兼顾基础与能力 关注素养与发展*——2018年北京市数学中考试卷评析

☉江苏省无锡市太湖格致中学 陈 锋

☉江苏省无锡市水秀中学 张杭嫣

2018年各地中考已陆续落下帷幕，纵观各地数学中考卷，在体会命题团队巧思妙造，精心构思之余，更感受到试题所散发的自然数学的魅力和其对日常教学的引领.其中，以2018年北京中试题更为突出.2018年北京数学中考试题共28题，满分100分.试题以《义务教育数学课程标准（2011年版）》为依据，立足教材；以促进学生核心素养发展为评价理念，稳中求变，充分体现了低起点、宽角度、多层次、重运用的特点，既全面考查了初中数学的基本知识与基本技能，又兼顾了应用能力与创新意识的考查，不仅有利于不同层次的学生发挥出自己不同的水平，而且对日常教学有着较好的指导作用.

一、注重基础知识，突出生活数学

1.结构稳定、内容合理

作为一份义务教育阶段的终结性考试试卷，命题者做到了易、中、难题的比值约为7∶2∶1，试卷从“四基”入手，较好地覆盖了初中数学教材的核心知识模块，考试内容分值比例恰当，基本符合《考试说明》要求，重点考查了“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”三大板块，同时也渗透了“综合与实践”的相关内容.

项目 分值 权重试题类型分布选择题 16 16%填空题 16 16%解答题 68 68%试题内容分布数与代数 43 43%图形与几何 41 41%统计与概率 10 10%综合与实践 6 6%

2.前后贯通、思路清晰

回顾2016、2017年的北京中考试题，可以发现有一些题型前后贯通，可谓是组成了一部“连续剧”，在观看这部“连续剧”的过程中，我们发现命题者思路清晰，逐步展开问题引导，而答题者拾级而上，逐步形成解题思路和方法.

例1 （2016年北京市数学中考试题第16题）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

如图1，已知：直线l和l外一点P.P l图1求作：直线l的垂线，使它经过点P.作法：如图2.（1）在l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ；P A Q图2 B

请回答：该作图的依据是_____________________.

例2 （2017年北京市数学中考试题第16题）图3是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程

已知：Rt△ABC，∠C=90°，来作△ABC的外接圆.

作法：如图4.

图3

（2）作直线PQ，交AB于点O；

（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O.

⊙O即为所求作的圆.

请回答：该尺规作图的依据是_______________.

例3 （2018年北京市数学中考试题第17题）是小东设计的

“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使得PQ∥l.作法：如图5.

（1）在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；

（2）在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；

（3）作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.

证明：因为AB=__________，CB=__________，

所以PQ∥l（________）（填推理的依据）.

在这个连续进阶的过程中，学生逐步加深了对尺规作图的理解和思考，2018年的第17题突破了前三年只要回答一个作图依据的限制，从阅读入手，进一步完成尺规作图，最终寻找作图依据，对思维的考查更加全面与完整.类似这样的“连续剧”，北京中考卷中还能找出很多，通过这样的题组练习，让考生产生熟悉感，建立自信心，但更重要的是让考生体会问题中所蕴含的思维方法和知识间的联系，逐步掌握研究问题的一般规律，在提高考分的基础上进一步提炼方法，事半功倍.

图4

图5

3.关注应用，联系生活

试卷充分体现了数学源于生活最终又应用于生活的课程理念，加大了对数学阅读的考查，又将数学文化融入了数学，既提升了学生的数学素养，又促进了学生的数学理解.如第8题的老北京地点问题，第14题的公交车线路选择问题，第15题的租船费用最低问题，第25题的课程成绩问题，都选择了考生日常所熟悉的问题，在解答的过程中既考查了学生分析和解决问题的能力，又增强了学生学习数学的兴趣，让学生逐步养成用数学的观点看待问题的能力.

二、注重思想方法，聚焦核心素养

1.特殊到一般——解题锲入的基本手法

“从特殊到一般”是我们数学解题时常用的方法，2018北京卷命题者在出卷时，就注意引导学生沿着这条道路行走.

