深入才能浅出：一类求参数取值范围试题的解析①

2018-08-30李昌成杨军

数学通报 2018年7期

关键词：凹凸增函数端点

李昌成杨军

(1.新疆乌鲁木齐市第八中学 830002；2.新疆师范大学数学科学学院 830054)

1 问题的提出

2017全国高考数学Ⅱ卷文科第21题第(Ⅱ)问(例1)是一道求参数取值范围问题：

例1设函数f(x)=(1-x2)ex.当x≥0时，f(x)≤ax+1，求a的取值范围.

求解例1的方法之一是“分离参数法”，但分离参数后求对应函数的最值时，运算非常复杂(有兴趣的读者可尝试之).而该高考试题所附参考答案的解法，不易理解掌握.同时所见一些解法仍未能体现其源流，故本文以2017全国高考数学Ⅱ卷文科第21题和2016年四川高考数学理科第21题第(Ⅱ)问为例，拟深入分析“当x∈(m,n)时，f(x)≤ax+b恒成立，求a的取值范围”这类试题的本质，并据此给出适于高中生认知水平的初等解法.

2 试题的本质分析

从几何意义看，要使x∈[0,+∞)，f(x)≤ax+1成立，只需当x∈[0,+∞)时，射线y=ax+1始终在函数f(x)=(1-x2)ex图象的上方(仅在端点x=0处重合，如图1).进一步发现，直线y=ax+1位于曲线f(x)的切线位置是f(x)≤ax+1成立的极限情形：即若射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置或其上方时，均有f(x)≤ax+1；若射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置下方时，f(x)≤ax+1不恒成立(图2).

之所以如此，关键原因是f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函数(即曲线是凸的).如若不然，则不能保证“当射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切线位置或其上方时，均有f(x)≤ax+1”.例如图3中的反例.

图1

图2

图3

至此，揭示了试题的本质：因为f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函数，故条件“x≥0时，f(x)≤ax+1”等价于“射线y=ax+1(x∈[0,+∞))位于曲线f(x)=(1-x2)ex在点x=0处的切线位置或其上方”.

一般地，若函数f(x)在x∈[m,n]上是凸函数，并且函数y=f(x)与y=ax+b在区间[m,n]左(或右)端点处的函数值相等，则“当x∈[m,n]时，f(x)≤ax+b成立”等价于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲线y=f(x)在端点处的切线位置或其上方”(图4).

同理，若函数f(x)在x∈[m,n]上是凹函数，并且函数y=f(x)与y=ax+b在区间[m,n]左(或右)端点处的函数值相等，则“当x∈[m,n]时，f(x)≥ax+b成立”等价于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲线y=f(x)在端点处的切线位置或其下方”(图5).

图4

图5

从而，要求参数a的取值范围，只需判断函数y=f(x)在某一区间上的凹凸性，并求出曲线y=f(x)在区间端点处的切线方程，进而根据“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲线y=f(x)在端点处的切线位置或其上(下)方”即可求出目标参数的取值范围.从而表明，此类试题是基于函数的凹凸性命制的.

3 基于函数凹凸性的高观点解法

根据以上分析，下面给出例1基于函数凹凸性的高观点解法.其中用到高等数学中判断函数凹凸性的方法如下[2]：

∀x∈I，若二阶导数f″(x)<0，则函数f(x)是区间I上的凸函数；若二阶导数f″(x)>0，则函数f(x)是区间I上的凹函数.

解由f′(x)=(-x2-2x+1)ex知，曲线f(x)在点x=0处的切线方程为y=x+1.

令f″(x)=(-x2-4x-1)ex=0，

f″(x)<0，此时函数f(x)为凸函数；

f″(x)>0，此时函数f(x)为凹函数.

故f(x)在x∈[0,+∞)上是凸函数，所以当x∈[0,+∞)时，曲线弧f(x)始终位于其在在点x=0处的切线y=x+1下方(仅在切点处重合).从而当x∈[0,+∞)时，f(x)≤x+1恒成立.从而要使x∈[0,+∞)时，f(x)≤ax+1成立，当且仅当a≥1.

4 适于高中生认知水平的初等解法

上述基于函数凹凸性的高观点解法，揭示了这一类问题的本质，但对高中生而言，因为没有学习函数凹凸性的定义及其判断方法，故仍难以理解.那么，如何基于函数凹凸性的本质找到适合高中生认知水平的初等解法呢？

通过观察图6与图7发现，若函数f(x)在区间[m,n]上为凸(凹)函数.并且曲线f(x)在区间[m,n]左端点处的切线为y=kx+l，则有向线段AB=f(x)-(kx+l)在区间[m,n]上一定是减(增)函数.

图6

图5

由此得到适于高中生认知水平的初等解法：求出曲线f(x)在区间[m,n]端点处的切线方程y=kx+l，构造函数h(x)=f(x)-(kx+l)，进而判断函数h(x)在区间[m,n]上的单调性，从而最终求出参数的取值范围.下面利用上述方法再解例1.

解由f′(x)=(-x2-2x+1)ex知，曲线f(x)在点x=0处的切线方程为y=x+1.

构造函数h(x)=(1-x2)ex-(x+1)，

则h′(x)=(-x2-2x+1)ex-1，

h″(x)=(-x2-4x-1)ex.

当x≥0时，显然h″(x)<0，故h′(x)在区间x∈[0,+∞)上是减函数，从而h′(x)≤h′(0).又h′(0)=0，故h′(x)≤0(仅在区间左端点处取等)，由此得函数h(x)=(1-x2)ex-(x+1)在区间x∈[0,+∞)上是减函数.

故当x∈[0,+∞)时，h(x)≤h(0)恒成立，即(1-x2)ex≤x+1恒成立.从而要使x∈[0,+∞)，f(x)=(1-x2)ex≤ax+1成立，只需x+1≤ax+1，此时a≥1.

下面证明，当a<1时，对x≥0，f(x)≤ax+1不恒成立.

同理，构造函数g(x)=(1-x2)ex-(ax+1)，则g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，g″(x)=(-x2-4x-1)ex，显然g″(x)<0，从而g′(x)在区间x∈[0,+∞)上是减函数.

又g′(0)=1-a>0，当x→+∞时，g′(x)→-∞.故必存在充分大的正数m，使得g′(m)<0.由零点存在定理可知，存在唯一的x0∈(0,m)，使g′(x0)=0.从而根据g′(x)为减函数可知：当x∈(0,x0)时，g′(x)>g′(x0)=0，即g(x)在区间(0,x0)内是增函数.从而g(x)>g(0)，即f(x)>ax+1成立.从而表明，当a<1时，对x≥0，f(x)≤ax+1不恒成立.

综上，可知a的取值范围为[1,+∞).