加强数学阅读能力考查 展现逻辑思维功底①

任子朝 陈 昂 赵 轩

(教育部考试中心 100084)

1 问题的提出

实行课程标准后，数学科高考加强了统计内容的考查，对于数学应用能力的考查多是以统计素材为依托，体现了考查的综合性，使试题富有时代气息，展现“互联网+”大数据时代特色.近年试题的题目背景更加贴近实际，更能体现数学工具解决实际问题的作用.但随之产生的一个结果是，考生对新颖的试题形式不适应，得分率明显偏低.下面以近三年全国I卷的数学建模应用试题为例进行分析.[1][2]

表1 2015年至2017年统计与概率试题统计表

这些题文理科的得分率都不高，特别是文科，连续三年没有超过0.2.2017年理科第19题的得分率比后面的解析几何题还低16个百分点.

图1 2017年I卷理科第19题难度分布图

图1中横轴是考生的总分，纵轴是考生在第19题的得分率.从中可以看出，总分在60分以下的考生几乎没有得分，总分在110分以上的考生得分率才能达到50%.

图2中，横轴将考生按分数划分为5组，纵轴是考生的得分率.图中曲线依次为得分为1分至12分的得分率.从图中可以看出，最低一组只得1分的人数只有17%，有80%以上的人得0分.4组以下的考生没有人得满分，最高一组得满分的考生不超过3%.

图2 2017年I卷理科第19题考生分段得分图

文理科试题得分率不高的原因可以总结为试题联系实际，并不是以考生熟悉的形式呈现，运算量比较大等，但最重要的原因是学生读不懂试题，不能理解题意，所以没有解题的基础.因此从本题看，数学阅读能力是解决问题的关键.提高数学阅读能力对提高考生的抽象概括素养、数学建模素养以及今后更好地在本职工作中应用数学至关重要.

2 高考中对数学阅读能力的考查

2.1 数学阅读的本质

数学阅读是从背景、数据等材料中获取信息的心理活动过程，不仅包括对数学文字语言、符号语言、图表语言的理解、记忆、认知等过程，还包括对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等一系列思维过程，是区别于一般阅读的较为复杂的智力活动.

数学阅读是学生从数学书面语言代码中独立地提取意义的心理过程.数学阅读能力是在学生阅读技能的基础上，在阅读过程中逐步形成和发展起来的，并且从阅读的效果和速度中表现出来的一种独立获取数学知识、信息、问题的能力.

正因为数学阅读不同于一般的阅读，其中包括对逻辑结构的分析和理解，所以数学阅读是以逻辑思维能力为基础的能力，要从提高逻辑思维能力的角度分析问题，提出解决问题的策略.

2.2 高考对数学阅读能力的要求

高考数学试卷对数学阅读能力的考查是全方位的，包括阅读数学材料，理解其中的数学语言，还包括阅读应用问题的材料，理解生活语言，从中抽象数量关系，利用数学语言进行描述，进而应用数学方法进行解决.高考对数学阅读能力的要求包括读懂、理清、弄通、会做.读懂是指理解题目每一句话的意思，内化局部信息.高考试题一般一句话表达一个独立的含义，包括对题目引入概念的解释、题目中各个数量的关系、题目的要求等.理清是指能够找出题目中重点、难点等关键信息，必要时可以进行标注，以便引起重视.弄通是指通览全题，寻找各信息之间的联系，整体加工信息，是从局部到整体的过程，从总体上把握全题，了解试题已知条件和要求的结论间的关系.最后会做就是知道解题所要求的基本知识、原理，掌握分析方法、解题思路和步骤以及需要注意的问题.而后具体的解题过程就是运用学过的概念和知识进行思考辨析并用正确的语言表述出来，能对问题展开较为深入的探讨.

2.3 高考应用试题的阅读特点

首先因为数学重在分析、推理和抽象概括的特点，数学语言通常比较抽象，试题虽然是基于生产、生活、科研背景，但重点是研究其中的数量关系，而这种关系是蕴含在题目的叙述中，比较抽象.理解这些关系需要有一定的相关理论知识的储备和基础，一定的抽象和概括能力.其次是数学语言形式的多样性：文字语言、符号语言、图像语言三种语言形式并存.[3]在对题目的阅读中，需要将三种语言相互转化，这就给数学阅读带来了较大的困难.第三，由于考试的时间要求，数学阅读材料呈现出严谨性及精简性，题目的叙述几乎达到了一个字不多也不能少的地步.不像一般的科普文章通俗易懂.最后由于应用问题牵涉的面比较广，必须把方方面面的关系、限制条件都说清楚，防止一切歧义的产生，保证题目的科学、严谨，所以数学应用问题一般都比较长.

2.4 考查数学阅读能力的试题类型

试题考查的数学内容涉及各个方面，形式主要有图表类型、生活语言文字类型和复杂数学关系类型.

(1)图表类型的应用问题的特点就是包含一定数量的图表，强调对图表的直观感受和理解，从图表中识别和提取信息、数量关系等.

