语言理解·逻辑推理·问题解决

朱菊花

[摘 要] 能力培养是高中数学教学的永恒主题，能力培养需要立足基本点，才能抓住能力培养的关键. 实践表明，语言理解、逻辑推理、问题解决应当是其他能力培养的基本点，抓住这三个基本点，可以统领高中数学教学中其他能力的培养，也能有效实现核心素养的培育.

[关键词] 高中数学；能力培养；基本点

谈到能力培养，相信每一位高中数学教师并不陌生，因为无论对于教师还是学生来说，能力的重要性总是超越知识掌握的（当然能力也是在知识掌握的过程中形成的），但很多时候教师谈及能力，似乎将能力看成了一个有形的物体，甚至是与知识相分离的对象. 这样的认识在笔者看来是有问题的，真正的能力培养其实应当是学生“学习能力”的培养，而学习能力不是一个空洞的概念，其对于高中学生的数学学习来说，就是支撑数学知识构建与问题解决的心智活动. 同时，考虑到能力是多元的，能力培养不可能是面面俱到的，只有让学生真正站立在能力的几个基本点上，才能让其他能力由此生长出来. 那么，从学生的视角来看，哪些能力才可以认为是起到基本点作用的能力呢？对此笔者进行了探究，总结如下.

语言能力指向学生的数学理解

通常教师都会强调理解学习，那何为理解呢？学生解决了问题就算是理解了吗？对于这个问题，恐怕我们还要更多地从学生的角度去思考. 数学学习的过程，首先是数学概念、规律构建的过程，而概念又是基础. 学生是否理解数学概念，其实是一个很重要的问题，其关系到学生有没有准确掌握数学语言.

数学语言是一门特殊的语言，尤其是在高中数学中，总能看到数学学科中用着最精确、最简练的语言，表达出一个最丰富的意思，最严密的规律. 学生在数学学习中，用得最多的往往是生活语言和不太熟练的数学语言，在应试的背景下，教师往往会忽视数学概念与规律的教学，学生也往往忽视数学概念的理解，而一个直接原因就是考试中并不考概念及其定义. 其实这是一种危险的倾向，其意味着学生的学习可能就是在建造空中楼阁，但对数学语言的重视又不是数学概念的死记硬背，那又应该是什么呢？

笔者以为，高中数学概念教学中要促进学生对数学语言的理解能力的提升，关键要看三种语言的寓意，这三种语言就是文字语言、图形语言和符号语言.

以“函数的单调性”为例，实际教学中可以给学生同时提供一次函数的图像与二次函数的图像（如果时间充裕，还可以让学生在自己的坐标纸上去画这两个函数的图像），让学生认识到一次函数y=x的图像是从左至右一直上升的，而二次函数y=x2的图像是先下降后上升的，让学生锁定“上升”“下降”两个关键词，描述两种函数的不同，并告诉学生可以用“单调性”这个概念去描述不同函数上升或下降的特性. 在这个过程中，图像成为学生理解函数单调性的基础，而单调性以及其所包含的上升与下降等关键词就组成了对函数变化特征的概括性理解. 这个过程中，学生思维的对象就是图像和文字，以及函数单调性定义中的相关符号等.

在实际教学中，要将这种思路显性地体现出来，告诉学生描述数学概念，常用的就是文字语言、图形语言和符号语言，要让学生知道已有的数学概念和将学的数学概念，也是通过这三者来描述的. 也就是说，要让学生显性地认识到，数学基本概念与规律的学习，离不开数学语言的这三种基本形式. 事实证明，一旦学生形成明确的语言认识，他们就会在数学概念的学习中去琢磨关键词，而琢磨的过程实际上也就是数学理解生成的过程，因此数学语言就成为引导学生从生活经验与先前经验抵达数学理解的重要途径. 离开了这一能力的基本点，真正的有效学习是难以发生的.

逻辑推理指向学生的数学思维

逻辑推理是从数学学习开始时就强调的能力，其自然是数学能力的基本点. 但在具体的高中数学教学语境中，逻辑推理又不是简单的由几个已知条件推理可能结果的过程，高中阶段的逻辑推理既涉及数学学科自身的逻辑关系，同时也运用到了基本的逻辑方法，实际教学中要基于学生思维能力提升的目的，来实施逻辑推理的教学.

比如说同样在“函数的单调性”的教学中，当需要让学生去求函数的单调区间的时候，通常的思路是让学生根据单调性的定义（涉及上一点所强调的数学语言与数学理解）去推理，但直接根据单调性定义考查的情形较少，往往都是存在一些变化的，学生要懂得这些变化，就得运用逻辑推理.

