自然呼出 自然联系 自然建构——基于追求“自然数学”教学设计与思考

李平香 黄 勇 林晴岚

(1.福建省三明市第二中学 365000；2.福建教育学院数学研修部 350025)

1 教学实录与设计意图

1.1 展现背景，让概念自然呼出，让文化自然渗透

师：章节引入：有人说，大自然是懂数的.不知你注意过没有，树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列……，都遵循了某种数学规律.想知道这种规律，就要进入第二章：数列的学习.

数列是如何定义的呢？我们还是先看看具体的实例.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家，他们经常在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们在沙滩上研究过多边形数：1,3,6,10，…，可以用图中的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数；

类似地：1,4,9,16,…，被称为正方形数，因为这些数可以用图中的正方形点阵表示.

师：今天，这节课让我们一起沿着古人的足迹，进入数的世界，继续数的研究.这两列数中数字之间能否调换顺序？为什么？

生：不能调换顺序，调换了顺序后，表示的意义就不同了.这两列数的共同特点是：按一定顺序排列的一列数.

设计意图将数列概念的现实原型与概念的背景展现出来，让学生感受数列概念产生的自然性，同时，将“多边形数”等数学文化自然渗透.

1.2 类比集合，让符号自然生成，让区别自然体现

数列的概念与表示法

数列的概念：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.

数列与数集的比较

数列数集共同点都是研究数不同点(1)数列中的数有顺序,如数列1,2,3,4,与数列4,3,2,1,是不同的两个数列(2)数列中的数可以相同,如:数列3,3,3,3,…,(1)数集中的数没有顺序,如{1,2,3,4}={4,2,3,1} (2)数集中的数互不相同,如{3,3}错误

师：我们知道“数集中的数”可以称作“元素”，那么“数列中的数”如何称呼呢？

生：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，排在第n位的数称为这个数列的第n项.n为项的序号.

师：类比集合中元素常用小写字母表示，数列中的项可以怎么表示？

生：可以用a1,a2,a3,…，an，…分别表示数列的第1项(首项)，第2项，第3项，…，第n项，….

师： 数列的一般形式：a1,a2,a3,…，an，…简记为数列{an}，其中an是数列的第n项.在数列中，符号{an}与an表示的意义是否相同？

生：不同.因为{an}表示一个数列，不只是一项；而an只表示第n项.

师：对.{an}表示一个数列，不只是一项，通常在前面加上“数列”两字，即“数列{an}”.那数列中的项可以有多少个呢？

生：可以有限个，还可以无限个.

师：我们可以根据数列中的项数：有限和无限，将数列分为两类：有限数列与无限数列.

设计意图通过与集合类比，让学生理解数列符号表示的来龙去脉，从表示形式上体会符号的简洁与抽象，让数列与集合的区别自然地展现出来.

1.3 联系函数，让本质自然揭示，让关系自然凸显

数列的本质离散函数

师：当我们学习新知识时，要关注到所学的新知识与原有的知识之间有无内在的联系，让新知识长在旧知识上，以利于我们从整体上把握数学，构建一个具有强大思维功能的知识体系.

问题数列{an}中的各项ak(k=1,2,3,…,n,…)与各项序号k之间存在着如下的对应关系，这个“对应关系f”是函数吗？

序号n1234…n…项ana1a2a3a4…an…

师：请大家思考一下，可以互相讨论.

生：数列是函数.

师：为什么？

生：因为数列中的每一个序号1,2,3,…，n,…都有唯一的项a1,a2,a3,…，an…与它对应，所以，数列是一个函数.

师：依据函数的定义，可见，数列确实是一个函数.反之，对于一个函数y=f(x)，若自变量x可以取正整数时，我们就可以得到一个数列：f(1),f(2),f(3),f(4),…，f(n)，…

自变量x1234…n…f(x)f(1)f(2)f(3)f(4)…f(n)…数列{an}a1a2a3a4…an…

师：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么我们把an=f(n)(n∈N*)的解析式，称为数列的通项公式.

数列与函数比较

函数数列(特殊的函数)定义域R或R的子集N+或它的有限子集{1,2,3,…,n}表示法列表法、图象法、解析式法列表法、图象法、通项公式法解析式y=f(x),x∈Aan=f(n)(n∈N∗)(称为数列的通项公式)图 象可以是连续或离散的点的集合一些离散的点的集合

师：我们知道确定一个函数，就是要确定定义域和对应关系，同样，确定一个数列也可以通过确定它的通项公式.

设计意图数列的定义缺乏本质的揭示，通过联系函数的概念，让数列的本质自然地揭示，让数列与函数的关系自然地凸显.

1.4 观察归纳，让思路自然暴露，让规律自然展现

数列的通项公式及应用

例1：根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项：

(1)an=3n+1;变式：2018是数列中的项吗？

(2)an=(-1)nn,(n∈N*)

变式①：an=(-1)n，变式②：an=(-1)n-1.

例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

(1)1,4,9,16，…，变式：2,5,10,17，…，

(2)8,8,8,8，…，

(4)10,100,1000,10000, …，变式①：9,99,999,9999, …，变式②：5,55,555,5555, …，

规律方法

①分析项与项的序号n的关系，相邻项是如何变化的；

②注意各项符号特征,如果是分式要注意分别观察分子、分母的特征；

③若关系不明显时，可以将部分项作适当的等价变形，统一成相同的形式，让规律展现出来；

④常见数列：奇数数列、偶数数列、平方数列、99数列、倒数数列、符号数列等通项公式；

⑤分析数列与常见数列的关系.

