在阶梯式猜想中构建数学模型

周春芝 徐花

【摘要】新课程标准指出，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。猜想不是不切实际的胡思乱想，而是有根据的想象，所以既要引导学生大胆猜想，又要引导学生小心验证。在循序渐进式的猜想中，引导学生发现并概括出规律，从本质上把握规律的本质。

【关键词】猜想 验证 数学模型

近日有幸参加一个培训活动，聆听了一位名师执教的《钉子板上的多边形》一课，对执教者循循善诱，引导学生经历“观察猜想—操作验证—构建模型—应用拓展”的探究过程印象深刻，并由此引发了笔者的一些思考。

猜想一：围成的面积跟什么有关？

（出示三个长方形）师：围成图形的面积与什么有关？

学生通过观察计算，一致认为：长方形面积越大，边上钉子数越多（n）。

生（齐）：与边上钉子数有关系。

师：能具体说一说吗？

生：围成长方形的钉子数越多，这个长方形的面积（S）就越大；反之，就越小。

师：同学们都同意这样的观点吗？

生（众）：同意。

出示第二组图形：

学生再次通过观察、数一数、算一算等活动发现规律。

师：通过这组图形的观察和计算，你觉得你们的猜想怎么样？

生：不正确，三个图形边上都是4枚钉子，但面积却不相等。

师：那么在刚才的猜想过程中，你们忽视了什么没有考虑？

生：虽然它们边上的钉子数相等，但里面的钉子数却不相同。

师：能修改一下刚才的猜想吗？

生：多边形面积大小不仅与图形边上的钉子数有关，还和里面的钉子数有关。

猜想二：究竟有什么关系呢？

师：那么，这三者之间究竟有什么样的关系呢？我们可以从简单的问题开始入手，先从图形内有一枚钉子的研究起。

出示第三组图形：

学生数一数、算一算并填写表格。

师：观察表格中的数据，你发现多边形内只有一枚钉子时，多边形面积和边上的钉子数有什么关系？

生：多边形边上的钉子数是多边形面积数的两倍，多边形面积数是边上钉子数的一半。

师：前面，我们学习了《用字母表示数》，如果多边形面积用字母“S”表示，边上的钉子数用字母“n”表示，里面的钉子数用字母“a”表示。当a=1时，你能用字母表示出多边形的面积和边上钉子数的关系吗？

生：n=2S。

师：还可以怎样表示？

生：S=n÷2。（板书）

师：看，用字母表示多简洁！下面请同学们自己动手在点子图上画几个里面有2枚钉子的多边形，用刚才的方法研究一下，此时多边形的面积和边上的钉子数又有什么样的关系？（学生独立开展操作研究）

汇报：

师：再次观察表格中的数据，说一说你发现“多边形面积”和“多边形边上的钉子数”之间又有什么关系？

生：n=2S-2。

师：能不能统一下格式，像刚才一样用含有除法的字母公式表示。

生：S=n÷2+1。

师：为了便于观察，我统一下关系式的结构，刚才S=n÷2，我把它改写成S=n÷2+0的形式。这时你能大胆猜一猜，当a=0时，S和n会有怎样的关系？

生：当a=0时，S=n÷2-1。

师：当a分别等于3、4、5时，S和n又有怎样的关系呢？

生1：当a=3时，S=n÷2+2。

生2：当a=4时，S=n÷2+3。

生3：当a=5时，S=n÷2+4。

师：这只是根据刚才两个归纳出的关系式而做出的一种大胆猜测，那么我们的猜测是否正确，还需要……

生：（众）验证。

师：正好，我们有4个小组，分工合作每个小组各验证一种情况。

汇报：（略）

猜想三：有什么规律可循？

师：a可以代表任何自然数，我们不可能把所有的情况都一一研究并加以验证，而是通过从已获得的简单现象入手，发现其中的规律和现象。

师：请你观察这些字母公式，并做一个大胆的猜测，当a=m时（m为任意自然数）多边形的面积与边上的钉子数会有怎样的关系，你还能用字母公式表示出来吗？

生：S=n÷2+（m-1）。

师：这个关系是否成立，其实数学家早就通过数学推理证明它是正确的。（介绍“皮克定理”等）

师：现在你能用发现规律来解决本节课开始的这个不规则图形的面积吗？

生：能。

……

案例反思：

牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发明。”数学猜想是研究科学方法论的丰富源泉，也是数学探究活动的基本方式。它要求思维主体（学生）依据已知的事实和数学知识，对研究的数学问题进行观察、比较、归纳、类比、联想后，对未知的量和关系做出的一种猜想和判断。波利亚也曾说过：在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度。《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。在平时的教学过程中，我们过多强调数学结论的严谨性和逻辑性，这本身没有错，但不应忽视学生数学猜想能力的培养，否则会导致学生想象力和创造力欠缺。因此在平时的数学教学活动中，要有意识、有计划、有步骤地培养学生的猜想能力。这节课中，执教老师就给我们做了很好的示范。

