数学核心素养导向下的深度教学

2018-08-30黄祥勇

数学通报 2018年7期

黄祥勇

(成都市教育科学研究院 610031)

随着《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称《课标》)的颁布，高中数学核心素养的研究进入了一个新阶段．教师如何基于数学核心素养上好每一堂课,如何使培育学生数学核心素养在教学中得到深入贯彻和落实,这些问题是我们当前急需解决的．本文拟就核心素养导向下的深度教学作一些研究．

实施核心素养导向下的深度教学需要我们厘清三个问题：数学核心素养到底是什么？什么是深度教学？怎样以核心素养为导向实施数学的深度教学？

1 数学核心素养与深度教学

1.1 数学核心素养的理解

作为一线教师如何理解数学核心素养，如何在课堂教学实践中践行自己的教学行为，直接影响着学生数学素养的提升．《课标》对数学学科核心素养的定义是：数学学科核心素养是数学课程目标的集中表现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的．数学核心素养包涵数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析六要素[1]．

这是一个描述性的定义，是核心素养在高中数学学科的具体体现，数学核心素养的养成是学生在长期学习数学的过程中，形成和发展“四基”“四能”的基础之上对数学的感悟、反思和体验的结果，进而也形成了“数学头脑”，最后能“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界(简称‘三会’)”[2]．

这一定义也反映了数学学科最基本的三大特征：抽象、推理、模型．实际上，数学的眼光，本质就是抽象，数学的思维，本质就是推理，数学的语言，本质就是模型．数学核心素养的六要素是实现这三个基本特征的思维基础，也是高中数学内容体现出来的思维品质和数学人文精神．

数学核心素养还深刻体现了高中数学的课程目标．课程目标中谈到，通过学习，学生能提高对数学的兴趣，增加自信心，养成良好习惯，发展自主学习能力；树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神；不断提高实践能力，提升创新意识；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值．这些具体目标，实际上可以概括为数学学科的必备品格、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现．由此可以看出，在整个数学课程标准中，数学学科核心素养处于中心地位．

1.2 深度教学的内涵

深度在汉语大词典里的定义是“指导触及事物本质的程度”“事物向更高阶段发展的程度”．

所谓深度教学(deep teaching)，是相对于传统的知识本位和接受式教学而言的，是一种能够帮助学生对学科问题深入思考，对教学内容深刻理解、对学科思维深度生成的教学，是一种促进学生深度学习的教学．

深度教学是当前课堂教学改革向纵深推进的实质与方向．

从学科的角度讲，深度教学指的是体现和反映学科本质的教学；从知识的角度讲，深度教学指的是超越知识表层结构而进入深层结构的教学；从学生的角度讲，深度教学指的是让学生进行深度思维的教学[3]．李松林教授认为，走进学生情感和思维的深处，触及学科的本质与知识的内核，打开学生学习与发展的内部转换过程，促进学生的自主发现和真正理解，是深度教学实践的四个着力点[4]．

深度教学并不刻意追求教学内容本身的深度和难度，而是相对于学科内容的内在构成要素而言，追求对教学内容全面的、深层次的理解．

实施数学深度教学，就是要立足于学生数学学习的过程，抓住数学的学科本质，促进学生理解并构建数学知识和经验、形成学习的基本能力、逐步形成和发展核心素养的教与学活动．

1.3 数学核心素养下追求深度教学的价值

纵观新课程改革，出现了很多新的教学形态，如小组合作，分层教学，高效课堂等，课堂看起来热闹了，学生也动起来了，似乎充满了生机和活力．但细思却发现很多数学教学流于外在形式，教师的教学游离于学科知识和本质之外，对学科教学内容的理解深度不够；学生数学思维表现为浅层化和表面化，缺少对数学问题的深入思考，更无从谈起对学生数学核心素养的培育．

核心素养导向下的深度教学就成为解决这些问题的突破口．教师在深刻理解数学的前提下，在传授知识的基础上，启迪学生的智慧，训练学生的思维，提升学生的素养，把课堂变为一个师生深度交流和对话的场所.转知成智是知识教学的深层次目标.教学就是要实现知识与智慧的转化与升华.深度教学要求不仅要注重知识的系统性，而且要站在智慧的立场和高度上审视和把握教学内容．从这个意义上说，深度教学的价值追求表现为一种以“建构知识、提升能力、培育素养”为目标的改进教学．

改进之一，让学生有安静、独立和长时的深度思考．

陈省身认为“数学是自己思考的产物．首先要能够思考起来，用自己的见解和他人的见解交换，会有很好的效果……但是，思考数学问题需要很长时间．我不知道中小学数学课堂是否能够提供很多的思考时间”．日本学者广中平佑认为“没有长时思考问题的人，是不会深刻地思考问题的”．

