正态总体方差和标准差的无偏估计

孙翠先，步金芳

（1.唐山学院基础教学部，河北唐山063000；2.唐山职业技术学院基础部，河北唐山063000）

正态总体方差和标准差的无偏估计

孙翠先1，步金芳2

（1.唐山学院基础教学部，河北唐山063000；2.唐山职业技术学院基础部，河北唐山063000）

在正态总体分布下，给出了方差及标准差的矩估计量和极大似然估计量，讨论了两者之间的关系，得出两类估计量相同，并进一步给出无偏估计量。

正态总体；标准差；方差；无偏估计

0 引言

1 正态总体方差和标准差的估计

设总体X服从正态分布N（μ，σ2），可知期望E（X）＝μ［2］，方差D（X）＝σ2，标准差因为总体X的分布有两个未知参数μ，σ2，所以应考虑未知参数的估计量。（X1…Xn）是来自该总体正态的一个简单随机样本。

1.1 矩估计量

总体一二阶原点矩E（X）＝μ，E（X2）＝D（X）＋［E（X）］2＝σ2＋μ2，于是，按矩估计法得方程组μ＝是样本的一二阶原点矩。于是解得未知参数期望和方差的矩估计量为

1.2 极大似然估计量

设X1，X2，…，Xn是N（μ，σ2）的样本，要求μ与σ2的极大似然估计，令样本的密度函数作为似然函数。因此L（θ）＝对正态总体有似然函数

1.3 矩估计与极大似然估计的关系

对于正态分布总体来说，μ，σ2的矩估计与极大似然估计是相同的。同时也得到了σ的估计量＝S。

2 估计量的无偏性

设X1，X2，…，Xn是N（μ，σ2）的样本，讨论上述估计量的无偏性。设总体X服从正态分布则X珡是μ的无偏估计量。

因为E（S2）≠σ2，则S2不是σ2的无偏估计量。

下面讨论σ的估计量的无偏性，为此需要证明下面的引理。

当y＞0时，FY（y）＝Fx2（y2），两端对y求导，得

证毕。

定理1 S不是σ的无偏估计量。

证毕。

下面求σ，σ2的无偏估计量。2

则σ的无偏估计量为λS。

证明 由定理1可知

定理3 σ2的无偏估计量为

3 结语

正态总体情况下，均值μ的无偏估计是珡X，方差σ2，标准差σ的无偏估计是若θ＝σ与g（θ）＝θ2，当＝λS是θ的无偏估计量时，g（）不是g（θ）的无偏估计量。

［1］ 沈恒范.概率论与数理统计［M］.4版.北京：高等教育出版社，2003：171.

［2］ 工科数学课程教学指导委员会本科组.工程数学例题与习题［M］.北京：高等教育出版社，1996：219.

（责任编校：夏玉玲）

Unbiased Estimation of Variance and Standard Deviation Based on Normal Population

SUN Cui－xian1，BU Jin－fang2

（1.Department of Foundational Teaching，Tangshan College，Tangshan 063000，China；2.Department of Foundational Teaching，Tangshan Vocational and Technical College，Tangshan 063000，China）

Under population distribution of normal，moment estimation and maximum likelihood of variance and standard deviation are given.Its relation is discussed and it is concluded that two estimations are same.Finally，unbiased estimation is given.

normal distribution；standard deviation；variance；unbiased estimation

book=24,ebook=24

O212.1

A

1672－349X（2012）03－0005－02

2012－03－07

孙翠先（1963－），男，河北丰南人，教授，主要从事概率统计研究。