如有这样的一个问题：求函数f（x）=x2-2x+2的单调区间. 此问题题干很短，但内容丰富，且起点不低. 尤其是对于初学者而言，肯定需要逻辑推理才能解决问题. 笔者曾经做过试验，如果此时不给学生任何提示，很多学生是无法下手的，但学生也基本上都能认识到，之所以无法下手，问题就出在函数的表达式中有一个绝对值符号. 于是笔者就问到：“有绝对值符号意味着什么？”学生思索片刻之后回答：“意味着有两种可能. ”（这实际上已经迈开了逻辑推理的第一步）“有两种可能怎么办呢？”笔者追问到，而学生的回答是去掉绝对值符号（逻辑推理的第二步）. 需要强调的是，刚才的两步逻辑推理更多的是面向一般逻辑关系而非面向数学关系的，在教学中不能因为其与数学关系联系间接而有所忽视. 其后再根据数学关系来进行逻辑推理的第三步，那就是在x大于或等于0与小于0的情况下，将原函数式分别进行表示. 于是最终也就获得了f（x）=x2-2x+2（x≥0）和f（x）=x2+2x+2（x<0）两个表达式. 而这一推理过程就常常被归纳为“分段函数转化”.

经过了这样的逻辑推理，该问题也就迎刃而解了. 在日常教学中，这样的问题解决常常不会引起教师的重视，因为教师常常感觉这就是一个普通的数学习题的解答过程，不需要花费太多的精力. 可是真正从逻辑推理的角度来认识这一过程时，你会发现其中有着丰富的逻辑推理过程，因此也就可以说是一个很好的逻辑推理能力培养的机会. 抓住这个机会，是可以为学生的數学学习寻找到一个能力的支撑点的，因此逻辑推理应当成为高中数学教学中的能力培养的一个基本点.

当然上面这个例题其实还可以进行逻辑延伸，那就是学生的解题过程反思. 在实际教学中，笔者引导学生思考：在含有绝对值的函数问题中，去掉绝对值符号以获得分段函数，已经成为我们的一种基本的解题思路（逻辑推理隐含其中），其实还有一个重要的方面，那就是对于分段函数的单调性的判断，通常采取的不是定义法，而是图像法，因为前者复杂而后者直观——这里也正是基于解题经验的逻辑推理，是提升学生问题解决品质的.

问题解决指向学生的综合能力

谈到问题解决，就不能不说这也是能力培养的另一个重要的基本点. 其实问题解决不是一个单纯的能力，而是一种复合能力. 问题解决在心理学中是指学生在解决问题的过程中表现出来的对各种问题解决思路、逻辑关系以及相关心理活动的总和. 由于问题解决对学生的综合能力培养具有至关重要的作用，而高中数学教学无论是试卷评价，还是核心素养视角下的评价，都与学生综合运用數学知识解决问题相关，因此问题解决无论从哪个角度讲，都应当是能力培养的最重要的基本点.

由于问题解决常常是面向综合性问题的，因此这里笔者以一个综合性问题来做解释.

在“指数函数”这一内容的教学中，常常有结合生活实际的问题，如：市场营销人员针对某商品在过去几年的销售情况做出了数据分析，结果得出了一个规律：该商品的价格每上涨x%（x>0），那销售的数量就减少kx%（其中k是一个正常数）. 目前，该商品的定价是a元，销售的数量是b个. 那当k=时，该商品的价格上涨多少，就能让销售总额达到最大？在上涨过程中，如果想让销售总额不断上升，那k的取值范围是多少？

这个问题来源于实际，需要学生在分析的过程中将其进行抽象，以得到一个与函数相关的数学模型（这里用到数学抽象与数学建模，而这正是核心素养的两个重要组成部分）. 于是学生应当建立起这样的关系：销售总金额y=a（1+x%）·b（1-kx%）. 这是问题解决中最为关键的一步，这一关系式的得出，是学生剥离了具体的销售情境，抽象出其中的函数关系后的产物. 这一过程是典型的问题解决过程，是学生综合能力运用的尝试.

值得一提的是，在两个问题的解决过程中，也涉及重要的问题解决策略，比如说第二个问题的解决过程中，由于进一步的推理，可以发现这是一个开口向下的图像，因此在判断k的取值范围时，可以根据图像表现出来的单调性，来迅速地判断k的取值范围. 这种问题解决思路的优化，实际上也体现了学生的问题解决能力，在新课教学中可以通过两种问题解决思路的比较，来帮学生形成认识. 具体不赘述.

综上所述，高中数学教学中要抓住能力培养的基本点，从学生需要的角度培养学生的能力，这样才能让能力培养真正落到实处，而能力形成了，核心素养的培育也就不是空话了.