例4 （2018年北京市数学中考试题第23题）在平面直角坐标系xOy中，函数y==（x＞0）的图像G经过点A（4，1），直线L∶y=x+b与图像G交于点B，与y轴交于点C.

（1）求k的值.

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记图像G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W.

①当b=-1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围.

图6

在本题第（2）问中，命题者先设置了特殊值当b=-1时，求取区域W内的整点个数；正是在这一小问的解题过程中，考生寻找到了解题的常规思路和方法，如图6，寻找阴影区域内的整点个数，显然A（4，1），C（0，-1）限制了区域内整点纵坐标的上下限，而条件中的不含边界则确定了符合题意的整点纵坐标只能为0，同样的方法可以推得，横坐标只能为1、2、3，故得这一小问的整点个数为3个；正是在这一小问的解题过程中，考生寻找到了解决问题的入手点，进而到第②小问中，特殊值b=-1消失，但考生有了第①小问的解题经验，他们可以沿着刚才的解题思路继续前行，从第①小问中的三个整点到第②小问中的四个整点，我们不由追问，直线y=x+b该向哪个方向平移呢？答案是显然的，向右平移，此时（4，0）从边界上的点变成了区域内的点，符合题意，但新的问题立刻产生，这样的平移是无限的吗？答案是否定的，因此我们要继续寻找这样的情况到什么时候结束呢？是右侧的（5，0）还是下方的（1，-1）先进入区域呢？经过计算可以发现，当y=x+b过点（5，0）和（1，-1）时，b为同一个值-，故当b=-时，（5，0）和（1，-1）同时出现在区域边界上，此时区域内还是四个整点，突破b=-时，区域内立刻出现了六个整点，故而可得若区域W内恰有4个整点，b的取值范围为-≤b＜-1.此时我们通过先找临界，再定范围的方法得到答案，体现了从特殊到一般的解题方法.值得注意的是取值范围的两端临界我们要特殊关注，等号能不能取要认真分析.当然，此题到这儿没有全部完成，但后续内容方法一致，就不再继续解答.回顾本题的解题过程，我们沿袭命题者提供的从特殊到一般的解题思路，进一步继续努力，用临界值完成了最后的求解，层次分明，难度递进，引领考生不断进行深入思考，进一步变考试过程为学习过程.

2.数形结合——解决函数的至关法宝

数形结合是初中阶段最为重要的数学思想之一，它从七年级学数轴时开始萌芽，到八年级的平面直角坐标系正式发展，再到各类函数的学习中茁壮成长，当学生在函数学习的过程中不断感悟到数形结合所发挥出的强大的功效时，这一思想正式在学生心中生根、发芽.

2018年北京中考卷中对这一思想的应用，得到了充分的体现.

如上题例4的解题过程中，第（2）问中①我们需要根据题意画出反比例函数与一次函数的草图，进而在图像上描出图像G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W即阴影区域，直观图形产生但无法精确定位，于是我们利用函数表达式计算出A、B、C及一次函数与x轴交点的坐标，用数据精确计算答案；第②小问则从一次函数图像的平移入手，图形开道，数据计算跟上；并且从函数的本质入手，一次函数图像平移形成的区域内整数点的问题，也可以从一元一次不等式的整数解视角解读，这样就让考生在更大范围内再一次领略了数形结合的风采，掌握了函数解题的精髓.

3.互相融合——解题能力的思想精髓

除从特殊到一般、数形结合等思想方法外，2018年北京卷还融合了诸多思想，如分类讨论（例4未完部分即需要对在b＜0的基础上再对b＞0进行分类讨论）、转化、函数、运动、建模等，考查学生对知识的理解能力，将未知的问题转化成已知问题的迁移和应用能力，所有这些思想与能力的考查，都自然地融合在层层推进的题意之中，所有这些思想蕴含于答题思考的发生、发展和过程中，是初中数学学习的精髓.