一、猜想需要指引

数学探究活动，以问题为核心，学习任务具有一定的挑战性，探究能充分调动学生的好奇心和求知欲。但是学生受已有知识结构、学习经驗和操作技能等因素的限制，不能像数学家那样在纷繁复杂的问题情境中，及时捕捉、分辨、筛选出制约问题解决的相关因素和变量信息，从而提出一些科学的猜想。这就需要教师充分发挥好组织、点拨、引导、调控的作用，帮助学生不断调整、修正、完善自己的数学猜想，从而让学生找到猜想的正确方向，为数学探究活动成功开展奠定坚实的基础。这就需要教师在平时的教学过程中不断为学生的探究活动搭建各种形式的“阶梯”，让学生的探究活动得以拾阶而上，最终到达成功的殿堂。案例中，当教师先出示第一组图形时，学生通过观察、数一数、算一算等数学活动得到第一个初步的猜想：围成的多边形边上钉子数决定多边形面积的大小，而没有关注图形内的钉子数也是制约图形面积大小的关联因素。当然这样的猜想结果是受制于学生感知能力和学习经验的必然结果。这时教师没有立即否定学生的猜想，而是出示第二组多边形，让学生用刚才习得的学习方法再次观察、比较。学生这时发现：这组三个图形边上的钉子数虽然相同，但是面积却不相同，是因为刚才忽视了图形内钉子数的原因。这样的教学是学生自我反思、自我否定、自我调整、自我完善的过程。反之，如果上述过程中教师不积极介入，学生就会仅局限于问题解决的单一制约因素，从而得不到全面、科学的数学猜想，后面的探究活动纵然投入更多时间和精力也是枉然。

二、猜想需要验证

提出科学的猜想只是迈向成功的第一步，更重要的是对提出的猜想或判断进行验证。经过验证，也许有些猜想是正确的，那么就成为定理、公理、公式，并且在以后的判断和推理、问题解决时直接拿来应用。但有些猜想经过验证后判为错误，抑或还有一些数学猜想暂时受某种因素的制约，还需要进一步验证和完善。总之，引导学生开展验证活动是培养学生科学、严谨、客观、公正的治学态度的良好契机。案例中，学生在教师的引导下，有计划、有目的、有针对性地开展验证活动，当围成图形内钉子数是1或2时，学生通过画图、数一数、算一算等思维活动验证上述关系式的正确性。然后学生根据已有的两个关系式之间的联系，猜想出当图形内钉子数是0、3、4、5时又具有什么类似的关系式。这时学生给出的关系式没有经过验证，当老师说：“那么，我们的猜想是否正确，还需要……”学生立即意识到：空口无凭，还需要验证，并分工合作验证不同情况的关系式。最后的公式：当a=m（m为任何自然数）时，S=n÷2+（m-1），由于受知识水平和时间的限制，学生没有亲自验证，但是教师此时介绍国内外数学家就此问题研究的结果，并告知学生你们的终极猜想是正确的，是经过数学家严密论证过的，可以放心使用。在这样的学习过程中，学生的体验是深刻的、经验是丰富的、情感是积极的。如果我们有意识地让学生长此以往经历这样完整的探究过程，这对学生探索精神和创造能力的提升大有裨益。反之，即使学生通过验证发现自己的猜想是错误的，也有利于培养学生的挫折感和坚强的意志品质。毕竟，数学探究的道路并不总是一帆风顺的，更多的是充满了坎坷和荆棘。

三、猜想需要提炼

概括规律并选择适当的形式表示出来，是探索规律的点睛之笔。概括出规律是认识客观对象的标志，如果能正确概括出一类对象的规律，就准确把握了这类对象的本质特点。概括规律是发展思维的极好机会，把一类对象里的规律，由表及里，由浅入深，由特殊到一般，由具体到抽象地表示出来，学生的数学思维就能得到有效锻炼和提高。当学生用一个个含有字母的式子表示出多边形面积和边上钉子数的关系时，学生的思维水平就已经得到了一次提升，已经初步经历了算术思维向代数思维转变的过程。然而执教老师并没有止步于此，而是让学生观察自己的板书。

当a=0时，S=n÷2-1；当a=1时，S=n÷2+0；当a=2时，S=n÷2+1；当a=3时，S=n÷2+2；当a=4时，S=n÷2+3；当a=5时，S=n÷2+4。

学生看到这些有着相似结构的关系式时，他们的思维再次被点燃。心中油然而生出再次归纳、提炼的强烈冲动，把上述众多关系式合并成一个“以一驭万”的终结式子。这时，教师一句：我们不可能把所有的情况都做一一研究并加以验证，而是通过从已获得的简单现象入手，发现其中的规律和現象。犹如火星掉落到干柴上，学生的数学思维再次被激活。当教师说出：当a=m（m为任意自然数）时，学生水到渠成地提炼出：S=n÷2+（m-1）。这样的学习过程，让学生既经历了从微观上析理，又体验到在宏观上观察整体结构。做到了既见树木，又见森林。

总之，数学猜想作为一种直觉思维以及由此表现出的敏锐意识，可以帮助学生从繁杂现象中迅速捕捉各种有价值的数学信息，同时也有利于提高学生的探索精神和创新思维能力。这些能力的获得，需要教师长期引导学生经历完整的探究学习过程，这样学生的猜想能力才能有质的飞跃。？筻