设计意图依据通项公式写出指定项，让学生对通项公式的理解继续深入，根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，让观察归纳的常用技巧自然流露.

1.5 研究性质,让问题自然提出，让方法自然产生数列的单调性及应用

问题：函数的性质有哪些？数列我们经常研究哪些性质呢？

生：我们研究了函数的单调性、奇偶性、周期性.单调性、周期性依然存在，而奇偶性不存在.

师：能说说理由吗？

生：因为数列的定义域都是正整数，所以，不具有奇偶性；有的数列具有单调性，如例2中的第(1)小题，有的数列具有周期性，如例1中的第(2)小题.

师：总结的很好！你能说出例1中每个数列的单调性吗？

生：(1)、(4)是递增数列，(2)是常数数列，(3)是递减数列，(5)是摆动数列.

师：什么叫递增数列？什么叫递减数列？数列的单调性呢？

生：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.

递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.

常数数列：各项都相等的数列.

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

师：我们又一次从具体实例中，抽象概括出了“新概念”，接着咱们又要用数学特有的“符号语言”来表示.如何用符号来表示：“数列的每一项与它的前一项”呢？

生：数列的每一项即通项an，它的前一项就是an-1.

师：很好！还要注意一个细节：数列第二项开始才有前一项，这里的下标序号n≥2,实际上，就是从第二项起的任意相邻两项选择用an与an-1(n≥2)，还可以如何选？

生：用an+1与an,这里的下标序号n∈N*即可.

师：非常棒！可见，要判断数列的单调性，就是要比较任意相邻两项an+1与an或an与an-1(n≥2)的大小.

变式：已知数列{an}的通项an=n2-9n+8，则数列{an}的最小项是第________项.

设计意图通过研究性质，让学生对数列的理解进一步深入，理解数列单调性，以及与函数单调性对比，体会数列单调性的特殊性与一般性，让求数列最大(小)项的方法自然产生.

1.6 梳理分类，让结构自然完善，让知识自然串起数列的分类

(1)根据数列项数的多少：有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列.

(2)根据数列任意相邻两项的大小：递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列.

师：数列还可以按其它的标准来分类,如按是否有界可以分为有界数列、无界数列.

1.7 课堂总结，让思维自然连贯，让认知自然提升

请学生从知识、方法、技能、文化及对新概念的研究方法等多方面进行总结.

正方形数N(n,4)=n2，

六边形数N(n,6)=2n2-n，

… …

可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=____________.

设计意图通过课堂小结，总结所学习的知识，提炼研究问题的方法，在帮助学生加深对数列概念理解的同时，进一步领会研究数学概念的基本方法，让学生在学会知识的同时，学会研究问题的方法，让学生在“学会”的同时，逐步做到“会学”.补充以“多边形数”为背景的考题，与课堂引入相呼应，让数学文化自然渗透课堂.

2 教学反思与教学感悟

2.1 授人以业、授人以法、授人以道

“数列”是在前面学了函数的基本概念、基本性质以及几个具体的连续函数的基础上，学习的一类新的离散型的函数模型.本节教学重点是数列的有关概念及简单性质，而对概念的深层次理解是教学难点.本节课沿两条线自然推进：一是将新旧知识有机联系.整堂课能不断地将集合与函数的相关知识与数列进行类比，从数列的概念、表示方法、通项公式、数列的性质及其应用等方面层层递进、环环相扣，自然地把教学引向深入，教学环节衔接过渡自然，教学过程中不断采用追问的方式引发学生思考，鼓励学生大胆猜想、探索，充分挖掘教材知识层面的内涵，这一系列活动正是本节课的一条明线；二是在教学中做到内敛而不张扬，将教学智慧深藏于课堂上,贯穿本节课的另一条暗线是在教学过程中逐步渗透探索数学概念形成的主要环节，从概念的界定、概念的符号表示、探讨概念的特例与性质、概念的相关运算、概念的应用这几个方面入手，引导学生思维，使学生通过这节课的学习进一步领悟到探讨数学新概念的思考方式；这对培养学生数学的核心素养无疑是有益的.

2.2 自然呼出、自然联系、自然建构

当前，“数学是自然的”教学理念已被广大教师所认同，在教学实践中如何落实“数学是自然的”，是我们一直努力的方向.本课在学习和运用概念过程中，其实就是激活这个概念所构成网络的过程.因此，教学每一个概念都应当从概念所处的系统出发，促进学生建立新旧概念之间的各种联系，实现概念网络的建构与扩展，使新的概念成为学生内部概念网络的一个有机组成部分.这样，数学概念教学不再是个别概念的教学，而是通过学生学习概念的各种活动，使学生获得概念域、概念网络，直至完成对概念系统的理解与掌握.概念教学的基本指导思想是使概念出得自然、水到渠成、浑然天成.概念教学的自然和水到渠成应该包括两方面：一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理逻辑的自然，主要是思维过程的自然.本课对数列概念系统的理解与掌握，从五个教学过程推进，自然呼出数列，并与集合、函数建立联系，让学生参与到定义概念的活动中来，以“恰时恰点”的问题引导学习，使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果，自然建构数列概念网络体系，自然地将核心素养的培养落实在概念教学中.