学生对问题有独立、长时间的思考，其思考力才会进步，其思维的深刻性、概括性、独创性才会有质的提升，也才会有对问题的“入目三分”的认识，进而提升其思维品质和关键能力．

改进之二，让课堂有积极、深刻和有意义的深度对话．

对话是课堂教学的基本形式．通过课堂中积极、深刻和有意义的对话，改进课堂中的“满堂灌”“满堂问”“满堂导”等现象，促进学生对问题的深刻理解．

通过深度对话，让学生经历逐步完善表达的过程，经历对问题层层深入、抽丝剥茧，抓住本质的过程．从这个意义上说，深度教学就是一场师生在课堂上深度对话的教学．此外，学生为了更好表达对话内容，还必须要深入思考、仔细倾听、力争抓住关键，更要推敲语言的逻辑性、缜密性和简洁性等．所有这些，都是养成学生良好的情感、态度与价值观的综合体现，也都体现了数学教育的价值追求．

2 实施数学深度教学的策略

实施学科核心素养导向下的深度教学应该在围绕培育学生数学学科核心素养这一主旨下进行，需要探求“深度的教”与“深度的学”的结合，要以“走进学生情感和思维的深处，触及学科的本质与知识的内核，打开学生学习与发展的内部转换过程，促进学生的自主发现和真正理解”为教学的着力点．

2.1 基于学科本质，推进通透教学

从学科的角度理解，有深度的教学指的是体现和反映学科本质的教学．数学本质既体现在数学研究的结果上，又体现在研究的过程中；不仅体现在数学知识上，还体现在数学思想、数学文化、数学精神里．张奠宙先生认为“数学本质”的内涵是“数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼；数学理性精神的体验”．

所谓“通透教学”，指让学生对所学内容有完全通晓和透彻理解的教学．基于数学本质推进通透教学，要在数学核心概念的教学上下足功夫，要让学生彻底理解概念、原理的发生、发展过程．让学生不但知其然，而且要知其所以然．

基于数学本质推进通透教学，要注重知识横向和纵向的联系，把握知识、方法、思想之间的联系，“置知识于系统之中，让所学知识牢不可破．”从而完善学生的认知结构，发展学生的思维能力．

基于数学本质推进通透教学，离不开对数学思想方法的挖掘与渗透，推进通透教学，就是要让学生从数学学习过程中获得朴素而又广泛的、深厚而又灵动的、能广泛迁移的、具有生长性的思想，帮助学生通过数学学会思维，进而培育数学核心素养．

案例2直线的倾斜角与斜率的教学中，一则教学设计试图用以下几个问题串促进学生的深度理解．

问题串1：如何确定一条直线的位置?

问题串2：用一把很小的等腰直角三角尺，能不能画出一个很大的正方形的对角线?怎么画?

问题串3：第二个问题对你解决第一个问题有什么启示?

问题串4：我们用什么样的几何量来刻画直线的方向?你想怎么定义?

问题串5：日常生活中还有表示直线方向的量吗?

问题串6：什么是坡度?它和倾斜角有什么关系?

问题串7：什么是直线的斜率?

这个教学设计很丰富，也体现互动，似乎很好地落实了新课标思想．但我们细心想一想，它们并没有揭示出斜率概念最本质的两点：“与倾斜角一一对应”和“恰是表示直线的一次项系数”．

数学可以在人的内心深处培植理性的种子，可以让你拥有一颗理性的大脑，学会严谨、审慎地看待问题、理解世界，而基于数学本质的通透教学的意义也恰在于此：通透教学就是一个不断追问数学内涵的过程，不断让学生经历“数学化”、体验数学探索的过程．过程中的执著和坚韧、严谨和务实等，正是我们数学学科践行立德树人，培育核心素养所需要的宝贵财富．

2.2 聚焦主题教学，促进深层理解

我们都知道，让学生掌握数学知识之间的纵向联系(深度)比横向联系(广度)的难度要大得多，那么如何掌握知识之间的纵向联系，促进学生对数学知识的深刻理解呢？这就需要教师有一个整体的大知识观，由这个大的知识观产生大的教学观，就是主题式教学方式，以实现知识的纵向联系．

基于数学核心素养的数学主题教学，要求教师能从一节一节的教学中跳出来，整体把握数学课程，以数学中的某一个或几个“主题”作为教学的基本思考对象．例如可以以教材中的某一章或某几章作为单元，如在准备知识部分将“三个二次”作为教学设计单元；也可以以数学中的重要的教学主线为教学设计单元，如“距离”或“几何度量关系：距离、角度”等；也可以以数学中通性通法、数学思想为单元，如“圆锥曲线中的切线”“数形结合思想”等．主题教学需要教师突出课程中的教学主线，这对于学生整体理解数学将是非常重要的．老师在设计主题教学时，应有一个整体计划，而不能局限在某个知识点来设计．这是进入深度教学的核心，也是学生进行深度学习的抓手，更是整体把握高中数学课程的关键．