例1(2016年理科Ⅲ卷第4题)

某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图. 图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃. 下面叙述不正确的是

(A)各月的平均最低气温都在0℃以上

(B)七月的平均温差比一月的平均温差大

(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同

(D)平均最高气温高于20℃的月份有5个

分析本题选取考生熟知的源于生活的实际问题，绘制了一个新颖的统计图，要求考生读懂该统计图并回答问题，考查考生对图表的辨识、理解能力，对新知识的学习能力.

例2(2017年理科Ⅱ卷第18题)

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

①设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

②填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法

③根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).

分析试题以现实社会生产实践中，水产品养殖方法的创新问题为背景，试题的第一问设计为根据所给直方图，估计某事件的概率，考查考生对直方图的概念、用频率分布估计总体分布的理解与应用；第二问设计为根据直方图对数据进行整理，然后根据整理的数据进行随机变量间独立性的检验，考查考生的数据处理与分析、应用能力；第三问设计为，根据直方图，估计总体中位数，考查考生对样本中位数的计算方法的掌握程度. 本题的基础和解题的关键就是对直方图的正确识别和理解，对读图和识图能力都提出了较高的要求.

(2)生活语言文字类型的应用问题就是包括比较长的用生活语言叙述的关系，重点是理解生活语言，从中抽象数量关系.

例3(2016年理科I卷第16题)

某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料. 生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时. 生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元. 该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.

分析本题的背景是企业的生产安排问题，企业的利润受到材料数量和工时的限制, 所以本题的本质是带有约束条件的线性规划问题.本题涉及生产、生活的语言，如产品、材料、利润、重量单位、货币单位等，而且数量众多，考查考生对实际问题的理解和应用数学手段解决实际问题的能力，考查数形结合的数学思想.

(3)复杂数学关系类型的试题特点是用比较抽象、严谨、规范的数学语言叙述问题，解题的重点是对数学语言的理解，厘清各元素之间的关系.严谨性和抽象性是数学语言的特征之一，理解数学语言是数学阅读的核心问题.

例4(2017年理科I卷第12题)

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是

A．440 B．330 C．220 D．110

分析本题考查等差数列、等比数列的前n项和与通项公式，考查逻辑思维能力、运算求解能力、创新应用能力.

本题以考生熟知的源于生活的“软件激活码”为切入点，以等差数列、等比数列为素材，着重考查考生的运算求解能力和创新应用能力以及化归与转化的思想.本题数量关系复杂、层次叠加，要正确作答，考生需要知道求什么，怎么求．考生在读懂题、审准题的基础上，破题的关键就在于将问题的求解转化为有关的数列求和问题．这要求考生对于等差数列、等比数列的定义和公式能够熟练掌握，同时也要求考生有较强的分析问题、解决问题的能力．

3 考查数学阅读能力新举措

针对考生在数学阅读问题的表现，解决考生所遇到的难题，2018年高考对考查思路进行了调整，采取了全新的模式，通过不同层次、不同类型的试题，多种形式、多个角度考查数学阅读能力和建模应用能力.2018年高考试卷采取了两项新举措.

3.1 降低数据整理要求，增加开放要求

一是考查数学阅读能力更基础、更本质的要求，试题位置前移，将试题难度调整到与考生水平相适应的程度.在题目中，将数据准备阶段的步骤减少，提前把数据整理好，给考生呈现比较规范的格式或给出数据的回归方程.采取“重心后移”的策略，把考查的重点后移到对数据的分析、理解、找规律.对数据的解释开放性增加，给出多种解释，考生只要给出一种解释，或者其他合理的解释都可以得分，鼓励考生创造性地解答问题.

例5(2018年理科Ⅱ卷第18题)

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

分析本题设计之初是先给出折线图，标明各年的数据，然后提出问题：求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.要求考生自己建立回归模型，进行预测.这不但要求考生判断是选择全部数据还是选择部分数据，而且在建立回归模型时要进行大量的数值计算，相对来说，数值计算的工作量比较大.在研磨过程中，调整了思路，给考生建立了两个回归模型，要求考生根据要求做出判断，这就大幅度地削减了计算的工作量，把考查的重点转移了对模型的比较和判断.体现了统计方式的应用价值，同时说明应该根据具体情境的要求选择合适的数据.与之配套的是试题位置前移至解析几何和立体几何之前，到达第二大题的位置.(解析几何试题也前移至立体几何试题之前，这是今年的又一改革举措.)

例6(2018年理科Ⅲ卷第18题)

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

第一种生产方式第二种生产方式865 5 6 8 99 7 6 270 1 2 2 3 4 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3 281 4 4 52 1 1 0 090

(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表；

超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

分析本题的原型是逐个给出了两种生产方式完成各种任务的时间，如

第一种生产方式：68,72,76，….

第二种生产方式：65,65,66，….

