教师拥有“透视眼”，学生学习才具“立体感”

季国栋

【摘要】作为小学数学教师，需要关注的学科内容和提升的教学素养是多方面的。仅从知识层面来看，教师的目光不能局限于教材和教参，不能“一招行天下”。应该透过教材和教参，关注到学科知识背后更多的内容，并且投射到课堂教学之中，让学生的学习在不同维度上得以并行，产生“立体感”。

【关键词】小学数学 透视眼 立体感

一、关注知识内涵，让学生的学习在广度上实现跨越

教师不仅要让学生学会使用一些解决问题的工具，更应了解工具出现的缘由，把握其背后的知识内涵，进而让学生的学习不断拓展，实现跨越。

从本质上看，线段图就是解决问题的思维“工具”。工具的价值不在其本身，而在于其效用，衡量工具效用的标准在于“能否指引人们的行动取得成功，能否满足人们的目的和需要”。线段图呈现了从抽象的文字到直观的再创造、再演示的过程，以其形象、直观的特点，有效地提高了学生的自我学习能力和创新能力，使学生会学习。因此，线段图在数学教学中才得以广泛应用。然而，很少有人思考：为什么许多不同的量都可以在线段图中用长度来表示呢？

量有离散量和连续量之分。一个个分离、独立存在的东西，如苹果等，称为离散量。能够自由分开和结合的东西，如水等，就称为连续量。长度、重量、面积、体积、时间、密度、温度等，都是连续量。连续量的特征是不论多少都能分割，也能自由地结合，并且容易比较大小。用长度来表示的话，连续量所具有的这些特性都可以鲜明地表达出来，这就是笛卡尔原则——把全部的连续量用长度来表示。量杯就是把体积转换成长度的工具；杆秤就是把重量转换成有刻度的长度的工具；钟表就是把时间转换成表盘的长度（曲线长度）的机械；还有温度计是把温度这一连续量转换成了长度；汽车的速度计也是把速度这一连续量变成曲线的长度。而且，离散量和连续量之间是可以相互转换的。俄国有一个故事：有位老奶奶要给三个孙子分吃两个土豆，因为不好分割，就把土豆做成土豆泥，分给三个孙子吃了。老奶奶是把离散量的土豆，变成了连续量的土豆，从而解决了难题。我们说多少米布料是连续量，但若将其缝制成人们所穿的衣服，就成为离散量了。因此，离散量和连续量都可以在线段图上用长度表示出来。

基于以上认识，教师就能做到“腹有诗书气自华”，知其然且知其所以然，教学的展开也就非同一般。学生在学习“速度、时间、路程”时，通常都用线段图来表示这三个量，教师可以引导学生回顾以前学过的知识：哪些量也可以在这样的线段图上表示出来，学生在教师的启发下会想到“单价、数量、总价”可以相应表示，学生在高年级学习“工效、时间、工作总量”之后，就会发现这些量都可以在同一幅线段图上进行表示（如图1）。

教师在关注知识内涵之后，教学就不会局限于一堂课的内容，而会跨越本课知识将其他相关内容联系起来；学生的学习也随之发生变化，提高了对数学知识内在联系的认识，在学习的广度上实现了跨越。

二、关注知识本源，让学生的学习在深度上实现理解

作为小学数学教师，理应了解一些数學史。奥地利著名物理学家、哲学家马赫曾经说过：“没有任何科学教育可以不重视科学的历史与哲学。”这同样适用于数学教育。在数学和人文之间只有一座桥梁，那就是数学史，建造这座桥梁是我们这个时代数学教育的需要。数学史是一个巨大的宝藏，其中包含大量的教学素材。也许有人会说：“我对数学史一无所知，不也把数学教得很好吗？”但是，从教材中我们可能只看见一棵树，从历史中我们却可能看到一片森林。

翻开数学史，我们发现人类对于负数的感知和使用就比较迟缓。中国古代数学家仅仅是因为解方程的需要而率先使用负数，但对负数的认识是朦胧的。在西方，许多数学家都不认可负数。13世纪意大利数学家斐波那契认为：方程x+36=33没有根，除非第一个人（x）欠债3个钱币；16世纪德国数学家斯蒂菲尔指出：0减去一个大于0的数所得结果“小于一无所有”是“荒谬的数”；17世纪法国数学家帕斯卡则认为：0减去4纯属无稽之谈。这其中的原因是负数不像自然数、分数那样来自人类丰富的数数、分配实物和测量的实践活动，也不像自然数、分数都有实物为例；负数不能“可视”，虽也有负债、欠账之说，但却不能具体指物为负。