主题教学通过数学知识的整合和教学内容上的有意义链接，从而构建有意义的学习，其内容设计要基于学生已有认识，符合螺旋上升的认知发展规律，使学生在“现有发展区”和“最近发展区”的不断循环中，使数学思维层次和迁移能力不断得到发展．

案例3向量的工具性作用的主题教学．

向量在数学中是一个最基本的概念，其在现代数学的发展中起着不可替代的作用．聚焦向量工具作用的主题教学，可以打破知识点设计的局限，根据模块来设计教学．在向量的教学中要充分利用向量的工具性作用来进行主题设计，突出知识之间的内部联系，从而促进向量知识在新的情景中的灵活运用，深化对向量的多维、深度理解．

2.3 倡导问题导向，鼓励批判思维

问题是数学的心脏．问题也是学生思维的引擎．学生在课堂上的思维就是围绕问题展开的，问题的深度决定学生思维的深度．

倡导问题导向，提炼核心问题是引领学生自主探究学习的重要载体．它主要来源于两个方面：一是教师对教材的挖掘与钻研；二是学生在课堂上提出有价值的问题，再经教师精心筛选、整合与提炼．在数学课堂教学中，教师善于确立每节课的核心问题，通过核心问题激发、鼓励学生批判性思维，这也是深度教学的突出表现[5]．

批判性思维属于高阶思维的重要组成部分，在数学教学过程中，学生的批判性思维表现为具有一种趣向和能力，即自觉地运用各种方法检验得到的初步结果，以及对归纳、分析和直接的推理过程进行检验后作出适当的调整．

长期以来的数学教学过程中，我们往往忽略对学生批判性思维的有意识的培养，以致于我们有的学生接受知识能力很强，而独立探究知识的能力却很差．在教学过程中，我们要鼓励学生的批判性思维和批判性精神，应让学生做到敢于质疑，勇于提出批判性、建设性意见．学生的数学素养，只有在批判错误、肯定正确的过程中才能获得提高．

案例4已知甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？

这是荷兰的一道经典的三点距离问题，学生的易错点是并没有说甲、乙、学校在一条直线上，必须要打破传统思维的局限，从坐标、参数、复数、空间等角度来思考问题．这是非常好的训练学生批判性思维的好题．

案例5已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程．

教师引导学生解答此题，得出切线方程为：x0x+y0y=r2.然后再给出与切线方程x0x+y0y=r2形同质异的变式题，以强化学生的批判意识.

变式1已知M(x0,y0)是圆x2+y2=r2内异于圆心的一点，试判断直线x0x+y0y=r2与圆的位置关系.

对于变式1，相当一部分学生受原题影响，一看到直线方程为x0x+y0y=r2的形式就判断直线与圆相切，有的学生一看到点M(x0,y0)是圆内一点，便以为直线过圆内一点，断定直线与圆相交.

变式2已知M(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点，试判断直线x0x+y0y=r2与圆的位置关系.

变式3已知M(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点，过M作圆的切线，求经过两切点的直线方程.

吃一堑，长一智.学生吸取变式1的教训，对变式2、变式3都能冷静思考，带着批判的意识，排除了习惯性臆想，大多数同学得出了正确判断：在变式2的条件下，直线与圆相交，此时，直线x0x+y0y=r2正是变式3欲求的直线方程.

失败过才会成长，学生通过对这些错误的感悟，自我进行评价，总结解题思路和方法，辨别正误，训练了学生探究性思维的批判性，反过来，更能激发学生大胆发现和探究.

3 深度教学对教师的要求

实施深度教学的主体在教师，教师要想在课堂上真正做到“游刃有余”“指点有方”“深入浅出”，使课堂教学散发出磁性和魅力，没有自我的深度学习、研究和发展的意识是不行的．教师必须要立足自己的专业成长，做到四个“深入研究”(深入研究数学、研究教学、研究学生、研究技术)．

除了一般的研究外，要想开展好深度教学，教师还须加强对MPCK(数学学科教学知识)的深入研究，如：高中数学中哪些内容是最值得学生学习的？高中数学课程中哪些知识最容易让学生误解和难解(比如向量投影就是一个学生易于误解的概念)？数学的核心知识(如几何、代数、向量)在纵与横两方面有何关联？教师要如何选择适当的策略向学生呈现数学知识[6]？

此外，数学实践性的教学知识也是研究的一大方向，如郑毓信谈到的数学教师的三项基本功(善于提问、善于举例、善于优化)等．

核心素养导向下深度教学的理想课堂，教师应该是：专业精进、见解深刻、旁征博引、循循善诱、充满智慧．也就意味着教师从一般教师走向优秀教师；从普通教师走向教学名师；从经验型教师走向专家型教师．