给出了空白的茎叶图，要求考生自己填写茎叶图.虽然填写茎叶图的难度不大，但需要仔细阅读、记忆每个数据，需要一定的时间.研磨过程中，删除了两组数据，并且把茎叶图填好，直接呈现给考生.这样一方面是减少了题目的篇幅和阅读量，另一方面节省了填写茎叶图的时间.把考查的重点后移到了对于两种生产方式效率的比较和判断，题目更加开放，考查的重点更加突出、明确.答案给出了四种理由，而且其他合理的理由同样给分，给了考生更多的发挥和思考的空间.同样试题位置前移至第二个解答题的位置.

3.2 试题位置后移，阅读要求提高.

通过设置更加复杂类型的情境，考查更加深入，发挥应用问题的区分功能.试题后置，将应用问题调整到较后的问题，避免考生中间卡壳，先把前面的试题做好，最后集中精力解决应用问题.

例6(2018年理科Ⅰ卷第20题)

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值. 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

分析本题以企业在销售过程中的成本控制问题为背景，着眼于“最小化检验成本”的决策问题设计与设问，所设计的问题有现实意义，与统计与概率的思想和方法之间的联系也很自然，也是学生能够运用所学知识解决的问题.

试题考查的统计与概率知识比较丰富，包括独立重复试验概率模型、二项分布的知识和应用、概率的计算、参数的估计、随机变量期望的计算与应用，同时考查了考生综合运用所学知识解决实际问题的能力，试题具有很好的选拔功能，达到了考查阅读、应用、建模能力的目的．

以往的数学建模应用问题都是设置在第19题，即在函数与导数和解析几何题之前，今年将试题后移到解析几何之后，仅在函数与导数题之前.凸显了考查要求的提高和对应用问题的重视.

4 加强数学阅读能力的培养

数学阅读是有别于其他阅读的阅读方式，培养学生阅读能力是培养学生综合能力、提高学生素质的方法之一.[4]培养数学阅读能力，丰富数学语言系统，提高数学语言水平有着重要的现实意义，其独特作用甚至是其它教学方式所不可替代的.面对考生在高考应用问题解题中的表现和出现的问题，在教学中要针对性地加强对考生数学阅读能力的培养.

(1)克服浮躁心态，踏实阅读

应用问题牵涉的现实生活背景比较复杂，不可能一下子就能读懂试题.要坚定自己的信心，相信通过逐字逐句的阅读，是能够读懂全题的.同样的，阅读能力培养是一个长期的工作，见效较慢，不像逻辑思维能力，空间想象能力，运算能力，数据的收集与处理能力等，这些能力的培养和锻炼比较显性化，通过一段时间的培养会卓有成效.然而数学阅读能力的培养是渗透在平常学习的点点滴滴之中的， 往往需要很长时间的训练才能逐渐见到成效.

(2)掌握阅读策略

数学是一门严谨的学科，有自己的语言，在阅读中对不同的素材内容，采用不同的策略方法.因此教会学生掌握阅读策略是数学阅读教学的重要任务.要针对图表试题、生活语言试题和数学语言试题采取不同的策略.同时数学是一种“数形结合”的语言，所以阅读试题通常也需要学生在三种语言之间的频繁的转换，相互补充，弄清楚试题所表达的意思.

(3)运用阅读技巧

在阅读试题时，学生需要充分理解试题中的每一个数学术语、每一个关系，对数学的文字符号、图形符号都弄清楚，才能更好地明白试题的含义.同时要注意分散难点，分段阅读，分段理解.高考数学试题语言简练、叙述严谨,鉴于数学文本的严密性，在对其进行阅读的时候，不能“跳跃性”的阅读，而应当手脑并用，对阅读材料中的每一个字每一个公式都注意到，并且对重点的地方进行记录，这样才能清楚地理解题目中每一个重要信息.

(4)加强逻辑思维能力培养

高考试题虽然语言简洁，但是所包含的内容却十分丰富，要理解这些语言需要有较高的思维能力与阅读能力.要提高分析能力，理解、抽象试题中的数学关系.采取治本的策略，从根本上解决问题.阅读中不能满足于认识汉字和数学符号，要把重点放在对知识的消化、对试题数量关系的分析、理解和抽象之上.

数学阅读的价值和终极目标是构建数学结构.数学在本质上属于严格的形式演绎体系，数学学科的发展是演绎体系的发展，数学知识内容是形式化运动的产物.阅读过程是数学建构的过程，在阅读过程中，运用元认知理论，通过对数学材料进行部分与整体的交替感知去构建数学结构，去领悟形式化运动，去监控认知过程，逐步使学生由能读、读懂到会读、读透，在提高学生的数学阅读能力过程中，培养学生的素养，提高学生的综合能力.

未来高考改革的方向是不再分文理科，所有考生使用同一张试卷.同时在新高考数学科的考试目标中，数学建模能力是一项重要的关键能力.在今后的数学教学中，应进一步加强数学阅读能力、建模创新能力的培养，特别是要提高包括文科专业考生在内的全体考生的能力，这是课程和高考改革中中学数学教学的当务之急.