Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders模型的参数估计

魏超，许方,张碧桐,田燕

(1.安阳师范学院 数学与统计学院,河南 安阳 455000;2.安阳师范学院 校医院,河南 安阳 455000)

0 引言

众所周知,每个领域或多或少都存在随机现象。随机微分方程是研究随机现象的重要工具,并广泛应用于物理、化学、医学和金融等领域随机现象的建模[1]。在实际应用中,由于受到随机因素的干扰,导致随机微分方程的参数全部或部分未知。因此,随机微分方程的参数估计已经成为亟待解决的关键性问题。随着Arato等学者在1962年解决了存在于物理学中的参数估计问题[2],参数估计理论逐渐发展起来。在过去的几十年里,学者们运用极大似然估计法[3-4]、贝叶斯估计法[5]和M-估计法[6]等方法研究了连续观测下随机微分方程的参数估计问题。然而,在工程实践中,任意时间段对系统状态进行连续观测是很难实现的。所以,研究离散观测下随机微分方程的参数估计问题具有重要的工程意义和实用价值。近几十年来,学者们将数值方法与最小二乘法等参数估计方法相结合,分析了离散观测下随机微分方程的参数估计问题[7-9]。

短期无风险利率是金融市场上最重要的价格变量之一,它直接决定了相关金融产品的定价和利率风险的管理。Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders(CKLS)模型是典型的短期利率模型,由Chan等人在1992年提出[10]。多数单因素模型都可以通过确定CKLS模型中的参数进行表示,例如:Vasicek模型、CIR模型、Dothan模型、B-S模型等。近几年来,一些学者对CKLS模型的参数估计问题进行了研究,并取得了优异的成绩。例如:何云中[11]运用Hermite多项式法分析了CKLS模型的参数估计;Fredd和Gallego[12]利用极大似然估计法讨论了CKLS模型的参数估计,给出参数估计量的表达式并进行了数值模拟。

虽然学者们对CKLS模型的参数估计问题进行了一定的研究,但是在已有的研究成果中,并未给出估计误差的解析表达式,也缺乏对参数估计量渐近性质的分析,没有从理论上分析所得估计量的有效性。在本文中,我们将Euler方法与极大似然估计法相结合,给出参数估计量和估计误差的解析表达式,分析了漂移项和扩散项参数估计量的强相合性,并通过数值例子验证了所得估计量的有效性。

1 问题描述

本文研究如下随机微分方程描述的Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders模型的参数估计问题:

dXt=k(θ-Xt)dt+σXtγdWt,X0=x0,

(1)

其中,k,θ,σ为未知参数,γ为常数,且γ∈(0,1)。漂移因子k(θ-Xt)确保了利率的均值回归,即,利率会趋向于一个长期值θ。

由于(1)式是非线性随机微分方程,无法得到转移密度函数的解析表达式。因此,本文运用Euler数值方法和极大似然估计法相结合来解决参数的估计问题。首先运用Euler方法离散化连续时间扩散过程,然后基于独立的标准正态随机变量定义一个新变量,并利用极大似然估计法求得参数的估计量。在阐述具体的过程之间,我们先给出一些假设条件。

1.k,θ,σ为正值,x0>0且x0与Wt独立。

3.存在常数L>0,满足|k(θ-x)|≤L(1+|x|).

现在,我们给出获得似然函数和参数估计量的详细过程。

对Δt>0,考虑以等距时间点列t0,t1,t2,…,tn,ti=iΔ离散化方程(1)可得

(2)

其中,εti是独立同分布服从标准正态分布的序列,且对每个i,εti都与{Xtj,j

因此,Zti的密度函数为

进而,得到似然函数的表达式

对数似然函数为

(3)

解方程组:

可得参数估计量为

2 主要结论

由于

且

同理,

令XM=sup0≤ti-1<∞{Xti-1},容易得到

证明

根据Ito引理,得到

d(Xtu-Xti-1)2=2(Xtu-Xti-1)k(θ-Xtu)dtu+2(Xtu-Xti-1)σXtuγdWtu+σ2Xtu2γdtu.

所以,

因此

应用Holder不等式和Cauchy-Schwarz不等式,得到

由于

且

Ε|Xtu-Xti-1|8=O(Δ4),

根据假设条件2和3,可得

由于

且

可得Ε〈M〉t=nO(Δ2).

3 模拟

表1 k,θ,σ2极大似然估计量的模拟结果

4 结论

本文研究了离散观测下Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders模型的参数估计问题,给出漂移项和扩散项参数估计量的解析表达式,证明了估计量的强相合性,并通过数值例子验证了所得极大似然估计量的有效性。本文的创新之处在于给出了Chan-Karloyi-Longstaff-Sanders模型估计误差的解析表达式,分析了估计量的强相合性并给出了数值例子,这些问题在已有的成果中并未研究。今后,我们要考虑扩散项和漂移项均含有未知参数的一般非线性随机微分方程的参数估计问题。