要充分挖掘课本习题潜在的教学价值，以某一问题为枢纽，采用不断变换命题背景的方式进行变式题组的设计，尽可能多地让它们辐射到与之相关的知识网络，在问题解决的过程中培养学生思维的发散性.

【例3】 已知⊙O1和 ⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点，求证：AB⊥AC.

这是一道直线与圆及圆与圆的位置关系的综合题，练习的目的是复习与巩固上述位置关系的知识点.为此，可以设计如下变式题.

变式1：切线变割线.⊙O1和 ⊙O2相切于点A，BC是两圆的割线，分别交⊙O1于B、P，交⊙O2于Q、C，求证：∠BAC+∠PAQ=180°.

变式2：外切变相交.⊙O1和 ⊙O2相交于点P、A两点，BC为两圆的公切线，B、C为切点，求证：∠BAC+∠BPC=180°.

变式3：外切变外离.⊙O1和 ⊙O2外离，BC是两圆的公切线，B、C为切点，求证：在⊙O1上至少存在一点A，在⊙O2上至少存在点P，使∠BAC+∠BPC=180°.

通过这一组变式题训练，让学生从多方位进行思考和探索，最终能使学生知识系统化、条理化.

总之，在数学教学中，若能注重变式教学，引导学生在不断的探索、反思中，提高应变能力、识辨能力、独创能力，这对于培养学生的思维品质，减轻学生过重的学业负担，提高学生的数学素养是十分有益的.

（责任编辑 黄桂坚）