三、注重基础模型，强调动手实践

1.积累基本图形，提炼基础模型

几何证明中，善于分离和聚焦基本图形，往往能为解题排除干扰，使关键信息浮出水面，进而快速找到问题解决的突破口.

例5 （2018年北京市数学中考试题第27题）如图7，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.

（1）求证：GF=GC；

（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.

根据条件点A关于直线DE的对称点为F，我们可以立刻找到基本图形：连接AF，则△ADE≌△FDE，进一步证得△FDG≌△CDG，进而产生∠EDG=45°，从而使问题（1）得到快速突破；接着根据条件过点E作EH⊥DE产生又一个基本图形——“K字形相似”产生辅助线：作HP⊥AB交AB的延长线于P，接合∠EDG=45°使相似进化成了全等，同时也使问题（2）中的线段BH与AE转化到了一个Rt△BPH中，进一步证得BP=AE=HP，从而求解.

在本题的求解过程中，两次辅助线的产生都是依托于两个基本图形而自然产生的，它是思维与方法的智慧结晶.正是命题者注重了对基本图形与基础模型的考查，才使得我们能在解题时从纷繁复杂的图形中一下子识别、捕捉到这些图形，从而轻松求解.

图7

2.尝试动手实践，关注学习过程

新课标从“双基”到“四基”的变化，特别强调了基本思想和基本活动经验，2018年北京卷第24题可谓是这一变化的生动体现.

例6 （2018年北京市数学中考试题第24题）如图8，Q是AB与弦AB所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接PQ并延长交弦AB于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；

图8

X/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.62 4.67 3.76 2.65 3.18 4.37 y2/cm 5.62 5.59 5.53 5.42 5.19 4.73 4.11

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1）并画出函数y1，y2的图像；

图9

（3）结合函数图像（图9），解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为_____cm.

初看此题，学生会习惯性地套用y1，y2是x的一次函数、二次函数还是反比例函数呢？但显然毫无头绪.试题忽略了具体的函数类型，而是从研究函数的一般方法入手，具体体现在人教版教材上册的内容，先是任意取一些x，y的对应数据，以列表的方式的呈现，任何一个函数问题的研究都是从自变量，对应法则，函数这三个方面开始，当然这也是研究一般数学问题的普遍方法，即回归概念，回归数学本质.而函数的表达形式有三种，即表达式法，表格法，图象法，而这三种表达形式在本题都一一呈现了，而在画函数图像时，又是根据基本方法列表，描点，连线.至于第三问的解决，就是让学生从图像的角度来解决，体现了函数本质，从一个确定的量到另一个确定的量，也进一步强化了数形结合.

命题者的高明之处在于让试题解答弱化了运算、强化了思考，少了点套路、多了些理解.引导教师在教学中避免出现只关心结果、不注重过程的现象，这正是命题者用实际行动引导教师更新教学理念、转变学生学习方法，不要只是一味地关注学习结果，更应该关注学习的过程及方法，它们才是解决数学问题的根本.

四、抓住数学本质，回归课堂教学

数学课堂不能仅仅停留在“教”的层面，更应引导学生如何去“学”.事实上，学生掌握数学知识必须经历由“学”到“悟”的过程，然后才是应用.从考前的课堂观察，到2018年的北京的这份试卷，对教师的课堂教学有很强的正面导向作用.试题本身只是一个载体，我们需要研究的是命题者透过这个试题想表达一种什么样的观点，而无论是第23题还是第24题，都是引导教师重视课堂上学生对知识获取的方式.同时，我们都能感受到，学生的学习能力和创造能力应该值得我们老师去关注、培养和信任.让学生依据自己的认知特点和知识背景能够找到不同的路径通向结果，殊途同归的过程中创造能力也就体现出来了.因此，关注学生“学数学”需要挖掘促进学生“深度思维”的资源.就需要在平时的教学中，关注学生“学数学”的过程，设置具体的问题情境，引导学生在相对复杂的情境中，把握数学知识内在的联系，以增进学生对数和形的感悟能力.我想这些才是我们应该从2018年的北京的这份试卷背后所能真正感受到的数学本质和教学内涵.J