汪晓勤教授认为人对数学的理解过程与数学的历史发展过程具有一定的平行性，这是数学史融入数学教学的理论基础。同时，他也提出不能生硬地为历史而历史，必须兼顾知识点的历史发生、发展顺序、逻辑顺序以及儿童的心理发生、发展顺序。由此看来，“负数”的认识就不能直接按照历史进行教学。引入负数既不能通过一元一次方程或二元一次方程组，也不能通过“直接从零中减去一个正数”，只能通过相反意义的量。我们不能仅仅局限于书写形式上的不同，而要注重负数表示的本质意义；我们不能仅仅局限于列举几组反义词，而要注重表达的是相反意义的量。为了加深对正、负数的意义及对具有相反意义的量的理解，可以出示田径运动员比赛时的风速牌，让学生理解由于风向和运动员的运动方向相反，所以风速有时也会用负数表示，还可以出示“+8”和“-5”，让学生结合具体事例来说说这两个数表示的意思，等等。这样教学，诠释了“+”和“-”作为性质符号有着更深层的含义：与问题中意义表达同向的为“+”，与问题中意义表达反向的为“-”，向学生渗透相反意义所隐含的辩证关系。

从历史的“森林”中，还可以发现学生构建负数的理性认识，困难之处不在于概念本身的高度抽象性，而在于如何突破原有认识，把负数和0的意义沟通起来，得到深刻的理解。我们要让学生的认识从0表示没有，表示开始突破到0，还可以表示分界，表示基准：大于分界0的数是正数、小于分界0的数是负数；我们还要让学生的认识从0是固定的分界、基准突破到分界、基准是相对的，是可以随着问题的情境而变化的。因此，在运用教材中气温、海拔的例子之后，选用电梯上下楼的情况，以地面为基准，地下2层可以用-2表示，以5楼为基准，往下3层也可以记作-3。

教师借助数学史，从知识本源中加以吸纳，并由此开展教学，那么，数学知识的本质意义在学生学习中就能得以明亮，学生的学习就会深刻透彻，在深度上实现理解。

三、关注知识体系，让学生的学习在贯通度上实现融合

数学是一门非常系统的科学，有其自身的知识体系。我们无法将这种结构体系直接给予学生，所以就产生了数学的教学结构。教学结构就是由相关专家一起将数学知识根据不同学段学生的认知水平，进行科学的分解和安排。因此，数学中的任何概念都不是孤立的、静止的，都一定会有与之相联系的知识。纵向联系构建了知识体系的理论框架，横向联系则扩大了知识的容量，使体系更加充实、完善。为此，我们的教学要有横向的关联和纵向的穿插，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体的知识体系中，处理好局部与整体的关系，为学生的后续学习和发展做好铺垫。

就“用数对确定位置”而言，是研究二维平面中的位置确定。从纵向上看，之下有一维的位置确定，如“一列队伍中老爷爷排在第3个”之类的问题，就是用单个数在一条坐标轴上确定位置点；之上有三维空间中的位置确定，就是用数组在立体空间中确定位置点；从横向上看，之前有“小明坐在第3排第4个座位”之类相对具象的二维问题，之后有学习平面直角坐标系，接触到二维平面中相对复杂的四个象限，并由此来确定位置。

基于这样“上通下达、瞻前顾后”的认识，教学中就可以把这些知识编织起来。首先，教学由一维数轴中的位置确定入手，通過在公交车站牌上创造出数学形式的规定（如图2），引出小学生可以接受

的数轴三要素的表达：起点（原点）、方向、顺序（单位），进而可以用一个数来确定位置。其次，利用小红处于教室位置的二维平面中，引出需要用两个数才能确定她的位置，即用数对确定位置，再出示四个地点（如图3），学生会主动生发出构建坐标才能确定它们位置的意愿，接着呈现坐标并要求学生用数对确定每个地点的位置。然后分别在幼儿园和小学的对称之处呈现两个地点，激发学生思考如何用数对来确定这两个点，将第一象限适度延伸至其他象限。最后，课尾让学生试着确定魔方中任意一块的位置，将学生的思维拓展至三维中的位置确定，点到为止即可。

这样的教学架设了不同学段之间的桥梁，形成结构化的学习脉络，从一维用一个数确定位置点，到二维用数对（两个数）确定位置点，延伸至三维用数组（三个数）确定位置点，并且厚实了二维中用数对确定位置的学习，充分呈现了数学知识的整体关联，将相关知识编织在了一起，让学生的学习融会贯通。

总之，每位数学教师都需要提高自身的学科素养，在知识层面上要关注体系、了解本源、把握内涵，对教学内容做到清晰认识和精准理解。故步自封，或许感觉教学中没什么不一样，但是学则不固，我们就会不一样，学生的学习就会具有立体感。如同《我们不一样》歌词中写道的：这片天你我一起撑起，更努力只为了我们想要的明天。？筻